極限-2

1、非客觀題非客觀題1.1函數(shù)函數(shù)例1:設(shè)…..求證21)(xxxf??))(()(2xffxf?))(()(1xffxfnn??21)(nxxxfn??解題思路解題思路:是歸納定義的因此可以用歸納法嘗試證明結(jié)論.)(xfn解:用歸納法.設(shè)21)(kxxxfk??則222221)1(1111)(1)())(()(xkxkxxkxxxfxfxffxfkkkk???????????例2:(88105)設(shè)并且求及其定義域.2)(xexf?xxf?

2、?1))((?0)(?x?)(x?解題思路解題思路:這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)問(wèn)題.可以設(shè)從題目條件分析和的關(guān)系找出)(xu??ux答案.解:令則.于是由題設(shè)得到.解這個(gè)方程)(xu???))((xf?2)(ueuf?xeu??12得到.又因所以舍去負(fù)號(hào)得到為了使得)1ln(xu????u0)(?x?)1ln(xu??開(kāi)方運(yùn)算有意義必須且只須使.于是.0?x)0()1ln()(???xxx?例3:已知求的表達(dá)式.2)1()(2xxfxf???)(

3、xf解題思路解題思路:題目所給條件是關(guān)于和的一個(gè)線性組合等式若令)(xf)1(xf?xu??1則得到關(guān)于和的另一個(gè)線性組合等式.由兩個(gè)等式就可以求出的表達(dá))(xf)1(xf?)(xf式.解:令得到xu??12)1()()1(2uufuf????即2)1()()1(2xxfxf????此式與題目所給條件聯(lián)立就解出313231)(2???xxxf例4:(1)設(shè)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)求證)()(???????xxfyax?)()2(xfxaf??

4、(2)如果的圖形關(guān)于直線和都對(duì)稱(chēng)求證)()(???????xxfyax?bx?)(ba?是周期等于的周期函數(shù).)(xf)(2ab?證:(1)如果的圖形關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)則對(duì)于任意實(shí)數(shù)有)()(???????xxfyax?x注釋注釋:在用極限定義直接證明數(shù)列極限(或者函數(shù)極限)的過(guò)Aann???limAxfxx??)(lim0程中初學(xué)者經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題主要有以下幾點(diǎn):(1)對(duì)于待考察的表達(dá)式不作適當(dāng)放大或者放大不充分使得證明過(guò)程繁瑣.例||Aan

5、?如考察下例:例3:求證0221lim2?????nnn有些讀者這樣證明:為了使0???????????221022122nnnn即?1222???nn只需使22122????nn解此不等式得到?n))12(442(212?????或者))12(442(212??????n因此如果令?N)])12(442(21[2?????(表示實(shí)數(shù)整數(shù)部分)那么只要就有][xxNn?????????221022122nnnn于是.證畢.0221lim