初等數(shù)論連分?jǐn)?shù)

1、第七章 連分?jǐn)?shù),,,§7.4 二次不定方程,一、利用循環(huán)連分?jǐn)?shù)理論討論問(wèn)題,二、定理及推論,1．二次不定方程,(1),一、利用循環(huán)連分?jǐn)?shù)理論討論問(wèn)題,其中 是非平方的正整數(shù);,因?yàn)?是非平方的整數(shù)，故 是一個(gè)二次不盡根，由§3定理2知:,令 我們來(lái)證明.,,定理1,證明：由§2（2）式及§2定理2知:

2、,,,有兩個(gè)整數(shù),使得下式成立,則極易驗(yàn)證（2）.,設(shè)有二整數(shù) 存在，使得,則由§2（2）式及§2定理2知,把上式代入即得,(3),令,因?yàn)?故,因此,是整數(shù).由,的定義知：,,故（2）對(duì),也成立,由數(shù)學(xué)歸納法定理得證.,由此得,證明： 令,的第,個(gè)漸近分?jǐn)?shù)是,定理 2 若,是一個(gè)非平方的正整數(shù)，,即定理1中,定義，則二次不定方程,有正整數(shù),解,并且,因,是無(wú)理數(shù)，故得,以,

3、乘第一式減去以,乘第二式即得,有一正整數(shù)解,且由漸近分?jǐn)?shù)的性質(zhì)知,推論 若,即定理1中所定義的，則（4）有無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)解，即,（4）,,故得,是無(wú)理數(shù)，故,.由定理2及,即得:,證明：由定理2知（4）有一整數(shù)解，即,又由假設(shè),及定理1知,定理 3 若d 是一個(gè)非平方的正整數(shù)，則不定方程 （pell方程）,（5）,有正整數(shù)解.,(6),證明： 由定理2的推論，有一正整數(shù),存在（只需,使得不定方程,有無(wú)窮多個(gè)正

4、整數(shù)解，則在這無(wú)窮多組正整數(shù)解中一定有,兩組不同的正整數(shù)解,使得下列關(guān)系成立,,故,（7）,由（6）式即得,故若令,則,為非負(fù),整數(shù)且由（7）知,是（5）的一解.,顯然,否則,這與,矛盾；,并且,否則,由定理 2 知,，因此,但,，故,這與,的定,是（5）的一組正整數(shù)解.,定理 4 若,是（5）的一組正整數(shù)解，且,是形如,的最小數(shù)，則（5）,式的一切正整數(shù)解,可由下式確定：,（8）,證明：（Ⅰ）由（8）式確定的,顯然是正整數(shù)，

5、,并且,,成立.故,（9）,故由（8）式確定的,是（5）的正整數(shù)解.,（Ⅱ）假定（5）有一組正整數(shù)解,；但對(duì)任何,正整數(shù),來(lái)說(shuō),因此有一整數(shù),存在使得不等式,其中,仿（1）,可證得,（10）,由（9），（10）即得,（11）,由（9），（11）即得,，即,又由（9）,（11）即得,故,練習(xí),故由（10）知,是（5）的一組正整數(shù)解;由（9）知,的定義矛盾，因此定理得證.,1.,即定理 4中所定義的，試證明（5）式的一切整數(shù),解,可由下式確