第三章-固體量子理論初步

1、第三章 固體量子理論初步,2016年9月,,第三章 固體量子理論初步,,3.1 允帶與禁帶,原子的能級（孤立原子中電子的狀態(tài)—能級）,電子殼層K L M N ……不同支殼層電子1s；2s，2p；3s，2p，3d；…共有化運動,,3.1 允帶與禁帶,,3.1 允帶與禁帶,１．電子的共有化運動　　原子中的電子分布在內外許多電子殼層上，每一支殼層對應確定的能量，當原子間互相接近形成晶體時，不同原子的內外各電子層之間有一定的交疊，相鄰

2、原子最外殼層交疊最最多，內殼層交疊較少; 當原子組成晶體后，由于電子殼層間的交疊，電子不再完全局限在某一個原子上，它可以由一個原子轉移到相鄰的原子上去，因而電子將可以在整個晶體中運動，這種運動稱為電子的共有化運動．,,3.1 允帶與禁帶,,3.1 允帶與禁帶,原子的能級的分裂,孤立原子的能級 4個原子能級的分裂,,,,原子的能級的分裂,原子能級分裂為能帶,,,3.1 允帶與禁帶,3.1.1 能帶的形成——

3、晶體由原子組成相互靠攏形成——孤立能級展寬成為能帶,當大量氫原子聚在一起,當原子間距的縮小到r0(晶體中平衡狀態(tài)的原子間距),由泡利不相容原理,任何兩個電子不會具有相同的量子數(shù),因此,一個能級分裂為一個能帶，以保證每個電子占據(jù)獨立的量子態(tài).,能級分裂,兩個近距離氫原子的概率密度函數(shù),獨立氫原子的概率密度函數(shù),r0 平衡時的距離,,3.1 允帶與禁帶,3.1.1 能帶的形成,注意：在平衡狀態(tài)原子間距處，存在能量的允帶，而允帶中的能量仍然是

4、分立的，在晶體中，允帶中分立的能量狀態(tài)數(shù)與晶體中的原子數(shù)相等，由于各能量狀態(tài)差距是極小的，通常認為允帶處于準連續(xù)的能量分布。 電子能帶結構由它們所在勢場決定，因而與給成晶體的原子結構和晶體結構有關，與晶體中的原子數(shù)無關；當晶體中原子數(shù)增加時，只增加每個能帶中的電子態(tài)數(shù)，使能帶中子能級的密集程度增加，對能帶結構，如允帶和禁帶的帶度及相對位置并無影響。,長跑比賽,,3.1 允帶與禁帶,3.1.1 能帶的形成,對于多電子原子形成晶體,

5、當原子間距為r0時,各不同 能級分裂形成不同的能帶,彼此間被禁帶隔開。 最外層電子的能級首先轉化為能帶,內層相對晚一些。,外層先分裂允帶和禁帶,,3.1 允帶與禁帶,3.1.1 能帶的形成,實際晶體中能帶的分裂（以硅晶體為例）：,1.隨原子間距的減小，3s和3p態(tài)互相作用發(fā)生交疊。2.在平衡狀態(tài)原子間距位置產生能帶分裂，其中四個量子態(tài)處于較低能帶，另 外四個量子態(tài)處于較高能帶。3.較底能帶（價帶）的所有

6、狀態(tài)都是滿的，較高能帶（導帶）的所有狀態(tài)都是 空的。4.價帶頂和導帶低之間的帶隙能量Eg為禁帶寬度。,獨立硅原子的示意圖， 3s和3p態(tài)分裂為允帶和禁帶,,,允帶,,禁帶,能帶的基本概念,能帶（energy band）包括允帶和禁帶。允帶（allowed band）：允許電子能量存在的能量范圍。禁帶（forbidden band）：不允許電子存在的能量范圍。允帶又分為空帶、滿帶、導帶、價帶?？諑В╡mpty band）：

7、不被電子占據(jù)的允帶。滿帶（filled band）：允帶中的能量狀態(tài)（能級）均被電子占據(jù)。,圖1-2 金剛石結構價電子能帶圖（絕對零度）,,導帶（conduction band）：有電子能夠參與導電的能帶，但半導體材料價電子形成的高能級能帶通常稱為導帶。價帶（valence band）:由價電子形成的能帶，但半導體材料價電子形成的低能級能帶通常稱為價帶。,導帶底Ec:導帶電子的最低能量 價帶頂Ev:價帶電子的最高能量 禁帶

8、寬度 Eg:Eg=Ec-Ev,一定溫度下半導體的能帶示意圖,,3.1 允帶與禁帶,3.1.2 克龍尼克----潘納模型,獨立的單原子勢函數(shù),近距原子交疊的勢函數(shù),一維單晶的最終勢函數(shù),,,3.1 允帶與禁帶,3.1.2 克龍尼克----潘納模型,,布洛赫定理:所有周期性變化的勢能函數(shù)的單電子波函數(shù)形式一定為:,其中k為運動常量,u(x)是以(a+b)為周期的函數(shù),克龍尼克——潘納模型的一維周期性勢函數(shù),,,3.1 允帶與禁帶,薛定諤方程

9、及其解的形式,,布洛赫波函數(shù),,3.1 允帶與禁帶,3.1允帶與禁帶　 3.1.2克龍尼克－潘納模型,得到,對自由粒子有：,,3.1允帶與禁帶3.1.3 k空間能帶圖,自由粒子的E-k關系,P為粒子的動量，p與k為線形關系,由粒子性有,又由德布羅意關系,因此,由此可得到圖3.7所示的E-k關系。隨波矢k的連續(xù)變化自由電子能量是連續(xù)的。,,3.1允帶與禁帶　3.1.3 K空間能帶圖,,,,,,3.1允帶與禁帶　3.1.3 K空間能帶圖,

10、,3.1允帶與禁帶　 3.1.3 簡約布里淵區(qū),,,,,,,,,,3.1允帶與禁帶 3.1.3 簡約布里淵區(qū),,3.1允帶與禁帶　 3.1.3 簡約布里淵區(qū),（2）E(k)=E(k+2nπ/a)，即E(k)是k的周期性函數(shù)，周期為 2π/a。因此在考慮能帶結構時只需考慮－π/a<k<π/a的第一布里淵區(qū)就可以了。 推廣到二維和三維情況： 二維晶體的第一布里淵區(qū) － π/a <(kx，ky)<

11、 π/a 三維晶體的第一布里淵區(qū) － π/a <(kx，ky，kz)<π/a（3）禁帶出現(xiàn)在 k=2nπ/a處，也就是在布里淵區(qū)的邊界上。,,,3.2 固體中電的傳導,3.2.1 能帶和鍵模型,當溫度T=0K時，單晶硅中，處于最低能帶的4N態(tài)（價帶）完全被價電子填滿，所有價電子都組成共價鍵，較高的能帶（導帶）完全為空。,當T>0K時，一些價帶上的電子可能得到足夠的熱能，從而打破共價鍵躍入導帶，價帶相應位置產

12、生一個帶正電的“空狀態(tài)”，等效為空穴。,裂鍵效應,,3.2 固體中電的傳導,3.2.1 能帶和鍵模型,半導體中導帶和價帶的E—k關系圖(a)T=0K,(b)T>0K,,,3.2 固體中電的傳導,3.2.1 能帶和鍵模型,不同半導體，能帶結構不同，禁帶寬度Eg不同，通常Eg~1eV 。在室溫T=300K，Si的禁帶寬度：Eg=1.12eVGe…… ：Eg=0.67eVGaAs…… ：Eg=1.43eVEg具

13、有負溫度系數(shù)，即T越大，Eg越?。籈g反應了在相同溫度下，Eg越大，電子躍遷到導帶的能力越弱。,如何定性解釋？,,,3.2 固體中電的傳導,3.2.2 漂移電流,漂移電流：漂移是指電子在電場的作用下的定向運動，電子的定向運 動所產生的電流。,設正電荷集，體密度為N（cm-3）,平均漂移速為vd(cm/s)則漂移電流密度為 Ｊ＝qNvd A/cm2,,3.2

14、固體中電的傳導,3.2.3 電子的有效質量,晶格中運動的電子，在外力和內力作用下有：　　?。瓶偅剑仆猓苾?ma, 　　　　　m是粒子靜止的質量?！　　　　　?Ｆ外=m*na, 　　　　　　m*n稱為電子的有效質量。,,3.2 固體中電的傳導,有效質量的意義,自由電子只受外力作用；半導體中的電子不僅受到外力的作用，同時還受半導體內部勢場的作用意義：有效質量概括了晶體內部勢場力對電子的作用，考慮力與加速度a可以不考慮內力, 使得

15、研究半導體中電子的運動規(guī)律時更為簡便（有效質量可由試驗測定）.,,3.2 固體中電的傳導,3.2.3 電子的有效質量,晶體中的電子：,,,自由電子的能量：,,,,,,,,,,,,,m＊為電子的有效質量,,3.2 固體中電的傳導,3.2.3 電子的有效質量,(1)位于能帶底的電子，Ｅ(0)為導帶底的能量 Ｅ(k)>E(0),電子的有效質量mn＊>0,(2)位于能帶頂電子，Ｅ(0)為導帶底的能量 Ｅ(k)<

16、E(0),電子的有效質量mn＊<0,*對半導體來說,起作用的常常是接近于能帶底部或能帶頂部的電子.,,3.2 固體中電的傳導,3.2.４ 空穴的概念,分析過程：當一個價電子躍入導帶后，就會留下一個帶正電的“空狀態(tài)”；價電子在空狀態(tài)中的移動等價為那些帶正電的空狀態(tài)的自身運動；帶正電的空狀態(tài)移動可以看成一個正電荷在價帶中運動；這種可以形成電流的正電荷載流子————空穴。,,3.2 固體中電的傳導,3.2.４ 空穴的概念,說

17、明：１.空穴是一個等效概念，空穴帶有與電子電荷電量大小相等符號相反的+q電量；２.空穴的運動速率就是價帶頂附近空態(tài)中電子的共有化運動速率；３.空穴的有效質量是一個正常數(shù)記為m*p其大小與價帶頂電子的有效質量大小相 等，但符號相反， m*p ＝ －m*n;4.空穴的濃度即價帶頂附近空態(tài)的濃度。,,3.2 固體中電的傳導,3.2.5 金屬、絕緣體和半導體,不同固體有不同的能帶結構，滿帶電子不導電，半滿帶電子在外場下參與導

18、電。,能帶全空或全滿的材料即絕緣體，絕緣體的禁帶寬度一般大于6eV,以至于很難讓價帶中的電子躍遷到導帶。,半導體的禁帶寬度較小，一般約為1ev在Ｔ=0K時的性質與絕緣體相似，室溫下，有一部分價帶電子躍遷到導帶。,瓶子中的水,3.2.5 金屬、絕緣體和半導體,,3.2 固體中電的傳導,金屬,金屬的禁帶較窄，或導帶與價帶在平衡狀態(tài)的原子間距處相互重疊。,半滿帶,允帶交疊,,3.3 三維擴展,不同晶向的電子的有效質量不同，導致導電性不同。

19、,在晶體中的不同方向上原子的間距不同，電了在不同方向上運動會遇到不同的勢場，因此E-k關系就是k空間方向上的函數(shù)。,,3.3 三維擴展,3.3.1 硅和砷化鎵的k空間能帶圖,GaAs,導帶中的電子傾向于停留在能量最小的k=0處，價帶中的空穴傾向于聚集在能量最大處。,直接帶隙半導體：導帶最小能量與價帶最大能量具有相同的k坐標。,應用：直接帶隙半導體中兩個允帶之間的電子的躍遷不會對動量產生影響，這種半導體對材料的光學特性產生重要影響，適用

20、于制造半導體激光器和其他光學器件。,,3.3 三維擴展,3.3.1硅和砷化鎵的k空間能帶圖,硅的價帶最大能量在k=0處，但導帶最小能量中[100]方向上。,間接帶隙半導體：價帶能量最在值和導帶能量最小值的k坐標不同的半導體。,間接帶隙半導體：Si ,Ge, GaP, AlAs.,,3.3 三維擴展,3.3.2 有效質量的補充概念,E-k關系曲線圖中導帶最小值附近的曲率與電子的有效質量成反比。,,3.4 狀態(tài)密度函數(shù),（1）半導體中，

21、對導電有貢獻的電子在導帶中， 對導電有貢獻的空穴在價帶中。,（2）泡利不相容原理：一個狀態(tài)只能被一個電子占據(jù)，因此，對導電過程 起作用的載流子的數(shù)量與有效能量或量子狀態(tài)數(shù)量有關。,（3）求解單位體積中的載流子（電子、空穴）的數(shù)量（濃度），先求導帶 或價帶的狀態(tài)密度。,教室內的一排排桌子，桌子被同學占據(jù),,3.4 狀態(tài)密度函數(shù),問題：如何求導帶中的電子濃度n,設單位體積晶體，能量在Ｅ－

22、E+dE能量間隔的狀態(tài)數(shù)為：dZ=g(E)dEg(E)是狀態(tài)密度，它表示在能量Ｅ附近，單位體積單位能量間隔中的狀態(tài)數(shù)．,在一定溫度Ｔ時，能量為Ｅ的能級被電子占據(jù)的幾率為f(E),那么能量在Ｅ－Ｅ＋dE之間的能級上的電子數(shù)為： dn=f(E)g(E)dE,所以求電子濃度n需兩步：１．求能量為Ｅ的狀態(tài)密度g(E)２．求能量為Ｅ的能級被電子占據(jù)的幾率為f(E),,,3.4 狀態(tài)密度函數(shù)（具體參考《半

23、導體物學》劉恩科，P51),3.4.1(A)狀態(tài)密度函數(shù)g(E)數(shù)學推導,,１．導帶底附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,,,２．價帶頂附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,注意：g(E)是狀態(tài)數(shù)，它表示在能量Ｅ附近，單位體積單位能量間隔中的狀態(tài)數(shù)．,,,禁帶中不存在量子態(tài)，所以在,,１、上式表明，導帶底附近單位能量間隔的量子態(tài)數(shù)目，隨著電子的能量增加按拋物線關系增大，即電子能量越高，狀態(tài)密度越大。2、狀態(tài)密度同時是體積密度和能量密度；狀態(tài)密度和能量和有效質量有關

24、；3、當電子的態(tài)密度有效質量與空穴的態(tài)密度有效質量相等時，gc(E)和gv(E)則關于禁帶中心線相對稱。,２．價帶頂附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,禁帶中不存在量子態(tài)，所以在,１．導帶底附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,２．價帶頂附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,禁帶中不存在量子態(tài)，所以在,3.4.1(A)狀態(tài)密度函數(shù)g(E)數(shù)學推導,１．導帶底附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,２．價帶頂附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,禁帶中不存在量子態(tài)，所以在,注意：g(E)是狀態(tài)數(shù)，它表示在能量Ｅ附近

25、，單位體積單位能量間隔中的狀態(tài)數(shù)．,１．導帶底附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,２．價帶頂附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,禁帶中不存在量子態(tài)，所以在,２．價帶頂附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,禁帶中不存在量子態(tài)，所以在,１．導帶底附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,２．價帶頂附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,禁帶中不存在量子態(tài)，所以在,3.4.1(A)狀態(tài)密度函數(shù)g(E)數(shù)學推導,１．導帶底附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,２．價帶頂附近的狀態(tài)密度函數(shù)：,禁帶中不存在量子態(tài)，所以在,,3.4 狀態(tài)密度函數(shù)

26、?。?.5統(tǒng)計力學）,3.4.1(B) 幾率為 f(E)數(shù)學推導,費米分布函數(shù)和費米能級,在熱平衡狀態(tài)下，晶體中的電子在不同能量的量子態(tài)上統(tǒng)計分布幾率是一定的，電子遵循費米統(tǒng)計律；對于能量為Ｅ的一個量子態(tài)被一個電子占據(jù)的幾率f(E)為：,,N(E)為單位體積的晶體材料中，單位能量間隔區(qū)間內存在的微觀粒子數(shù)量，g(E)為單位體積的晶體材料中，單位能量間隔區(qū)間內所具有的量子態(tài)數(shù)量。 f(E)稱為電子的費米分布函數(shù)，k0是玻耳茲曼常數(shù)，Ｔ是

27、絕對溫度。EF為費米能級。室溫度T=300K時，k0T=0.026eV。,,費米分布函數(shù)和費米能級（3.5統(tǒng)計力學）,討論f(E)的特性:,注意：費米能級EF和溫度、半導體材料的導電類型、雜質的含量有關。處于熱平衡狀態(tài)的系統(tǒng)有統(tǒng)一的費米能級。,,,T=0K,T>0K,T=0K時，13個電子在不同能級、不同量子態(tài)上的分布示意圖。,,費米分布函數(shù)和費米能級（3.5統(tǒng)計力學）,,因此，在溫度不很高時，能量大于費米能級的量子態(tài)基本沒有被

28、電子占據(jù)，而能量小于費米能級的量子態(tài)基本上為電子所占據(jù)；而電子占據(jù)費米能級的幾率在各種溫度下總是１/2.,費米能級標志了電子填充能級的水平，比EF高的量子態(tài)，基本為空，而比EF底的量子態(tài)基本上全被電子所占滿.這樣費米能級EF就成為量子態(tài)是否被電子占據(jù)的分界線：1) 能量高于費米能級的量子態(tài)基本是空的；2) 能量低于費米能級的量子態(tài)基本是滿的；3) 能量等于費米能級的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率是50%。4）費米能級越高，說明有較多的能

29、量較高的量子態(tài)上有電子.,,費米分布函數(shù)和費米能級（3.5統(tǒng)計力學）,,EF以上dE距離處被電子占據(jù)的概率＝與EF以下dE距離空狀態(tài)的概率。,,玻耳茲曼分布函數(shù),,,,,,,半導體中常見的是費米能級EF位于禁帶之中，并且滿足 Ec-EF>>k0T或EF-Ev>>k0T的條件。因此對導帶或價帶中所有量子態(tài)來說，電子或空穴都可以用玻耳茲曼統(tǒng)計分布描述。由于分布幾率隨能量呈指數(shù)衰減，因此導帶絕大部分電子分