可交換矩陣的幾個充要條件及其性質

1、可交換矩陣的幾個充要條件及其性質在高等代數(shù)中矩陣是一個重要的內容.由矩陣的理論可知矩陣的乘法不同于數(shù)的乘法矩陣的乘法不滿足交換律即當矩有意義時矩陣未必有意義即使都ABBAABBA有意義時它們也不一定相等.但是當滿足一定條件是就有此時也稱與ABBAAB?A是可交換的可交換矩陣有許多良好的性質本文主要研究矩陣可交換的幾個條件及其B常見的性質.本文矩陣均指n階實方陣.1矩陣可交換成立的幾個充分條件定理1.1(1)設至少有一個為零矩陣則可交換A

2、BAB(2)設至少有一個為單位矩陣則可交換ABAB(3)設至少有一個為數(shù)量矩陣則可交換ABAB(4)設均為對角矩陣則可交換ABAB(5)設均為準對角矩陣則可交換ABAB(6)設是的伴隨矩陣則與可交換AAAA(7)設可逆則與可交換AA1?A(8)設則可交換.EAB?AB證(1)對任意矩陣均有表示零距陣所以至少有一個為零矩陣AOAAO?OAB時可交換AB(2)對任意矩陣均有表示單位矩陣，所以至少有一個為單位矩AEAAE?EAB陣時可交換AB

3、(3)對任意矩陣均有k為任意實數(shù)則為數(shù)量矩陣所以AAkEkEA)()(?)(kEA至少有一個為數(shù)量矩陣時可交換BAB(4)(5)顯然成立(6)所以矩陣與其伴隨矩陣可交換AAEAAA??A(7)所以矩陣與其逆矩陣可交換AAEAA11????A(8)當時均可逆且互為逆矩陣所以根據(jù)(7)可知可交換.EAB?ABAB定理1.2(1)設其中為非零實數(shù)則可交換BAAB??????AB(2)設其中為正整數(shù)為非零實數(shù)則可交換.EABAm???m?AB(

4、4).2222)(BABABA????證(1)因為兩邊同時取伴隨矩陣可得)?)(BAAB?BAAB?因為兩邊同時取伴隨矩陣可得)?BAAB?)(BAAB?(2)因為兩邊取轉置可得)?)(BAAB?BAAB?因為兩邊取轉置可得)?BAAB?)(BAAB?(3)因為)?22))((BBAABABABA??????))((22BABABA????所以BAAB?同理由可證22))((BBAABABABA??????BAAB?因為且)?BAAB?

5、22))((BBAABABABA??????所以))((22BABABA????同理由可證22))((BBAABABABA??????))((22BABABA????(4)因為又由條件知所以)?222)(BBAABABA?????2222)(BABABA????BAAB?因為所以)?BAAB?222)(BBAABABA?????2222)(BABABA????定理2.2可逆矩陣可交換的充要條件是.AB111)(????BAAB證因為兩邊

6、取逆可得)?111)(????BAABBAAB?因為兩邊取逆可得)?BAAB?111)(????BAAB定理2.3(1)設均為(反)對稱矩陣則可交換的充要條件是為對稱矩陣ABABAB(2)設有一個為對稱矩陣另一個為反對稱矩陣則可交換的充要條件是ABAB為反對稱矩陣.AB證(1)設均為對稱矩陣由定理2.1(2)因此為對稱矩陣ABABBAAB??)(AB若均為反對稱矩陣則因此也為對稱矩陣.ABABBABAAB?????))(()(AB(2)