第三章--固體物理

1、預(yù)備知識(shí)---振動(dòng),廣義振動(dòng)：某物理量在某數(shù)值附近作周期性變化 。一般地說，任何一個(gè)物理量的值不斷地經(jīng)過極大值和極小值而變化的現(xiàn)象，稱為振動(dòng)。振動(dòng)是指系統(tǒng)對(duì)平衡位形(勢能有極小值的位形)的某種周期性偏離。如：微觀粒子的運(yùn)動(dòng)、星體的運(yùn)動(dòng)、樂器發(fā)聲、交變電磁場、電流、“交頭接耳” 、心動(dòng)、同學(xué)“三點(diǎn)一線” 等。 簡諧振動(dòng)——一物理量隨時(shí)間的變化規(guī)律遵從余弦函數(shù)關(guān)系，則稱該物理量作簡諧振動(dòng)。線性振動(dòng)——凡力學(xué)體系在平衡位置附近作微振

2、動(dòng)（振幅很小），只考慮一級(jí)（最低級(jí)）近似時(shí)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為線性方程，這種振動(dòng)都屬于線性振動(dòng)。非線性振動(dòng)——波動(dòng)——是振動(dòng)的傳播過程量子力學(xué)——是研究微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的物理學(xué)分支學(xué)科，是反映微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理論，是20世紀(jì)自然科學(xué)的重大進(jìn)展之一。 經(jīng)典力學(xué)——以牛頓三大定律為中心內(nèi)容，適用于宏觀物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量比一般分子或原子大得多的物體在速度比光速小得多的情況下服從經(jīng)典力學(xué)的定律。對(duì)應(yīng)原理——在某些極限情況下，量子力

3、學(xué)規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)典力學(xué)規(guī)律，這就是量子力學(xué)的對(duì)應(yīng)原理。當(dāng)粒子的大小由微觀過渡到宏觀時(shí)，它所遵循的規(guī)律也由量子力學(xué)過渡到經(jīng)典力學(xué)。,薛定諤方程實(shí)質(zhì)上是一種基本假設(shè)，是線性方程，是非相對(duì)論的方程；薛定諤方程在量子力學(xué)中占有極其重要的地位，它與經(jīng)典力學(xué)中的牛頓運(yùn)動(dòng)定律的價(jià)值相似；薛定鄂方程是量子力學(xué)的最基本的方程，是量子力學(xué)的一個(gè)基本原理。,第三章 晶格振動(dòng) 晶體熱學(xué)性質(zhì),掌握一維晶格的振動(dòng)、長波近似、聲子，了解三維晶格振動(dòng)

4、、晶格振動(dòng)熱容理論。,教學(xué)目的：,1 一維簡單格子,§1 一維晶格的振動(dòng),在平衡位置附近以泰勒級(jí)數(shù)展開，得到,相互作用力為,忽略上式的非線性小量，并考慮到在平衡位置時(shí)的勢能取極小值，故右端第一項(xiàng)為零。,第n個(gè)原子與第n+1個(gè)原子的相互作用力為：,類似彈簧諧振子的受力情況，故稱β為彈性恢復(fù)力系數(shù)。,忽略掉相互作用力中非線性項(xiàng)的近似為簡諧近似。,只考慮最近鄰原子的相互作用時(shí)，第n個(gè)原子的受力情況為：,其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：,應(yīng)用周期性

5、邊界條件（玻恩-卡門條件）忽略原子鏈兩端原子與鏈中原子的不同。使上式為通式，其解為：,在任一時(shí)刻，原子的位移有一定的周期分布，即原子的位移構(gòu)成了波，這個(gè)波稱之為格波，把尋求到的運(yùn)動(dòng)方程的解帶入運(yùn)動(dòng)方程就能找出ω與q的關(guān)系即所謂色散關(guān)系。,第n′個(gè)原子的受力情況為：,則,則,將上式代入運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，得到：,即：,或者,平移后色散關(guān)系不變。色散關(guān)系是晶格平移矢量的周期函數(shù)，它主要是由于我們研究的對(duì)象是分立的周期結(jié)構(gòu)所引起的。當(dāng)把k換成-k時(shí)

6、色散關(guān)系也不變。即K與-k對(duì)應(yīng)的頻率完全一樣（稱之為色散關(guān)系的反演對(duì)稱性）。,2 一維復(fù)式格子,若只考慮最近鄰近似，第ｓ個(gè)晶胞中質(zhì)量為M1的原子所受力為：,其運(yùn)動(dòng)方程為,同理可寫出第s個(gè)晶胞中質(zhì)量為M2的原子的運(yùn)動(dòng)方程為：,u，v可以是復(fù)數(shù)，第ｓ個(gè)晶胞中質(zhì)量為 的原子的ω與k相同，但振幅不同，由于u，v是復(fù)數(shù)，故u，v可以有一個(gè)相因子之差，表示它們之間的相位關(guān)系。,我們將代入運(yùn)動(dòng)方程得： 這是以u(píng)，v為未知數(shù)的

7、方程組，要有非零解須系數(shù)行列式為零。便可得到：,展開此行列式可得： 即 上式中取“ ＋” 號(hào)時(shí)，有較高頻率稱為光學(xué)支色散關(guān)系，取“ －”號(hào)時(shí)，有較低頻率稱為聲學(xué)支色散關(guān)系。,光學(xué)支和聲學(xué)支格波,為了討論比較典型,我們處理長波極限下的情況。當(dāng)ka《1（即波長比晶格常數(shù)大得多的光學(xué)支與聲學(xué)支）,當(dāng)k=± 設(shè) 對(duì)聲學(xué)支 對(duì)光學(xué)支,兩支模式的區(qū)別在于，光學(xué)支模式是

8、描寫初基晶胞中兩個(gè)原子相對(duì)運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)模式，若這兩個(gè)原子組成一個(gè)分子，光學(xué)支模式實(shí)際上是分子振動(dòng)模式，描寫的是同一個(gè)分子中的原子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)情況，聲學(xué)支模式代表同一初基晶胞中原子的整體運(yùn)動(dòng)，若初基晶胞中的兩個(gè)原子組成一個(gè)分子的話，聲學(xué)支模式則代表分子的整體運(yùn)動(dòng)模式，這種振動(dòng)模式的色散關(guān)系類似于聲波。但它不是聲波。,一維雙原子晶格的頻譜,布里淵區(qū):q的取值范圍.,一、格波的簡約性質(zhì)、簡約區(qū),—— 簡約區(qū),{,格波：晶體中所有原子共同參與的一種

9、頻率相同的振動(dòng)，不同原子間有振動(dòng)位相差，這種振動(dòng)以波的形式在整個(gè)晶體中傳播，稱為格波。,從形式上看，格波與連續(xù)介質(zhì)彈性波完全類似，但連續(xù)介質(zhì)彈性波中x是可以連續(xù)取值的；而在格波中只能取na（即原子的位置），這是一系列周期排列的點(diǎn)。由此可知，一個(gè)格波解表示所有原子同時(shí)做頻率為?的振動(dòng)，不同原子有不同的振動(dòng)位相，相鄰兩原子的振動(dòng)位相差為aq。若aq改變2?的整數(shù)倍，這兩個(gè)格波所描述的所有原子的振動(dòng)狀態(tài)完全相同。,§2 三維晶格的

10、振動(dòng),設(shè)實(shí)際三維晶體沿基矢a1、a2、a3方向的初基原胞數(shù)分別為N1、N2、N3，即晶體由N＝N1· N2· N3個(gè)初基原胞組成，每個(gè)初基原胞內(nèi)含s個(gè)原子。一維情況下，波矢q和原子振動(dòng)方向相同，所以只有縱波。三維情況下，有縱波也有橫波。,原則上講，每支格波都描述了晶格中原子振動(dòng)的一類運(yùn)動(dòng)形式。初基原胞有多少個(gè)自由度，晶格原子振動(dòng)就有多少種可能的運(yùn)動(dòng)形式，就需要多少支格波來描述。,定性地說，初基原胞質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)主要由

11、聲學(xué)格波代表，初基原胞內(nèi)兩原子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)主要由光學(xué)格波代表 一維S原子鏈：存在S支格波―――其中1支聲學(xué)波，S－1支光學(xué)波。 三維晶體：原胞的總自由度數(shù)為3S,則晶體中原子振動(dòng)可能存在的運(yùn)動(dòng)形式就有3S種，用3S支格波來描述。其中在三維空間定性地描述原胞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的格波應(yīng)有3支，也就是說應(yīng)有3只聲學(xué)格波，其余3（S-1）支則為光學(xué)格波。例如硅晶體屬于金剛石結(jié)構(gòu)，每個(gè)初基原胞含兩個(gè)原子，即S=2 , 它有3支聲學(xué)格波和3支光

12、學(xué)格波。,一維單原子鏈：僅存在一支格波，且為聲學(xué)格波。一維雙原子鏈：存在兩支格波―――聲學(xué)波和光學(xué)波。,三維晶格：3S 支格波，一個(gè)q對(duì)應(yīng)3S個(gè)ω值，即對(duì)應(yīng)3S個(gè)格波，允許的q取值數(shù)仍為初基原胞數(shù)N，則共有3NS組（ωi,q）數(shù)組，晶體中有3NS個(gè)格波。 格波數(shù)＝晶格的總自由度數(shù)＝3NS ――――晶格振動(dòng)理論中的普適結(jié)論。 晶體中任何一原子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是這3NS個(gè)格波所確定的諧

13、振動(dòng)的線性疊加。,一維：－π/a ＜q≤π/a 在第一布里淵區(qū)內(nèi), q點(diǎn)的分布均勻, 每個(gè)q 點(diǎn)的“體積”為2π／(Νa)＝b/N;在第一布里淵區(qū)內(nèi)q可取N個(gè)值； m為整數(shù)三維：q仍在第一布里淵區(qū)內(nèi)取值，共有N個(gè)值（初基原胞數(shù)）,每一組整數(shù)（L1,L2,L3 ）對(duì)應(yīng)一個(gè)波矢量q。將這些波矢在倒空間逐點(diǎn)表示出來，它們?nèi)允蔷鶆蚍植嫉?/p>

14、。每個(gè)點(diǎn)所占的“體積”等于“邊長”為(b1/N1)、（b2/N2）、(b3/N3)的平行六面體的“體積”，它等于：,式中Ω*是倒格子初原胞的“體積”，也就是第一布里淵區(qū)的“體積”，而Ω*＝（2π）3/Ω ，所以每個(gè)波矢q在倒空間所占的“體積”為：,其中V=NΩ為晶體體積。,在倒空間，波矢q的密度為,格波的態(tài)密度函數(shù)g(ω)，又稱為模式密度數(shù)，其定義為 在ω附近單位頻率間隔內(nèi)的格波總數(shù)。,因此對(duì)于1支格波,dω=∣▽qω(q)∣dqn,

15、,,考慮到三維晶體中共有3S支 格波，則格波格態(tài)密度函數(shù)為,對(duì)于單原子晶體，簡正模式的色散關(guān)系有三支，每支色散關(guān)系對(duì)應(yīng)有Ｎ個(gè)簡正模式，則共有3N個(gè)模式，對(duì)于雙原子晶格，晶格模式的色散關(guān)系有6支，3支聲學(xué)支，3支光學(xué)支。每支色散關(guān)系各有N個(gè)簡正模式，故有3N個(gè)聲學(xué)摸，在長波極限下它對(duì)應(yīng)于初基晶胞的整體，這種整體運(yùn)動(dòng)的自由度共有3N個(gè)，這3N個(gè)自由度對(duì)應(yīng)3N個(gè)聲學(xué)模式。,光學(xué)支也有3N個(gè)簡正模式，對(duì)應(yīng)與初基晶胞中原子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，有3N

16、個(gè)自由度。因此總的簡正模式（包括光學(xué)支，聲學(xué)支）共有3×2×N=6N個(gè)，也就是說雙原子晶格共有6N個(gè)簡正模式，這6N個(gè)簡正模式對(duì)應(yīng)于晶體中所有原子的總自由度。,§3 聲子,晶格振動(dòng)可用簡正模式來描述，每一個(gè)簡正模式描寫一個(gè)一定頻率一定波矢和偏振狀態(tài)的平面波，而每一個(gè)平面波對(duì)應(yīng)于一個(gè)簡諧振動(dòng)，給定了K就可以通過一定的色散關(guān)系求出ω。一個(gè)簡正模式就代表一個(gè)頻率為ω的簡諧振動(dòng)，簡諧振動(dòng)的能量是量子化的，一個(gè)頻率

17、為ω，波矢為K的簡正模式，處于N激發(fā)態(tài)，它的能量為：,晶格振動(dòng)的簡正模式（或格波）的能量的量子稱為聲子。聲子是格波能量的量子，并非格波本身，一個(gè)頻率為ω，波矢為k的簡正模式處在第N個(gè)激發(fā)態(tài)，我們就說在這個(gè)能量態(tài)上，占據(jù)了N個(gè)波矢為K,頻率為ω的聲子。聲子的數(shù)目對(duì)應(yīng)于格波激發(fā)態(tài)的量子數(shù)，而格波的簡正模式對(duì)應(yīng)于聲子的種類。,一個(gè)波矢為K的第S支模式處在第N個(gè)激發(fā)態(tài)，我們就說在晶體中存在著N個(gè)波矢為K的第S支聲子（因?yàn)榻o定了K與第S支模式則ω

18、可由色散關(guān)系唯一確定），在晶體中波矢為K的縱聲學(xué)支模式處于N激發(fā)態(tài)，我們就說晶體中有N個(gè)波矢為K的縱聲學(xué)支聲子。,聲子這個(gè)名詞是模仿光子而來（因?yàn)殡姶挪ㄒ彩且环N簡諧振動(dòng)）。聲子與光子都代表簡諧振動(dòng)能量的量子。所不同的是光子可存在于介質(zhì)或真空中，而聲子只能存在于晶體之中，只有當(dāng)晶體中的晶格由于熱激發(fā)而振動(dòng)時(shí)才會(huì)有聲子，在絕對(duì)零度下，即在0K時(shí)，所有的簡正模式都沒有被激發(fā)，這時(shí)晶體中沒有聲子，稱之為聲子真空。聲子與光子存在的范圍不同，即寄居

19、區(qū)不同。,聲子的概念： 聲子是晶格振動(dòng)的能量量子。 聲子具有能量 ，也具有準(zhǔn)動(dòng)量 ，它的行為類似 于電子或光子，具有粒子的性質(zhì)。但聲子與電子或光子是 有本質(zhì)區(qū)別的，聲子只是反映晶體原子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激 發(fā)單元，它不能脫離固體而單獨(dú)存在，它并不是一種真實(shí) 的粒子。我們將這種具有粒子性質(zhì)，但又不是真實(shí)物理實(shí) 體的概念稱為準(zhǔn)粒子。所以，聲子是一種準(zhǔn)粒子。 一種格

20、波即一種振動(dòng)模式稱為一種聲子，對(duì)于由N個(gè)原子 組成的一維單原子鏈，有N種格波，即有N種聲子。當(dāng)一種 振動(dòng)模式處于其能量本征態(tài)時(shí)，稱這種振動(dòng)模有nj個(gè)聲子。,當(dāng)電子或光子與晶格振動(dòng)相互作用時(shí)，總是以 為單 元交換能量，若電子交給晶格 的能量，稱為發(fā)射 一 個(gè)聲子；若電子從晶格獲得 的能量，則稱為吸收一 個(gè)聲子。 聲子與聲子相互作用，或聲子與其他粒子（電子或光

21、子） 相互作用時(shí)，聲子數(shù)并不守恒。聲子可以產(chǎn)生，也可以湮 滅。其作用過程遵從能量守恒和準(zhǔn)動(dòng)量守恒。 對(duì)于由N個(gè)原子組成的一維單原子鏈，有N個(gè)振動(dòng)模式， 即有N種不同的聲子。因此，晶格振動(dòng)的總能量為：,若晶格振動(dòng)的波矢為K的第S支的簡正模式由于外界干擾而被激發(fā)，能量提高了一級(jí)，由N→N+1，那么我們就說晶體中產(chǎn)生了一個(gè)波矢為ｋ的第S支聲子。反之，若由于外界的激發(fā)，格波的激發(fā)態(tài)下降為N-1，則我們說在晶體中淹沒了一個(gè)波

22、矢為K的第S支聲子。,由于聲子是格波簡正模式的能量量子，若其能量為： 其量子數(shù)n可取0?∞的一切值，是不受仍何限制的，因此聲子服從波色統(tǒng)計(jì)規(guī)律，在溫度為ＴＫ時(shí)，一個(gè)波矢為K，量子數(shù)為n的簡正模式上的聲子數(shù)為：,格波與格波之間的互作用可用聲子之間的碰撞來處理。格波與電子波之間的互作用，實(shí)際上就可用聲子與光子的碰撞來處理，但聲子是一種準(zhǔn)粒子。而不是基本粒子。,既然格波的能量量子定義為聲子，當(dāng)格波處于較高的激發(fā)態(tài)時(shí)晶體中

23、就布局著較多的聲子，即格波振幅較大時(shí)，晶體中的聲子數(shù)較多。因此格波的振幅與聲子的數(shù)目就有一定的關(guān)系。,聲子是格波能量的量子，格波并不是描寫粒子的真實(shí)位移的振動(dòng)，而是一個(gè)簡正振動(dòng)模式，是描寫晶體中某一個(gè)原子與所有其他原子的坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)。格波有3N個(gè)簡正模式,在K=0, ω=0時(shí)有物理動(dòng)量即所有原子作整體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量,而其它模式都是相對(duì)坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng),都無物理動(dòng)量,這一點(diǎn)還可用數(shù)學(xué)方法來證明。,考慮一個(gè)一維單原子鏈,晶格常數(shù)為a,晶格振動(dòng)的簡正模式

24、: 所有的原子都有位移,總動(dòng)量應(yīng)等于所有原子的位移時(shí)間微商(即對(duì)s求和)利用公式 可得:,∵L=na ∴ ∴P=0 這就說明格波無物理動(dòng)量,它的總動(dòng)量為零。,,各個(gè)格波可能具有不同的聲子數(shù)，在一定溫度的熱平衡態(tài)，一個(gè)格波的平均聲子數(shù)有多少呢？ 不考慮聲子間的相互作用，故可把聲子視為近獨(dú)立子系，這時(shí)玻色－愛因斯坦統(tǒng)計(jì)與經(jīng)典的玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)是一致的。,在確定的溫度T下，頻率均為ω的N個(gè)

25、格波的平均能量,（這里的N并不是晶體的格波總數(shù)）,的聲子在同ω的格波間均可存在，某一ω的格波具有聲子數(shù)n的狀態(tài)，滿足一定的幾率分布?？衫斫鉃槁曌釉诟癫ㄩg可跳躍。,其中：N—頻率為ω的格波總數(shù) Nn—頻率為ω，能量為En(即聲子數(shù)為n)的格波數(shù)，,由玻爾茲曼統(tǒng)計(jì),其中：分母為配分函數(shù)gn：能量為En的相格數(shù)，即能量En的簡并度。 設(shè)： gn＝1,,因?yàn)?與上式比較可得,利用等比級(jí)數(shù)求和公式、求導(dǎo)、整理可得

26、,其中,意義：,頻率為ω的格波溫度為T時(shí)的平均聲子數(shù)。當(dāng) ＝KBT時(shí)， ≈0.6,定性地講，此格波已激發(fā)，以此為界，溫度為T時(shí)，只有ω≤KBT的格波才能被激發(fā)。,當(dāng)溫度很高時(shí)，,當(dāng)溫度很高時(shí)，平均聲子數(shù)與溫度成正比，與頻率成反比。,§4 晶格振動(dòng)譜的測定方法,通常我們考慮的是單聲子過程，即吸收或產(chǎn)生一個(gè)聲子的過程，單聲子過程在整個(gè)聲子產(chǎn)生和吸收的過程中幾率很大。由于非彈性散射，在散射過程中，根據(jù)能量守恒定律，入射中子

27、經(jīng)散射后，能量和動(dòng)量也要發(fā)生變化，若能測出中子在散射過程中的能量損失與波矢變化就能測出聲子的色散關(guān)系來。,若入射中子的波矢為 ，中子質(zhì)量為 ，散射中子的波矢為 ，則有入射中子的能量：散射中子的能量：據(jù)能量守恒定理：,,動(dòng)量守恒（亦稱波矢選擇條件）：,對(duì)于產(chǎn)生聲子的過程：,相應(yīng)地有：,對(duì)于吸收聲子的過程：,相應(yīng)地有：,即這樣就可把中子能量的改變E-E`作為波矢改變的函數(shù)來處理。,帶入能量守恒條件,對(duì)于產(chǎn)生聲子

28、的過程：,對(duì)于吸收聲子的過程：,即,入射中子的能量E與波矢 是已知的，測出E`及 就可決定色散關(guān)系即可測出散射過程中中子能量的增益和損失以及散射中子的 ，那么 可由 定出，而ω可有E-E`定出，這樣便可得到色散關(guān)系中的一個(gè)點(diǎn)，改變E或改變 的方向，再測能量變化和便可求出色散關(guān)系中的另一個(gè)點(diǎn)，如此多次取點(diǎn)便可得到整個(gè)色散關(guān)系。,定容比熱的定義為單位質(zhì)量的物質(zhì)在定容過程中，溫度升高一度時(shí)，系

29、統(tǒng)內(nèi)能的增量，即,§6 晶格振動(dòng)熱容理論,1 熱容理論,晶體的運(yùn)動(dòng)能量包括晶格振動(dòng)能量Ul和電子運(yùn)動(dòng)能量Ue這兩種運(yùn)動(dòng)能量對(duì)比熱的貢獻(xiàn)分別以Cυl(晶格比熱)和Cυe(電子比熱)來表示。除極低溫下金屬中的電子比熱相對(duì)較大外，通常Cυl >> Cυe,所以本章 僅討論晶格比熱Cυ＝Cυl＝C。,-------晶格振動(dòng)能量為3NS個(gè)量子諧振子能量之和,由格波態(tài)密度函數(shù)g(?)定義，上式也可寫成為,其中?m為截止

30、頻率，且有,則定容比熱為,,將式,代入上式得到,關(guān)鍵和難點(diǎn),假定晶體中所有原子都以相同頻率獨(dú)立地振動(dòng)。3NS個(gè)原子組成的晶體振動(dòng)內(nèi)能U(T),2 Einsten模型,??＝??E＝KB?E,則比熱成為?E和溫度T的函數(shù),在Cv顯著變化的溫度范圍內(nèi)，使比熱的理論曲線盡可能好地與實(shí)驗(yàn)曲線擬合，從而確定愛因斯坦溫度?E。對(duì)于大多數(shù)固體，?E在100～300K范圍。,把晶體視為各向同性的連續(xù)彈性媒質(zhì)。設(shè)晶體是N個(gè)初基原胞組成的三維單式各子(s＝

31、1),僅有3支聲學(xué)格波。并設(shè)它們的波速都相同。因而三支格波的色散關(guān)系均是線性的 ?＝?pq 等能面為球面。,3 德拜模型,格波態(tài)密函數(shù)：,,式中截止頻率?m又稱為德拜頻率，記為?D,它由格波總數(shù)等于3N來確定：,得,引入德拜溫度?D ??D＝KB?D,可得：,作變量代換,,,,,德拜溫度?D往往由實(shí)驗(yàn)確定。在不同的溫度下使Cv的理論值與實(shí)驗(yàn)值相符，從而確定?D。,又由式,(一)、實(shí)驗(yàn)定律 1. 杜隆

32、-珀替定律：對(duì)確定的材料，高溫下的比熱為常數(shù)，摩爾熱容為3R （R為氣體普適常數(shù)）。 2. 德拜定律：低溫下的固體比熱與T3成正比。,4 實(shí)驗(yàn)和理論比較,（二）高溫情況,1 .與愛因斯坦模型比較高溫時(shí) 當(dāng)x<<1時(shí)，ex?1+x， 則,其中,2 .與德拜定律比較,類似以上處理，,而其中,所以,若所考察的晶體為一摩爾物質(zhì)，則N＝N0，Cv＝3N0KB＝3R即在高溫下Debye模型也與杜?。晏娑煞稀?（三）

33、低溫情況,低溫時(shí) ， ,,1 .與愛因斯坦模型比較,T?0時(shí)，Cv以指數(shù)形式很快趨于零，在變化趨勢上與實(shí)驗(yàn)符合。,2 .與德拜模型比較,式中的積分上限可近似取為無窮大，則積分成為,低溫下?D/T>>1，式（3－76）,即Cv?T3，與德拜實(shí)驗(yàn)定律相符合。,簡諧近似→獨(dú)立的格波→獨(dú)立的諧振子→聲子間無互作用→T不變時(shí)，同ω的 不變。解釋了比熱（尤其是低溫下比熱）。但不能解釋熱膨脹（勢能展開

34、式只取到平方項(xiàng)，勢能W－r圖中則為左、右對(duì)稱的拋物線，左右振動(dòng)的平均值仍為0。若取到高次項(xiàng)，左、右不對(duì)稱，當(dāng)溫度高時(shí)，熱振動(dòng)幅值大，新的平衡點(diǎn)沿AB線變化產(chǎn)生膨脹）。,§7 非簡諧效應(yīng) 熱力學(xué)函數(shù),勢能取到高次項(xiàng)后：,1.原子運(yùn)動(dòng)方程不是線性微分方程；2.原子狀態(tài)的通解不再是特解的線性疊加；3.交叉項(xiàng)不能消除；4.格波間有互作用；5.聲子相互作用（碰撞、產(chǎn)生、湮滅）。,熱膨脹系數(shù),要精確測量,等壓條件為P＝0 。,由

35、熱力學(xué)第一定律的微分形式：dQ=dU+dW 熱力學(xué)第二定律可表示為,由以上兩式可得： TdS≥dU+dW （可逆過程取等號(hào)）,d S ≥,自由能,對(duì)可逆過程, 自由能F、體積V、熵S、溫度T、壓強(qiáng)P間滿足dF= dU－SdT－dU－dW ＝－SdT－PdV,由P＝0的條件得：,F＝U－TS,dF=dU－TdS－SdT,晶格的內(nèi)能U包括兩部分：,溫度T時(shí)原子處于平衡位置的晶體結(jié)合能U0（V），對(duì)同種物質(zhì)它僅與晶體體積有

36、關(guān)。另一部分是晶格振動(dòng)能UL，,故晶格自由能可寫成F＝ U0（V）＋UL —TS ＝ U0（V）＋FL式中FL代表晶格振動(dòng)對(duì)自由能的貢獻(xiàn)。按統(tǒng)計(jì)物理FL＝－kTlnZ 其中，Z為晶格振動(dòng)的總配分函數(shù)。,配分函數(shù)是玻耳茲曼分布的態(tài)和函數(shù)，代表了系統(tǒng)的分布特性。它是統(tǒng)計(jì)物理中的一個(gè)重要量，它和熱力學(xué)函數(shù)之間有一定的聯(lián)系。利用配分函數(shù)可以求得任何熱力學(xué)函數(shù)以及系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 對(duì)頻率為ωi的格波（諧振子），有一系列的

37、不連續(xù)的能級(jí)，該格波的配分函數(shù)為 式中g(shù)i 為簡并度，為確定，可設(shè)gi ＝1。,在簡諧近似下，由NS個(gè)原子組成的晶體的晶格振動(dòng)可成為3NS個(gè)獨(dú)立的諧振子(獨(dú)立的格波)所組成的體系，故晶格振動(dòng)體系的配分函數(shù)應(yīng)是3NS個(gè)諧振子配分函數(shù)的乘積：,由等比級(jí)數(shù)求和公式得,其中?（q，j）表示第j支格波中波矢為q的格波的頻率，連乘積涉及所有格波。非簡諧效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的修正表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是晶格結(jié)合能U0(V)變化；二是晶

38、格振動(dòng)的彈性系數(shù)變化，結(jié)果使得頻率成為體積的函數(shù)。,上式又可寫成,!,把自由能式用于求膨脹系數(shù)的條件式，可得,γ和晶體的非簡諧效應(yīng)有關(guān)，隨溫度稍有變化。對(duì)許多固體，可把視為常數(shù)。,式中是第j支格波中波矢為q、頻率為的格波在溫度T時(shí)的平均能量。同時(shí)引入格林艾森（Grureisen）參量,由于固體熱膨脹系數(shù)不大，我們選某一溫度T0為參考溫度（例如選T0=0K），T0時(shí)晶體平衡體積為V0，溫度T時(shí)的體積V與V0間有一微小變化，把在V0處展開，

39、只取前二項(xiàng)則有,式中 ，為體彈性模量。把上式代入，得,式中：V0：參考溫度（可取T＝0）時(shí)固體的平衡體積。,對(duì)上式求導(dǎo)，得,在這里，認(rèn)為,,與 相關(guān)的項(xiàng)較小,可忽略。,由此可知，由于非簡諧效應(yīng)的存在，γ≠0，αV≠0。而晶體定容熱容為晶體晶格振動(dòng)內(nèi)能對(duì)溫度的微商，即,得,稱為格林愛森定律,簡諧近似下：ω不是體積V的函數(shù) γ＝0 αv→0 所以αv是非簡諧效應(yīng)。,1