橢圓、雙曲線的離心率取值范圍求解方法

1、1橢圓、雙曲線的離心率取值范圍求解方法橢圓、雙曲線的離心率取值范圍求解方法一、利用三角形三邊的關(guān)系建立不等關(guān)系（但要注意可以取到等號成立）利用三角形三邊的關(guān)系建立不等關(guān)系（但要注意可以取到等號成立）例1：雙曲線：雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為的兩個(gè)焦點(diǎn)為，若，若為其上一點(diǎn)，且為其上一點(diǎn)，且，則雙曲線離心，則雙曲線離心??2222yx1a0b0ab????12FFP12PF2PF?率的取值范圍為（率的取值范圍為（）A.(13)A.(13)B.B.C.

2、(3C.(3)D.D.??13???3??【解析】，，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線等號成立）12PF2PF?12PFPF2a??1212PFPFFF??12PFF，，選Bc6a2ce3e1a??????又??e13??例2、如果橢圓、如果橢圓上存在一點(diǎn)上存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)，使得點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離與它到右焦點(diǎn)的距離相等，那么橢到左準(zhǔn)線的距離與它到右焦點(diǎn)的距離相等，那么橢??2222yx1ab0ab????圓的離心率的取值范圍為圓的離心率的取值范圍為

3、（）ABCD(021]?[211)?(031]?[311)?[解析解析]設(shè)，由題意及橢圓第二定義可知2PFm?1PFme?122aPFPFm(e1)2ame1????????（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線等號成立），把代入化簡可得2112PFPFFF???12PFF，，mme2c???2ame1??又選B??2a1e2ce1???2e2e10e21???????e1??e211?????二、二、利用三角函數(shù)有界性利用三角函數(shù)有界性結(jié)合余弦定理建立不

4、等關(guān)系結(jié)合余弦定理建立不等關(guān)系例1：雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，若為其上一點(diǎn)，且，則雙曲線離22221(00)xyabab????12FFP122PFPF?心率的取值范圍是（）ＡＡＢＢＣＣＤＤ(13)(13](3)??[3)??【解析】設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在右頂點(diǎn)處，2PFm?12(0)FPF???????P???222(2)4cos254cos2mmmceam????????11(13]e???????三、利用三、利用曲線的幾何性質(zhì)曲線的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)

5、合建立不等關(guān)系數(shù)形結(jié)合建立不等關(guān)系例1：雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，若為其上一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率??2222yx1a0b0ab????12FFP12PF2PF?的取值范圍為（）A.(13)B.C.(3)D.??13???3??解：即在雙曲線右支上恒存在點(diǎn)使得可知12PFPF2a???2PF2a??P2PF2a?，又選B222AFPFOFOAca2a??????cc3ae3a?????e1???e13??例2已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是F1、

6、F2，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，P到右準(zhǔn)線的距離22221(00)xyabab????為d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比數(shù)列，求雙曲線的離心率的取值范圍。解：由題意得因?yàn)?，所以，從而?四、利用圓錐曲線中四、利用圓錐曲線中的范圍建立不等關(guān)系范圍建立不等關(guān)系、xy例1、雙曲線的右支上存在一點(diǎn)，它到右焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線的距離相等，則雙曲線離心率的取值22221(00)xyabab????范圍是（）ＡＢＣＤ(12][2)??(121]?[21

7、)???【解析】22000(1)aaexaxexacc????????0xa???2(1)aaeac???而雙曲線的離心率，211112101212aeeeece???????????????1e?(121]e???例2、設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的左支上，雙曲線兩焦點(diǎn)為，已知是點(diǎn)P到左準(zhǔn)線)0b0a(1byax2222????21FF、|PF|1的距離和的比例中項(xiàng)，求雙曲線離心率的取值范圍。ld|PF|2解析：解析：由題設(shè)得：。由雙曲線第二定義得

8、：，由焦半|PF|d|PF|221?|PF||PF|d|PF|121?ed|PF|1?e|PF||PF|12?徑公式得：，則，即，解得。eexaexa????aeea)e1(x2??????01e2e2???21e1???歸納：歸納：求雙曲線離心率取值范圍時(shí)可先求出雙曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用性質(zhì)：若點(diǎn)在雙曲線的左支上P1byax2222??則；若點(diǎn)在雙曲線的右支上則。ax??p1byax2222??ax?例2設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，如果

9、橢圓上存在點(diǎn)P，使∠=900，求離心率22221(0)xyabab????12FF、12FPFe的取值范圍。解析1：設(shè)P（x，y），又知，則FcFc1200（，），（，）?將這個(gè)方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得FPxcyFPxcyFPFFPFPFPFPxcxcyxyc1212121222229000??????????????????????()()()()，，，由，知，則，即得xacababFPFxaacababa222222212