點集拓?fù)?考題

1、《點集拓?fù)渲v義點集拓?fù)渲v義》考題考題一、一、設(shè)（X，T）是拓?fù)淇臻g，AX，則A的導(dǎo)集A′一定是X中的閉集?嗎？回答一定是，請給出證明；回答不一定是，請給出反例。二、二、設(shè)X是多于一點的拓?fù)淇臻g，其上取平庸拓?fù)?，則X可以度量化嗎？若可以，請給出一個度量，若不可以，請說明理由。三、三、設(shè)X是一個度量空間，AX，x∈X，若x∈A′，則在Ax中一定?存在序列收斂到x嗎？回答一定存在，請給出證明；回答不一定存在，請給出反例。四、四、T2空間中任意

2、多個緊集的交一定是緊集嗎？回答一定是，請給出證明；回答不一定是，請給出反例。五、五、證明：X是T1空間當(dāng)且僅當(dāng)X的每個單點子集是閉集。六、六、設(shè)（X，T）是拓?fù)淇臻g，C是X中的一個開集族，滿足∪∈T，?x∈∪，C∈C，使得x∈C∪。證明：C是T的一個基。???七、七、、證明：每一個正則且正規(guī)的空間都是完全正則空間。八、設(shè)X1，X2是非空的拓?fù)淇臻g，X=X1，X=X2是積空間，pi：X→Xi是投射（i=1，2）。證明：pi（i=1，2）是