第6章 分支限界法

1、1,第六章 分支限界法,2,第六章 分支限界法,本章主要知識點(diǎn) 6.1 分支限界法的基本思想 6.2 單源最短路徑問題 6.3 裝載問題 6.4 布線問題 6.5 0－1背包問題 6.6 最大團(tuán)問題 6.7 旅行售貨員問題 6.8 電路板排列問題 6.9 批處理作業(yè)調(diào)度,3,6.1分支限界法的基本思想,1. 分支限界法與回溯法的不同（1）求解目標(biāo)：回溯法的求

2、解目標(biāo)是找出解空間樹中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個解，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的最優(yōu)解。 （2）搜索方式的不同：回溯法以深度優(yōu)先的方式搜索解空間樹，而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)優(yōu)先的方式搜索解空間樹。,4,6.1分支限界法的基本思想,2. 分支限界法基本思想 分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問題的解空間樹。 在分支限界法中，每一個活結(jié)點(diǎn)

3、只有一次機(jī)會成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。活結(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄，其余兒子結(jié)點(diǎn)被加入活結(jié)點(diǎn)表中。 此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過程。這個過程一直持續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時為止。,5,6.1分支限界法的基本思想,3. 常見的兩種分支限界法（1）隊列式(FIFO)分支限界法 按照隊列先進(jìn)先出（FIFO）原則選取

4、下一個節(jié)點(diǎn)為擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。 （2）優(yōu)先隊列式分支限界法 按照優(yōu)先隊列中規(guī)定的優(yōu)先級選取優(yōu)先級最高的節(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。,6,6.2單源最短路徑問題,1. 問題描述,下面以一個例子來說明單源最短路徑問題：在下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個非負(fù)邊權(quán)。要求圖G的從源頂點(diǎn)s到目標(biāo)頂點(diǎn)t之間的最短路徑。,7,6.2單源最短路徑問題,下圖是用優(yōu)先隊列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問題產(chǎn)生的解空間樹。其中，每一個結(jié)點(diǎn)旁邊的數(shù)字表

5、示該結(jié)點(diǎn)所對應(yīng)的當(dāng)前路長。,,8,6.2單源最短路徑問題,2. 算法思想 解單源最短路徑問題的優(yōu)先隊列式分支限界法用一極小堆來存儲活結(jié)點(diǎn)表。其優(yōu)先級是結(jié)點(diǎn)所對應(yīng)的當(dāng)前路長。 算法從圖G的源頂點(diǎn)s和空優(yōu)先隊列開始。結(jié)點(diǎn)s被擴(kuò)展后，它的兒子結(jié)點(diǎn)被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當(dāng)前路長的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并依次檢查與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)。如果從當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂

6、點(diǎn)i再到頂點(diǎn)j的所相應(yīng)的路徑的長度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長度，則將該頂點(diǎn)作為活結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊列中。這個結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展過程一直繼續(xù)到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊列為空時為止。,9,6.2單源最短路徑問題,3. 剪枝策略 在算法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的過程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個結(jié)點(diǎn)的下界不小于當(dāng)前找到的最短路長，則算法剪去以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹。 在算法中，利用結(jié)點(diǎn)間的控制關(guān)系進(jìn)行剪枝。從源頂點(diǎn)s出發(fā)，2條不同路徑到達(dá)圖G的同一頂點(diǎn)。由于兩

7、條路徑的路長不同，因此可以將路長長的路徑所對應(yīng)的樹中的結(jié)點(diǎn)為根的子樹剪去。,10,6.2單源最短路徑問題,while (true) { // 搜索問題的解空間 for (int j=1;j<=n;j++) if(a[enode.i][j] < Float.MAX_VALUE && enode.length+a[enode.i][j] < dist[j]

8、) { // 頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j可達(dá)，且滿足控制約束 dist[j]=enode.length+a[enode.i][j]; p[j]=enode.i; HeapNode node = new HeapNode(j,dist[j]); heap.put(node); // 加入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊列 }

9、 if (heap.isEmpty()) break; else enode = (HeapNode) heap.removeMin(); },頂點(diǎn)I和j間有邊，且此路徑長小于原先從原點(diǎn)到j(luò)的路徑長,11,6.3 裝載問題,1. 問題描述,有一批共個集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且,裝載問題要求確定是否有一個合理的裝載方案可將這個集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種

10、裝載方案。,容易證明：如果一個給定裝載問題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。 (1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。,12,6.3 裝載問題,2. 隊列式分支限界法 在算法的while循環(huán)中，首先檢測當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2個兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄。

11、 活結(jié)點(diǎn)隊列中的隊首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由于隊列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都有一個尾部標(biāo)記-1，故在取隊首元素時，活結(jié)點(diǎn)隊列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時，再判斷當(dāng)前隊列是否為空。如果隊列非空，則將尾部標(biāo)記-1加入活結(jié)點(diǎn)隊列，算法開始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)。,13,6.3 裝載問題,2. 隊列式分支限界法,,while (true) {

12、 if (ew + w[i] <= c) enQueue(ew + w[i], i); // 檢查左兒子結(jié)點(diǎn) enQueue(ew, i); //右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的 ew =

13、 ((Integer) queue.remove()).intValue(); // 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) if (ew == -1) { if (queue.isEmpty()) return bestw; queue.put(new Integer(-1)); // 同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志

14、 ew = ((Integer) queue.remove()).intValue(); // 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) i++; // 進(jìn)入下一層 } },14,6.3 裝載問題,3. 算法的改進(jìn) 節(jié)點(diǎn)的左子樹表示將

15、此集裝箱裝上船，右子樹表示不將此集裝箱裝上船。設(shè)bestw是當(dāng)前最優(yōu)解；ew是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的重量；r是剩余集裝箱的重量。則當(dāng)ew+r?bestw時，可將其右子樹剪去，因為此時若要船裝最多集裝箱，就應(yīng)該把此箱裝上船。 另外，為了確保右子樹成功剪枝，應(yīng)該在算法每一次進(jìn)入左子樹的時候更新bestw的值。,15,6.3 裝載問題,3. 算法的改進(jìn),// 檢查左兒子結(jié)點(diǎn) int wt = ew + w[i];

16、 if (wt bestw) bestw = wt; // 加入活結(jié)點(diǎn)隊列 if (i < n) queue.put(new Integer(wt)); },提前更新bestw,// 檢查右兒子結(jié)點(diǎn) if (ew + r > bestw && i < n) // 可能含最優(yōu)解

17、 queue.put(new Integer(ew)); ew=((Integer)queue.remove()) .intValue(); // 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn),右兒子剪枝,16,6.3 裝載問題,4. 構(gòu)造最優(yōu)解 為了在算法結(jié)束后能方便地構(gòu)造出與最優(yōu)值相應(yīng)的最優(yōu)解，算法必須存儲相應(yīng)子集樹中從活結(jié)點(diǎn)到根結(jié)點(diǎn)的路徑。為此目的，可在每個結(jié)點(diǎn)處設(shè)置指向其父結(jié)點(diǎn)的指針，并設(shè)置左、右兒子標(biāo)志。

18、 private static class QNode { QNode parent; // 父結(jié)點(diǎn) boolean leftChild; // 左兒子標(biāo)志 int weight; // 結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量,17,6.3 裝載問題,找到最優(yōu)值后，可以根據(jù)parent回溯到根節(jié)點(diǎn)，找到最優(yōu)解。// 構(gòu)造當(dāng)前最優(yōu)解 for (int j

19、 = n; j > 0; j--) { bestx[j] = (e.leftChild) ? 1 : 0; e = e.parent; },18,6.3 裝載問題,5. 優(yōu)先隊列式分支限界法 解裝載問題的優(yōu)先隊列式分支限界法用最大優(yōu)先隊列存儲活結(jié)點(diǎn)表。活結(jié)點(diǎn)x在優(yōu)先隊列中的優(yōu)先級定義為從根結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)x的路徑所相應(yīng)的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。

20、 優(yōu)先隊列中優(yōu)先級最大的活結(jié)點(diǎn)成為下一個擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。以結(jié)點(diǎn)x為根的子樹中所有結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的路徑的載重量不超過它的優(yōu)先級。子集樹中葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級相同。 在優(yōu)先隊列式分支限界法中，一旦有一個葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則可以斷言該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時可終止算法。,19,6.4 布線問題,算法的思想 解此問題的隊列式分支限界法從起始位置a開始將它作為第一個擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。與該擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰并且可達(dá)的方格成

21、為可行結(jié)點(diǎn)被加入到活結(jié)點(diǎn)隊列中，并且將這些方格標(biāo)記為1，即從起始方格a到這些方格的距離為1。 接著，算法從活結(jié)點(diǎn)隊列中取出隊首結(jié)點(diǎn)作為下一個擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并將與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰且未標(biāo)記過的方格標(biāo)記為2，并存入活結(jié)點(diǎn)隊列。這個過程一直繼續(xù)到算法搜索到目標(biāo)方格b或活結(jié)點(diǎn)隊列為空時為止。即加入剪枝的廣度優(yōu)先搜索。,20,6.4 布線問題,Position [] offset = new Position [4];offset[

22、0] = new Position(0, 1); // 右offset[1] = new Position(1, 0); // 下offset[2] = new Position(0, -1); // 左offset[3] = new Position(-1, 0); // 上,定義移動方向的相對位移,for (int i = 0; i <= size + 1; i++) {

23、 grid[0][i] = grid[size + 1][i] = 1; // 頂部和底部 grid[i][0] = grid[i][size + 1] = 1; // 左翼和右翼 },設(shè)置邊界的圍墻,21,6.4 布線問題,for (int i = 0; i < numOfNbrs; i++){ nbr.row = here.row + offset[i].row; nbr.co

24、l = here.col + offset[i].col; if (grid[nbr.row][nbr.col] == 0) { // 該方格未標(biāo)記 grid[nbr.row][nbr.col] = grid[here.row][here.col] + 1; if ((nbr.row == finish.row) &&

25、(nbr.col == finish.col)) break; q.put(new Position(nbr.row, nbr.col)); } },,找到目標(biāo)位置后，可以通過回溯方法找到這條最短路徑。,22,6.5 0-1背包問題,算法的思想 首先，要對輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將各物品依其單位重量價值從大到小進(jìn)行排列。 在下面描述的優(yōu)

26、先隊列分支限界法中，節(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級由已裝袋的物品價值加上剩下的最大單位重量價值的物品裝滿剩余容量的價值和。 算法首先檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)的可行性。如果該左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，則將它加入到子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊列中。當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn)，僅當(dāng)右兒子結(jié)點(diǎn)滿足上界約束時才將它加入子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊列。當(dāng)擴(kuò)展到葉節(jié)點(diǎn)時為問題的最優(yōu)值。,23,6.5 0-1背包問題,上界函數(shù)while (i <

27、= n && w[i] <= cleft) // n表示物品總數(shù)，cleft為剩余空間 { cleft -= w[i]; //w[i]表示i所占空間 b += p[i]; //p[i]表示i的價值 i++; }

28、if (i <= n) b += p[i] / w[i] * cleft; // 裝填剩余容量裝滿背包return b; //b為上界函數(shù),24,6.5 0-1背包問題,while (i != n + 1) {// 非葉結(jié)點(diǎn) double wt = cw + w[i]; if (wt bestp)

29、 bestp = cp + p[i]; addLiveNode(up,cp + p[i],cw + w[i],i + 1, enode, true); } up = bound(i + 1); if (up >= bestp) //檢查右兒子節(jié)點(diǎn) addLiveNode(up,cp,cw,i + 1, enode, fa

30、lse); // 取下一個擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)（略）},分支限界搜索過程,25,6.6 最大團(tuán)問題,問題描述 給定無向圖G=(V，E)。如果U?V，且對任意u，v?U有(u，v)?E，則稱U是G的完全子圖。G的完全子圖U是G的團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng)U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團(tuán)是指G中所含頂點(diǎn)數(shù)最多的團(tuán)。 下圖G中，子集{1，2}是G的大小為2的完全子圖。這個完全子圖不是團(tuán)，因為它被G的更大的完全子

31、圖{1，2，5}包含。{1，2，5}是G的最大團(tuán)。{1，4，5}和{2，3，5}也是G的最大團(tuán)。,26,6.6 最大團(tuán)問題,2. 上界函數(shù) 用變量cliqueSize表示與該結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)；level表示結(jié)點(diǎn)在子集空間樹中所處的層次；用cliqueSize +n-level+1作為頂點(diǎn)數(shù)上界upperSize的值。 在此優(yōu)先隊列式分支限界法中，upperSize實際上也是優(yōu)先隊列中元素的優(yōu)先級。算法總

32、是從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊列中抽取具有最大upperSize值的元素作為下一個擴(kuò)展元素。,27,6.6 最大團(tuán)問題,3. 算法思想 子集樹的根結(jié)點(diǎn)是初始擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，對于這個特殊的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，其cliqueSize的值為0。 算法在擴(kuò)展內(nèi)部結(jié)點(diǎn)時，首先考察其左兒子結(jié)點(diǎn)。在左兒子結(jié)點(diǎn)處，將頂點(diǎn)i加入到當(dāng)前團(tuán)中，并檢查該頂點(diǎn)與當(dāng)前團(tuán)中其他頂點(diǎn)之間是否有邊相連。當(dāng)頂點(diǎn)i與當(dāng)前團(tuán)中所有頂點(diǎn)之間都有邊相連，則相應(yīng)的左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)

33、點(diǎn)，將它加入到子集樹中并插入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊列，否則就不是可行結(jié)點(diǎn)。 接著繼續(xù)考察當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)。當(dāng)upperSize>bestn時，右子樹中可能含有最優(yōu)解，此時將右兒子結(jié)點(diǎn)加入到子集樹中并插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊列中。,28,6.6 最大團(tuán)問題,算法的while循環(huán)的終止條件是遇到子集樹中的一個葉結(jié)點(diǎn)(即n+1層結(jié)點(diǎn))成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。 對于子集樹中的葉結(jié)點(diǎn)，有upperSize＝cliqueSiz

34、e。此時活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊列中剩余結(jié)點(diǎn)的upperSize值均不超過當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的upperSize值，從而進(jìn)一步搜索不可能得到更大的團(tuán)，此時算法已找到一個最優(yōu)解。,29,6.7 旅行售貨員問題,1. 問題描述 某售貨員要到若干城市去推銷商品，已知各城市之間的路程(或旅費(fèi))。他要選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過每個城市一次，最后回到駐地的路線，使總的路程(或總旅費(fèi))最小。 路線是一個帶權(quán)圖。圖中各邊的費(fèi)用（權(quán)）為正數(shù)。圖的

35、一條周游路線是包括V中的每個頂點(diǎn)在內(nèi)的一條回路。周游路線的費(fèi)用是這條路線上所有邊的費(fèi)用之和。 旅行售貨員問題的解空間可以組織成一棵樹，從樹的根結(jié)點(diǎn)到任一葉結(jié)點(diǎn)的路徑定義了圖的一條周游路線。旅行售貨員問題要在圖G中找出費(fèi)用最小的周游路線。,30,6.7 旅行售貨員問題,2. 算法描述 算法開始時創(chuàng)建一個最小堆，用于表示活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊列。堆中每個結(jié)點(diǎn)的子樹費(fèi)用的下界lcost值是優(yōu)先隊列的優(yōu)先級。接著算法計算出圖中

36、每個頂點(diǎn)的最小費(fèi)用出邊并用minout記錄。如果所給的有向圖中某個頂點(diǎn)沒有出邊，則該圖不可能有回路，算法即告結(jié)束。如果每個頂點(diǎn)都有出邊，則根據(jù)計算出的minout作算法初始化。 算法的while循環(huán)體完成對排列樹內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展。對于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，算法分2種情況進(jìn)行處理：,31,6.7 旅行售貨員問題,1、首先考慮s=n-2的情形，此時當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹中某個葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。如果該葉結(jié)點(diǎn)相應(yīng)一條可行回路且費(fèi)用小于當(dāng)前最小費(fèi)

37、用，則將該葉結(jié)點(diǎn)插入到優(yōu)先隊列中，否則舍去該葉結(jié)點(diǎn)。,2、當(dāng)s<n-2時，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。由于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的路徑是x[0:s]，其可行兒子結(jié)點(diǎn)是從剩余頂點(diǎn)x[s+1:n-1]中選取的頂點(diǎn)x[i]，且(x[s]，x[i])是所給有向圖G中的一條邊。對于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個可行兒子結(jié)點(diǎn)，計算出其前綴(x[0:s]，x[i])的費(fèi)用cc和相應(yīng)的下界lcost。當(dāng)lcost<bestc時，將這個可行兒子

38、結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊列中。,32,6.7 旅行售貨員問題,算法中while循環(huán)的終止條件是排列樹的一個葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。當(dāng)s=n-1時，已找到的回路前綴是x[0:n-1]，它已包含圖G的所有n個頂點(diǎn)。因此，當(dāng)s=n-1時，相應(yīng)的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)表示一個葉結(jié)點(diǎn)。此時該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路的費(fèi)用等于cc和lcost的值。剩余的活結(jié)點(diǎn)的lcost值不小于已找到的回路的費(fèi)用。它們都不可能導(dǎo)致費(fèi)用更小的回路。因此已找到的葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路是一個最小

39、費(fèi)用旅行售貨員回路，算法可以結(jié)束。 算法結(jié)束時返回找到的最小費(fèi)用，相應(yīng)的最優(yōu)解由數(shù)組v給出。,33,6.8 電路板排列問題,算法描述 算法開始時，將排列樹的根結(jié)點(diǎn)置為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。在do-while循環(huán)體內(nèi)算法依次從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊列中取出具有最小cd值的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并加以擴(kuò)展。 首先考慮s=n-1的情形，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹中的一個葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。x表示相應(yīng)于該葉結(jié)點(diǎn)的電路板排列。計算出與x相應(yīng)的密

40、度并在必要時更新當(dāng)前最優(yōu)值和相應(yīng)的當(dāng)前最優(yōu)解。 當(dāng)s<n-1時，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。對于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個兒子結(jié)點(diǎn)node，計算出其相應(yīng)的密度node.cd。當(dāng)node.cd<bestd時，將該兒子結(jié)點(diǎn)N插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊列中。,34,6.8 電路板排列問題,算法描述,do if (enode.s == n - 1) {// 僅一個兒子結(jié)點(diǎn)

41、int ld = 0; // 最后一塊電路板的密度 for (int j = 1; j <= m; j++) ld += board [enode.x[n]][j]; if (ld < bestd) {// 找到密度更小的電路板排列 x = enode.x; be

42、std = Math.max(ld, enode.cd); } },S=n-1的情況，計算出此時的密度和bestd進(jìn)行比較。,35,6.8 電路板排列問題,算法描述,else {// 產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn) for (int i = enode.s + 1; i <= n; i++) { HeapNode node = new

43、 HeapNode(0, new int [m + 1], 0, new int [n + 1]); for (int j = 1; j <= m; j++) // 新插入的電路板 node.now[j] = enode.now[j] + board [enode.x[i]][j];,36,6.8 電路板排列問題,int ld

44、 = 0; // 新插入電路板的密度for (int j = 1; j 0 && total[j] != node.now[j]) ld++;node.cd = Math.max(ld, enode.cd);if (node.cd < bestd){// 可能產(chǎn)生更好的葉結(jié)點(diǎn) node.s = enode.s + 1; for (int j = 1; j <= n; j++

45、) node.x[j] = enode.x[j]; node.x[node.s] = enode.x[i]; node.x[i] = enode.x[node.s]; heap.put(node); } } },算法描述,計算出每一個兒子結(jié)點(diǎn)的密度與bestd進(jìn)行比較大于bestd時加入隊列,37,6.9 批處理作業(yè)問題,1. 問題

46、的描述,給定n個作業(yè)的集合J={J1,J2,…,Jn}。每一個作業(yè)Ji都有2項任務(wù)要分別在2臺機(jī)器上完成。每一個作業(yè)必須先由機(jī)器1處理，然后再由機(jī)器2處理。作業(yè)Ji需要機(jī)器j的處理時間為tji，i=1,2,…,n；j=1,2。對于一個確定的作業(yè)調(diào)度，設(shè)是Fji是作業(yè)i在機(jī)器j上完成處理的時間。則所有作業(yè)在機(jī)器2上完成處理的時間和,稱為該作業(yè)調(diào)度的完成時間和。批處理作業(yè)調(diào)度問題要求對于給定的n個作業(yè)，制定最佳作業(yè)調(diào)度方案，使其完成時間和達(dá)

47、到最小。,38,6.9 批處理作業(yè)問題,2. 限界函數(shù),在結(jié)點(diǎn)E處相應(yīng)子樹中葉結(jié)點(diǎn)完成時間和的下界是：,注意到如果選擇Pk，使t1pk在k>=r+1時依非減序排列，S1則取得極小值。同理如果選擇Pk使t2pk依非減序排列，則S2取得極小值。,這可以作為優(yōu)先隊列式分支限界法中的限界函數(shù)。,39,6.9 批處理作業(yè)問題,3. 算法描述,,算法的while循環(huán)完成對排列樹內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的有序擴(kuò)展。在while循環(huán)體內(nèi)算法依次從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊列中

48、取出具有最小bb值（完成時間和下界）的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并加以擴(kuò)展。,首先考慮enode.s=n的情形，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)enode是排列樹中的葉結(jié)點(diǎn)。enode.sf2是相應(yīng)于該葉結(jié)點(diǎn)的完成時間和。當(dāng)enode.sf2 < bestc時更新當(dāng)前最優(yōu)值bestc和相應(yīng)的當(dāng)前最優(yōu)解bestx。,當(dāng)enode.s<n時，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)enode的所有兒子結(jié)點(diǎn)。對于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個兒子結(jié)點(diǎn)node，計算出其相應(yīng)的完成時

49、間和的下界bb。當(dāng)bb < bestc時，將該兒子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊列中。而當(dāng)bb? bestc時，可將結(jié)點(diǎn)node舍去。,40,6.9 批處理作業(yè)問題,do { if (enode.s == n ) {// 葉結(jié)點(diǎn) if (enode.sf2 < bestc) { bestc = enode.sf2;

50、 for (int i = 0; i < n; i++) bestx[i] = enode.x[i]; } },3. 算法描述,當(dāng)enode.sf2<bestc時，更新當(dāng)前最優(yōu)值beste和相應(yīng)的最優(yōu)解bestx,41,6.9 批處理作業(yè)問題,3. 算法描述,else // 產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的兒子結(jié)點(diǎn) for (int i

51、= enode.s; i < n; i++) { MyMath.swap(enode.x, enode.s,i); int [] f= new int [3]; int bb=bound(enode,f); if (bb < bestc ) {