華東交通大學控制理論基礎

1、1,第2章 控制理論的數(shù)學建模方法,2.1 控制理論的數(shù)學基礎控制系統(tǒng)的微分方程求解是分析系統(tǒng)暫態(tài)性質的必要條件，但是高階微分方程的求解十分困難，因此需要能將微分求解轉換為代數(shù)求解的數(shù)學方法。拉普拉斯變換是求解線性系統(tǒng)微分方程的常用數(shù)學工具，可以把積分方程、微分方程轉換為代數(shù)方程。,2,復數(shù)與復變量,a、b為常數(shù),復變函數(shù),復數(shù),復變量,F(s)是函數(shù)，其自變量為s，s為復變量,3,：時間t的函數(shù)，并且當 時

2、 ； S：復變量，稱為拉普拉斯算子； L：運算符號，放在某個量之前表示該量用拉普拉斯積分 進行變換；F(s)：f(t)的拉普拉斯變換，即為復變函數(shù)。,2.1.1 Laplace變換,拉普拉斯變換：將微分算子變成代數(shù)算子。,例2-1 求函數(shù)f(t)=at (t≥0,a為常數(shù))的拉式變換。,4,5,5,2.1.2 典型輸入信號的拉氏變換,1、單位脈沖函數(shù),2、單位階躍函數(shù),

3、單位階躍信號是評價系統(tǒng)暫態(tài)性能時應用較多的一種典型信號。,6,3、單位斜坡函數(shù)：單位速度函數(shù),7,4、拋物線函數(shù)：單位加速度函數(shù),8,5、指數(shù)函數(shù),9,1、線性性質拉式變換遵從線性函數(shù)的齊次性和疊加性。拉式變換的齊次性：時間函數(shù)乘以常數(shù)，其拉式變換為該時間函數(shù)的拉式變換乘以這一常數(shù)。拉式變換的疊加性：兩個時間函數(shù)之和的拉式變換等于這兩個時間函數(shù)各自拉式變換的和。,3.1.3 拉式變換的性質,10,11,12,13,2、微分性質,1

4、4,例：用拉氏變換求解微分方程。（初始值為0）,解:對上式兩端取拉氏變換,利用微分性質得,15,16,3、積分性質,若原函數(shù)f(t)及其各重積分的初始值都等于0，則有,4、位移性質,17,5、時間尺度,6、初值定理,18,19,7、終值定理,20,2.1.4 Laplace反變換,Laplace變換與Laplace反變換一一對應,查表法部分分式展開法,拉式反變換是將求得的拉式變換的解轉換到時域，即微分方程的解，是對系統(tǒng)進行時域分析的必

5、要條件。,在控制過程中，可以將F(s)表示為以下形式：,21,22,部分分式展開法：將復雜的F(s)展開成很多簡單項之和，分別求取簡單項的拉普拉斯反變換，再疊加得到f(t)。F(s)只含有不同極點時,23,24,25,2.2 數(shù)學模型的建立,要定量分析自動控制系統(tǒng)，首先須建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。對于自動控制系統(tǒng)來說，數(shù)學模型是用來表達系統(tǒng)的輸入變量與輸出變量之間的關系。在以單輸入單輸出系統(tǒng)為研究目的的經典控制理論中，主要采用微分方程

6、、傳遞函數(shù)、信號流圖和結構框圖的形式。,2.2.1 動態(tài)微分方程的編寫微分方程：在時域中描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學模型。其目的在于確定被控量與給定量或擾動量之間的函數(shù)關系。給定量或擾動量作為系統(tǒng)的輸入量，被控量作為輸出量。,26,27,微分方程的給出方法有兩種：1.物理建模（理論推導）：根據(jù)系統(tǒng)遵循的物理規(guī)律（如力學、電磁學、運動學、熱學等）來建立。Ohm定律、kirchhoff定律、newton定律、hooke定律等2.系統(tǒng)

7、辨識：用實驗方法，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)整理并擬合來建立。,編寫微分方程的一般方法：,首先分析各元件的工作原理，明確輸入量、輸出量。,2. 其次建立輸入量、輸出量的動態(tài)微分方程。,3. 消除中間變量，得到只包含輸入量和輸出量的微分方程。,4. 整理微分方程。輸出量有關項放在方程左側，輸入量有關項放在方程右側，各階導數(shù)項按降階排列。,28,,常用元件關系式——機械系統(tǒng),在力F的作用下位移為x,29,30,電路元件兩端電壓u,常用元件關系式——電網

8、絡,31,【例2-9】給出RC電路的微分方程式。,3. 消除中間變量i，得到微分方程,解：1. 確定輸入量、輸出量。當電壓ui變化時，將引起電流i的變化，因此uo也隨之變化。故將輸入電壓ui作為輸入量，xi=ui(t)電容電壓uo作為輸出量，xo=uo(t)，,4. 標準化微分方程，可得,,,,【例2-10】圖示RLC電路，輸入量為u1，輸出量為u2，求該電路系統(tǒng)的微分方程。,1. 明確輸入量、輸出量,2. 建立輸入、輸出量的動態(tài)

9、聯(lián)系。由基爾霍夫定律得：,3. 消除中間變量i，并整理,32,【例2-11】設有一彈簧k、質量m、阻尼B的機械位移系統(tǒng)，當外力f(t)作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)產生位移x(t)，寫出以f(t)作為輸入量，位移x(t)作為輸出量的系統(tǒng)微分方程。,解：根據(jù)牛頓第二定律，列出系統(tǒng)力平衡方程：,標準化微分方程為,33,2.2.3 傳遞函數(shù)的編寫,34,微分方程數(shù)學模型可以通過拉普拉斯變換轉換為在復數(shù)s域內的數(shù)學模型---傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)定義：線

10、性定常系統(tǒng)在輸入、輸出初始條件均為零的條件下，輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。,初始條件為零有兩方面的含義：輸入信號作用是t=0后才加入系統(tǒng)的，因此輸入量及各階導數(shù)在t =0-時值為0；輸入信號作用于系統(tǒng)之前系統(tǒng)是靜止的，即t=0-時，系統(tǒng)的輸出量及各階為0。,35,在零初始條件下，對方程兩邊求拉氏變換，得：,線性定常系統(tǒng)微分方程的一般表達式為：,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,求出系統(tǒng)的微分方程后，只要把方程中各階導數(shù)用相應階次的變量s

11、代替，就很容易求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)的分母多項式方程稱作系統(tǒng)的特征方程式。分母中s的最高階次數(shù)n就是系統(tǒng)的階數(shù)。,36,傳遞函數(shù)W(s)是復變量s的函數(shù)，除了用分子與分母多項式表示外，還有兩種表示方式：,37,對于簡單的系統(tǒng)，先列出其微分方程，求其在零初始條件下的拉式變換，輸入量、輸出量的拉氏變換之比，即為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,,,【例2-12】圖示RLC電路，求其傳遞函數(shù)。,系統(tǒng)微分方程為,當初始條件為零時，拉氏變換為：,則傳遞

12、函數(shù)為,,1）比例環(huán)節(jié)（無慣性環(huán)節(jié)）輸入量、輸出量呈線性比例關系的環(huán)節(jié)。,其輸入、輸出關系為：,2. 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)有的系統(tǒng)雖然具有不同的元件和電路，但是傳遞函數(shù)的形式相同，按照元件的傳遞函數(shù)，歸納幾種典型環(huán)節(jié)。,38,傳遞函數(shù)：,K---放大系數(shù)或增益,比例環(huán)節(jié)的動態(tài)框圖,39,【例】運算放大器，輸入電壓ui (t)， 輸出電壓uo(t) 。求傳遞函數(shù)。,輸入電壓ui (t)與輸出電壓uo(t) 之間的關系：,經laplac

13、e變換后，得傳遞函數(shù),1、流進放大器的電流可以忽略，所以i1=i22、a點電壓為0,,,,2）慣性環(huán)節(jié)若系統(tǒng)中存在一個儲能元件，則這類環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。,40,慣性環(huán)節(jié)的動態(tài)框圖,41,【例2-9】電網絡如圖，求傳遞函數(shù)。,消除中間變量i，得,經laplace變換得,故傳遞函數(shù),42,【例】求傳遞函數(shù)。,根據(jù)newton定律有,經laplace變換得,故傳遞函數(shù)為,即,43,導前環(huán)節(jié),,3） 積分環(huán)節(jié),44,傳遞函數(shù)：,輸出量xo為

14、輸入量xi的積分，即,積分環(huán)節(jié)的動態(tài)框圖,45,對積分環(huán)節(jié)，若輸入單位階躍信號 xi(t)=1，求輸出量xo。解：輸入拉氏變換：xi(s)=1/s,有,則輸出,46,【例】積分運算電路，求傳遞函數(shù)。,根據(jù)電路定律有,故傳遞函數(shù)為,式中，,,4）微分環(huán)節(jié)在暫態(tài)過程中，輸出量為輸入量的微分。,47,48,【例】微分運算電路如圖，求傳遞函數(shù)。,故傳遞函數(shù)為,根據(jù)電路定律有,推出,經laplace變換得,,,,,,,,5. 振蕩環(huán)節(jié)（二階振

15、蕩環(huán)節(jié)）,49,傳遞函數(shù)為,圖2-11,2.2.4 控制系統(tǒng)的動態(tài)結構圖,動態(tài)結構圖是自動控制系統(tǒng)數(shù)學模型的另一種形式，是描述系統(tǒng)中各個元部件之間信號傳遞關系的數(shù)學圖形，它們表示系統(tǒng)中各變量之間的因果關系及對各變量所進行的運算，是控制理論中描述復雜系統(tǒng)的一種簡便方法。應用動態(tài)結構圖可以簡化復雜控制系統(tǒng)的分析和計算，同時能直觀地表明控制信號在系統(tǒng)內部的動態(tài)傳遞過程。,51,系統(tǒng)動態(tài)結構圖由3部分組成：,(1) 方框圖,52,指向方框的箭

16、頭表示輸入的laplace變換離開方框的箭頭表示輸出的laplace變換方框中表示的是輸入與輸出之間的傳遞函數(shù),,(2)分支點,同一信號向不同方向傳遞,(3)比較點,“+”或“-”表示該輸入信號在代數(shù)運算中的符號,帶有箭頭的直線稱為信號線箭頭方向代表信號傳遞的方向,多個輸入，一個輸出：輸出信號等于輸入信號代數(shù)和,53,(1) 根據(jù)信號傳遞過程，將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)和部分；,(3) 繪出各環(huán)節(jié)的框圖，圖中標出其傳遞函數(shù)，輸入量和輸出

17、量；,(4) 按照信號的傳遞方向 ，依次連接各環(huán)節(jié)的方框圖 左邊輸入，右邊輸出，反饋則“倒流”,繪制動態(tài)結構圖的一般步驟：,(2) 按照系統(tǒng)結構和工作原理，確定系統(tǒng)中各元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)；,54,【例】繪制動態(tài)結構圖。,,【例2-13】繪制系統(tǒng)結構圖。,1. 根據(jù)信號傳遞過程，將系統(tǒng)劃分為4各部分，R1、C1、R2、C2。,2. 確定各個環(huán)節(jié)的輸入量和輸出量，求各個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。,55,56,3. 將以上各環(huán)節(jié)的方框圖，按

18、照信號傳遞的方向連接起來，則得到系統(tǒng)的動態(tài)框圖。,將復雜的動態(tài)結構圖進行簡化可以求出傳遞函數(shù)。,1. 環(huán)節(jié)的合并,2.2.5 動態(tài)結構圖的等效變換和簡化,57,1）信號綜合系統(tǒng)中幾個信號在某一比較點進行相加或相減,輸入環(huán)節(jié)與輸出環(huán)節(jié)的關系：,,58,2）串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換規(guī)則環(huán)節(jié)的串聯(lián)：前一環(huán)節(jié)的輸出為后一環(huán)節(jié)的輸入,,串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)為：,推論：n個環(huán)節(jié)串聯(lián)，其等效傳遞函數(shù)為各個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。,59,,,,,,,,,

19、3）并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換規(guī)則并聯(lián)：各環(huán)節(jié)的輸入相同，輸出為各環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和,并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)為：,推論：n個環(huán)節(jié)并聯(lián)時，其等效傳遞函數(shù)為各個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和。,,60,4）反饋環(huán)節(jié)的等效變換規(guī)則,推導過程：,正向傳遞函數(shù),反向傳遞函數(shù),開環(huán)傳遞函數(shù),對于一個閉環(huán)反饋環(huán)節(jié)，按照信號的傳遞方向，分為兩個通道，即正向通道和反向通道。正向通道傳遞正向信號，通道的傳遞函數(shù)為正向傳遞函數(shù)。反向通道是把輸出信號反饋到輸入端的通道，通道的傳

20、遞函數(shù)為反向傳遞函數(shù)。,61,反饋回路閉合后,,展開得,注意：若比較點的B(s)處為負號，上式中G(s)H(s)前為正號； 若比較點的B(s)處為正號，上式中G(s)H(s)前為負號。,比較點的B(s)取“+”，為正反饋；取“-”，為負反饋。負反饋連接是控制系統(tǒng)的基本結構形式。,62,若反饋回路傳遞函數(shù)H(s)=1，則反饋稱為單位反饋。,,相加點和分支點的換位在復雜控制系統(tǒng)中，除了存在主反饋外，一般都有相互交錯的局部反饋。

21、為了簡化系統(tǒng)的結構動態(tài)圖，常常需要將分支點或相加點進行換位運算。換位運算的原則：在輸入信號不變的前提下，保證換位前后的輸出信號不變。,63,64,（1）相加點從環(huán)節(jié)輸入端換位輸出端,,為了保證X3不變，應在移動的支路上串入相同傳遞函數(shù)的方框。,65,（2）相加點從環(huán)節(jié)輸出端換位輸入端,,為了保證X3不變，應在移動的支路上串入相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的方框。,66,（3）分支點從環(huán)節(jié)輸入端移到輸出端,為了保證移動后X3不變，應在分支路上串入相同

22、傳遞函數(shù)倒數(shù)的方框。,67,為了保證移動后X3不變，應在分支路上串入相同傳遞函數(shù)的方框。,（4）分支點從環(huán)節(jié)輸出端移到輸入端,68,（5）兩個分支點或者兩個相加點之間可以互相換位，不改變輸出量,（6）相加點和分支點之間不能換位,,傳遞函數(shù)方框圖的簡化方法方法1：利用等效變換規(guī)則通過移動分支點或相加點，消除交叉連接，使其成為獨立的小回路，以便用串、并聯(lián)和反饋連接的等效規(guī)則進一步簡化。一般先解內回路，再逐步向外回路， 一環(huán)環(huán)簡化，最后

23、求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。,69,,,,,【例】簡化圖示三環(huán)回路，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。,70,,,(a),(b),,,71,,(c),72,(c),,,(d),(e),73,【例】簡化回路，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。,,,,,,,,74,3. 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),（1）單回路系統(tǒng)只有一個主反饋而沒有其他局部反饋的系統(tǒng)。當反饋環(huán)節(jié)為1時，則稱為單反饋。,75,從E(s)到Xf(s)之間各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積，就是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。,因此，系統(tǒng)的

24、開環(huán)傳遞函數(shù)是反饋信號與偏差信號之比，也是正向通道傳遞函數(shù)與反向通道傳遞函數(shù)的乘積。,76,（2）多回路系統(tǒng)在系統(tǒng)中，除了主反饋外，還有局部反饋存在的系統(tǒng)。求多回路系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，先將多回路系統(tǒng)化簡為單回路系統(tǒng)，再根據(jù)單回路系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，求多回路系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)是根軌跡法和頻率法分析系統(tǒng)的主要數(shù)學模型。,77,4. 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù),在初始條件為零時，系統(tǒng)閉環(huán)輸出量與輸入量拉式變換之比稱為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。系

25、統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)是分析系統(tǒng)暫態(tài)特性的主要數(shù)學模型。,78,5. 系統(tǒng)對擾動作用的傳遞函數(shù),圖2-27中存在兩個輸入量，給定量和擾動量同時作用于系統(tǒng)。對線性系統(tǒng)，可以對每一個輸入量分別計算輸出量，最后進行輸出量疊加，得到系統(tǒng)的輸出量。,79,當擾動輸入時，系統(tǒng)的結構框圖如圖：,通過疊加性，系統(tǒng)輸出量為：,2.2.6 信號流圖,信號流圖是一種用圖線表示線性系統(tǒng)組的方法，由梅遜于1953年提出，所以又稱為梅遜圖。應用于線性系統(tǒng)時必須先

26、將系統(tǒng)的微分方程組變成以S為變量的代數(shù)方程組，且把每個方程改寫為因果式。,80,81,信號流圖基本要素：節(jié)點：表示系統(tǒng)的變量，圖中的用小圓圈?表示 。支路：連接兩個節(jié)點的有向線段。用符號“→”表示，箭頭表示信號傳遞的方向。傳輸：亦稱支路增益支路傳輸定量地表明變量從支路一端沿箭頭方向傳送到另一端的函數(shù)關系。用標在支路旁邊的傳遞函數(shù)“G”表示支路傳遞系數(shù)。,82,例2-18 一個簡單系統(tǒng)的描述方程為：試用信號流圖來表示。式中：

27、x1--輸入信號；a--兩個變量之間的增益。,解：該方程式的信號流圖如圖所示。,83,例2-19 當系統(tǒng)描述方程組為：,試用信號流圖來表示。式中：x1---為輸入量；x5---輸出量；a、b、c、d、e、f、g、h---各支路上的增益。,84,解：首先按照 x1,x2,x3,x4,x5 次序繪出各節(jié)點，然后根據(jù)方程式繪制各支路。例如式x2=ax1+bx3+gx5表示有3條至x2節(jié)點的支路，一條起始節(jié)點x1，增益為a；一條起

28、始節(jié)點x3，增益為b；一條起始節(jié)點x5，增益為g。當所有方程式的信號流圖繪制完畢，得到系統(tǒng)的信號流圖。,85,例2-20 一系統(tǒng)方程組為：,試求出該系統(tǒng)的信號流圖和對應結構框圖。式中：xi---為輸入量；xo---輸出量；a、b、c、d、e、f、g---各支路上的增益。,86,解：共有6個節(jié)點，根據(jù)各方程繪制支路。得到系統(tǒng)的信號流圖和對應結構框圖。,87,信號流圖中的各個節(jié)點（包括源點、匯點、混合節(jié)點等）對應于方框圖中輸入、

29、輸出、相加點和分支點，同時相鄰兩個節(jié)點之間的通路對應于動態(tài)框圖的一個環(huán)節(jié)，信號流圖與動態(tài)框圖的傳遞方向一致。,88,信號流圖中的術語（1）源點（輸入節(jié)點）：只有輸出支路的節(jié)點。一般表示系統(tǒng)的輸入變量。（2）匯點（輸出節(jié)點）：只有輸入支路的節(jié)點。一般表示系統(tǒng)的輸出變量。（3）混合節(jié)點：既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點。,源點,匯點,89,（4）通路：從某一節(jié)點開始，沿支路箭頭方向經過各相連支路到另一節(jié)點（或同一節(jié)點）所構成的路徑

30、。通路中各支路增益的乘積稱為通路的增益。,（5）開通路：與任一節(jié)點相交不多于一次的通路。（6）閉通路：如果通路的終點就是通路的起點，并且與其他任何節(jié)點相交不多于一次的通路稱為閉通路或回環(huán)。-abcdg；-bcf；-cde；,90,（7）前向通路：從源點開始，終止于匯點，并且與其他節(jié)點相交不多于一次的通路。該通路的各支路增益乘積為前向通路的增益。（8）不接觸回環(huán)：如果一信號流圖存在多個回環(huán)，并且各回環(huán)之間沒有任何公共節(jié)點，稱為不

31、接觸回環(huán)；反之稱為接觸回環(huán)。f與cb為不接觸回環(huán)，f與cegh有公共節(jié)點x4，則為接觸回環(huán)。,2. 梅遜增益公式,對于簡單的信號流圖，可以先將信號流圖轉換為動態(tài)框圖簡化。但對回路較多的復雜信號流圖來說，可以通過梅遜增益公式，直接求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,91,92,93,根據(jù)梅遜增益公式計算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，首先要識別出所有的前向通路，且與之接觸的回環(huán)。再正確識別所有的回環(huán)并區(qū)分它們是否相互接觸，是什么類型的接觸。,94,例2-21

32、 如圖2-31所示的信號流圖，求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,95,解：由圖可知，系統(tǒng)只有一個前向通路，n=1；前向通路增益為T1=abcd系統(tǒng)有3個回環(huán)，這3個回環(huán)相互接觸，并且都與前向通路相接觸。3個回環(huán)的增益La=-cde; Lb=-bcf; Lc=-abcdg,96,97,例2-22 一系統(tǒng)的信號流圖如圖所示，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,解：系統(tǒng)有兩條前向通路，n=2，其增益 T1=abcd, T2=fd。系統(tǒng)有3個回環(huán)

33、La（x2 → x3→x2），增益 La=be; Lb（x1→x2 → x3→x4→x5→x1），增益Lb=-abcdg; Lc（x1→x4 → x5→x1）增益Lc=-fdg。,98,3個回環(huán)中只有La與Lc互不接觸，Lb與La及Lc都存在公共節(jié)點，,99,與前向通路T1相接觸的回環(huán)為La，Lb，Lc，得到T1的特征余子式Δ1=1,與前向通路T2相接觸的回環(huán)為Lc，Lb，因此把Δ中的Lc，Lb置零，得到T2的特征余子式Δ2=