高等數(shù)學(xué)微分中值定理教學(xué)

1、第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,第一節(jié) 微分中值定理,第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì),第三節(jié) 洛必達法則,第一節(jié) 微分中值定理,本節(jié)主要內(nèi)容:,一、羅爾中值定理,定義3.1.1 導(dǎo)數(shù)等于零的點稱為函數(shù)的駐點（或穩(wěn)定點、臨界點)．,引理的直觀意義: 可導(dǎo)函數(shù)極值點處的切線平行于 x 軸.,定理3.1.1 （羅爾中值定理）設(shè)函數(shù)y= f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，如果 （1）函數(shù) f (x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

2、 （2）函數(shù) f (x)在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)； （3）函數(shù) f (x)在區(qū)間兩端點處的函數(shù)值相等，即f (a)= f (b)；則在（a，b）內(nèi)至少存在一個點 a<? <b，使得f ?(?)=0 .,例如,,定理的證明,羅爾定理的幾何意義：如果連續(xù)函數(shù)除兩個端點外處處有不垂直于x軸的切線，

3、并且兩端點處縱坐標相等，那么在曲線上至少存在一點? ，在該點處的切線平行于x 軸(如下圖）。,1.羅爾定理中的ξ是(a,b)內(nèi)的某一點，定理僅從理論上指出了它的存在性，而沒有給出它的具體取值；,2.羅爾定理的條件是充分非必要條件，只要三個條件均滿足，就充分保證結(jié)論成立。但如果三個條件不全滿足，則定理的結(jié)論可能成立也可能不成立。看如下例子：,兩點說明：,,,,例,,,例,,,例1 驗證羅爾中值定理對函數(shù)f(x)=x3+4x2-7x-

4、10 在區(qū)間[-1,2]上的正確性，并求出?．,解得,令f ?(x)=3x2+8x-7=0,（1） f(x)= x3+4x2-7x-10在區(qū)間[-1,2]上連續(xù)；,（2） f ?(x)=3x2+8x-7在（-1,2）內(nèi)存在；,（3）f (-1)=f (2)= 0；,所以 f(x)滿足定理的三個條件.,解,例2 證明方程x5-5x+1=0有且僅有一個小于1的正實根．,存在性：令 f(x)= x5-5x+1，則f(x)在[0,1]上連續(xù)

5、,f(0)=1，f(1)=-3，由介值定理：至少存在一點x0∈(0,1),使f (x0)=0 ， x0即為方程的小于1的正實根.,唯一性：設(shè)另有x1∈(0,1), x1 ≠x0,使f (x1)=0,因為f(x)在x1 ，x0之間滿足羅爾定理的條件,所以至少存在一點ξ (在x1 ，x0之間),使得f ?(ξ)=0,但f ?(x)=5x4-5<0 , x∈(0,1),矛盾,所以為唯一實根.,,證明,例3 不求函數(shù)f (x)=(x-

6、1)(x-2)(x-3)的導(dǎo)數(shù)，說明方程 f ?(x)=0有幾個實根．,函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),所以在區(qū)間[1,2],[2,3]上滿足羅爾定理的條件,所以在區(qū)間（1,2)（2,3)內(nèi)分別至少有一實根；,又 f ?(x)=0是二次方程,至多有二個實根；,所以方程f ?(x)=0 有且僅有兩個實根,它們分別落在區(qū)間（1,2) （2,3)內(nèi)．,解,定理3.1.2 （拉格朗日中值定理）設(shè)函數(shù) y=f(x)滿足（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

7、 （2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；那么在(a，b)內(nèi)至少存在一點 ? (a< ? <b) ，使得 f (b)- f (a)= f ?(?)(b-a)或,二、拉格朗日中值定理,注意到, Rolle定理是Lagrange定理的特殊情況。,證明思想,,構(gòu)造輔助函數(shù)法,由于證明這個定理，目前只有Rolle定理可用，因

8、此想若能構(gòu)造一個輔助函數(shù)? (x) ,使其滿足Rolle定理的條件，同時想辦法接近要證明的結(jié)論.,則函數(shù)j(x)在區(qū)間[a? b]上滿足羅爾定理的條件(1)?(2) 又,作輔助函數(shù),所以，由羅爾中值定理，在(a,b)內(nèi)至少存在一點? ,使,即 f (a)- f (b)= f ?(?)(b-a),定理的證明,拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.,1.拉格朗日中值定理的兩個條件是使結(jié)論成立的充分不必

9、要條件；,2.當f (a)=f (b)時，拉格朗日中值定理即為羅爾中值 定理；,3.設(shè)f (x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),x0,x0+?x∈(a,b)則有,幾點說明：,拉格朗日定理的幾何意義：當曲線方程滿足拉格朗日定理的要求時，在區(qū)間內(nèi)至少存在一點?，使得該點的切線平行于曲線兩端點 ( a, f(a) )與 ( b, f(b) )的連線，其斜率為,推論1 設(shè) y=f (x) 在 [a, b]

10、上連續(xù)，若在(a, b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零，則在[a, b]上 f (x) 為常數(shù).,推論2 如果函數(shù)y=f(x)與y=g(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)處處相等，即f ?(x)=g?(x) ，則這兩個函數(shù)在(a,b)內(nèi)只相差一個常數(shù)，即f(x)-g(x)=C ．,設(shè)f (x)=arcsinx+arccosx,,由推論1知 f (x)=C,所以,例4 證明：,又因為,即,證明,則f (x)在[0,1]上連續(xù)，又,設(shè)

11、f (x)=ln(1+x),則f (x)在[0,x]上滿足拉格朗日中值定理的條件，即,由于,因為0<?<x，所以,例5 證明：當x>0時，,所以上式變?yōu)?即,證明,定理3.1.3 （柯西中值定理）設(shè)函數(shù)y=f(x)與y=g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且 g?(x)在(a,b)內(nèi)恒不為零，則至少存在一點? ∈(a,b)，使得,注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理當g(x)=x時的一種特例

12、。,三、柯西中值定理,分析:,問題轉(zhuǎn)化為證,,構(gòu)造輔助函數(shù),證: 作輔助函數(shù),且,使,即,由羅爾定理知, 至少存在一點,思考: 柯西定理的下述證法對嗎 ?,兩個 ? 不一定相同,錯!,,上面兩式相比即得結(jié)論.,,,,,,,,,,弦的斜率,,切線斜率,,,幾何意義：,注意：,1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系,羅爾定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,,,,2. 微分中值定理的應(yīng)用,(1) 證明恒等式,(2) 證明不等式,(3) 證明