高考一輪專練抽象函數(shù)

1、1高考一輪專練高考一輪專練——抽象函數(shù)抽象函數(shù)1.已知函數(shù)y=f(x)(x∈R，x≠0)對任意的非零實數(shù)1x，2x，恒有f(1x2x)=f(1x)f(2x)試判斷f(x)的奇偶性。2已知定義在[2，2]上的偶函數(shù)，f(x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，若f(1m)0.（1）求(1)f（2）求和(1)(2)(3)...()ffffn????()nN?（3）判斷函數(shù)()fx的單調(diào)性，并證明.3答案：1.解：令1x=1，2x=x，得f(x)=f

2、(1)f(x)……①為了求f(1)的值，令1x=1，2x=1，則f(1)=f(1)f(1)即f(1)=0再令1x=2x=1得f(1)=f(1)f(1)=2f(1)∴f(1)=0代入①式得f(x)=f(x)可得f(x)是一個偶函數(shù)。2.分析：根據(jù)函數(shù)的定義域，m，m∈[22]，但是1m和m分別在[2，0]和[0，2]的哪個區(qū)間內(nèi)呢？如果就此討論，將十分復(fù)雜，如果注意到偶函數(shù)，則f(x)有性質(zhì)f（x)=f(x)=f(|x|)，就可避免一場大

3、規(guī)模討論。解：∵f(x)是偶函數(shù)，f(1m)f(m)可得)()1(mfmf??，∴f(x)在[0，2]上是單調(diào)遞減的，于是????????????202101mmmm，即???????????????222122122mmmmm化簡得1≤m21。3.解：因為f(x3)=f(x)，所以f(x6)=f((x3)3)=f(x3)=f(x)，故6是函數(shù)f(x)的一個周期。又f(x)是奇函數(shù)，且在x＝0處有定義，所以f(x)=0從而f(1998)

4、=f(6333)=f(0)=0。4.解：由f（)21xx?=f（)()21xfx?，???????21021xx知f（x）=f（)2()2xfx?≥0，x??10?2)]21([)21()21()2121()1(fffff??????，f（1）=2，.2)21(21??f同理可得412)41(?f5.解：從自變量值2001和1進行比較及根據(jù)已知條件來看，易聯(lián)想到函數(shù)f（x）是周期函數(shù)。由條件得f（x）≠1，故f（x2）=)(1)(1xf

5、xf??f（x4）=)(1)(1)(11)(1)(11xfxfxfxfxf????????.所以f（x8）=)()4(1xfxf???.所以f（x）是以8為周期的周期函數(shù)，從而f（2001）=f（1）=1997說明：這類問題出現(xiàn)應(yīng)緊扣已知條件，需用數(shù)值或變量來迭代變換，經(jīng)過有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解。6.證明：（1）問題為求函數(shù)值，只需令x=y=0即可得。（2）問題中令x=0即

6、得f（y）f（y）=2f（0）f（y），且f（0）=1.所以f（y）f（y）=2f（y），因此y=f（x）為偶函數(shù).說明：這類問題應(yīng)抓住f（x）與f（x）的關(guān)系，通過已知條件中等式進行變量賦值。7.解：由y=f(x)是偶函數(shù)且在（2，6）上遞增可知，y=f(x)在（－6，－2）上遞減。令u=2x，則當(dāng)x∈(48)時，u是減函數(shù)且u∈(62)，而f(u)在（－6，－2）上遞減，故y=f(2x)在（4，8）上遞增。所以（4，8）是y=f(2

7、x)的單調(diào)遞增區(qū)間。8.解：（1）.因為a＞b，所以ab＞0，由題意得babfaf???)()(＞0，所以f（a）f（－b）＞0，又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（－b）=－f（b），f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b）（2）.由（1）知f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，又f)3(xk?＋f)293(??xx＜0，得f)3(xk?＜f)239(??xx，故xk3?＜239??xx，所以k＜1323??xx令t＝]331[3?x

8、所以k＜t12?t，而tt2≥22，即k＜22－19.解：22(sin)(1cos)faxfax????等價于2222222222sin33sin311cos32cos205sin1cos1cossin14axaxaaxaxaaxaxaaxxaa??????????????????????????????????????????????2211022211011022aaaaa??????????????????????或10.（1）證