《點集拓撲學》第3章 §3.1 子空間

1、第3章子空間（有限）子空間（有限）積空間，商空間積空間，商空間在這一章中我們介紹通過已知的拓撲空間構(gòu)造新的拓撲空間的三種慣用的辦法為了避免過早涉及某些邏輯上的難點，在3.2中我們只討論有限個拓撲空間的積空間，而將一般情形的研究留待以后去作3.13.1子空間子空間本節(jié)重點：掌握度量子空間、拓撲空間子空間的概念，子空間的拓撲與大空間拓撲之間的關(guān)系以及子空間的閉集、鄰域、基、導集、閉包與大空間相應子集之間的關(guān)系及表示法討論拓撲空間的子空間目的

2、在于對于拓撲空間中的一個給定的子集，按某種“自然的方式”賦予它一個拓撲使之成為一個拓撲空間，以便將它作為一個獨立的對象進行考察所謂“自然的方式”應當是什么樣的方式？為回答這個問題，我們還是先從度量空間做起，以便得到必要的啟發(fā)考慮一個度量空間和它的一個子集欲將這個子集看作一個度量空間，必須要為它的每一對點規(guī)定距離由于這個子集中的每一對點也是度量空間中的一對點，因而把它們作為子集中的點的距離就規(guī)定為它們作為度量空間中的點的距離當然是十分自然

3、的我們把上述想法歸納成定義：定義3.1.1設(shè)（X，ρ）是一個度量空間，Y是X的一個子集.因此，YYXX顯然：YY→R是Y的一個度量（請自行驗證）我們稱Y的度量，是由X的度量ρ誘導出來的度量.度量空間（Y，ρ）稱為度量空間（X，ρ）的一個度量子空間我們常說度量空間Y是度量空間X的一個度量子空間，意思就是指Y是X的一個子集，并且Y的度量是由X的度量誘導出來的我們還常將一個度量空間的任何一個子集自動地認作一個度量子空間而不另行說明例如我們經(jīng)常

4、討論的：實數(shù)空間R中的各種區(qū)間（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1維歐氏空間中的n維單位球面:n維單位開、閉球體:證明我們驗證滿足拓撲定義中的三個條件：（1）由于X∈T和Y=X∩Y，所以Y∈；由于∈T=∩Y所以∈（2）如果A，B∈，即于是（3）如果是集族的一個子集族，即對于每一個A∈，定義3.1.3設(shè)Y是拓撲空間（X，T）的一個子集Y的拓撲稱為（相對于X的拓撲T而言的）相對拓撲；拓撲空間（Y，，）稱為拓撲空間的一個（拓撲）子空間

5、我們常說拓撲空間Y是拓撲空間X的一個子空間，意思就是指Y是X的一個子集，并且Y的拓撲就是對于X的拓撲而言的相對拓撲此外，我們也常將拓撲空間的子集認為是一個子空間而不另行說明假設(shè)Y是度量空間X的一個子空間現(xiàn)在有兩個途徑得到Y(jié)的拓撲：一是通過X的度量誘導出Y的度量，然后考慮Y的這個度量誘導出來的拓撲；另一是先將X考慮成一個拓撲空間，然后考慮Y的拓撲為X的拓撲在Y上引出來的相對拓撲事實上定理3.1.1已經(jīng)指出經(jīng)由這兩種途徑得到的Y的兩個拓撲是

6、一樣的下面把這層意思重新敘述一遍定理定理3.1.33.1.3設(shè)Y是度量空間是度量空間X的一個度量子空間則的一個度量子空間則X與Y都考慮作為拓撲空間都考慮作為拓撲空間時Y是X的一個（拓撲）子空間的一個（拓撲）子空間定理定理3.1.43.1.4設(shè)X，Y，Z都是拓撲空間如果都是拓撲空間如果Y是X的一個子空間，的一個子空間，Z是Y的一個的一個子空間，則子空間，則Z是X的一個子空間的一個子空間證明當Y是X的一個子空間，Z是Y的一個子空間時，我們有