說說數(shù)論領域的各種猜想

1、說說數(shù)論領域的那些猜想,數(shù)論是純粹數(shù)學的分支之一，主要研究整數(shù)的性質(zhì)。整數(shù)可以是方程式的解（丟番圖方程）。有些解析函數(shù)（像黎曼ζ函數(shù)）中包括了一些整數(shù)、質(zhì)數(shù)的性質(zhì)，透過這些函數(shù)也可以了解一些數(shù)論的問題。透過數(shù)論也可以建立實數(shù)和有理數(shù)之間的關系，并且用有理數(shù)來逼近實數(shù)。按研究方法來看，數(shù)論大致可分為初等數(shù)論和高等數(shù)論。初等數(shù)論是用初等方法研究的數(shù)論，它的研究方法本質(zhì)上說，就是利用整數(shù)環(huán)的整除性質(zhì)，主要包括整除理論、同余理論等理論。

2、高等數(shù)論則包括了更為深刻的數(shù)學研究工具。它大致包括代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、計算數(shù)論等等。,關于數(shù)論,求出一個整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖（約210-290，古希臘數(shù)學家）方程可解。,數(shù)學猜想的意義,希爾伯特的23個問題,希爾伯特（Hilbert D.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世紀上半葉德國乃至全世界最偉大的數(shù)學家之一。他幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學所有前沿陣地，從而把他的思想深深地滲透進了整個現(xiàn)代數(shù)學。,1900年，希爾伯特

3、在巴黎數(shù)學家大會上提出了23個最重要的問題供二十世紀的數(shù)學家們?nèi)パ芯?，這就是著名的"希爾伯特23個問題"。,希爾伯特的23個問題之第10個問題,希爾伯特（Hilbert D.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世紀上半葉德國乃至全世界最偉大的數(shù)學家之一。他幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學所有前沿陣地，從而把他的思想深深地滲透進了整個現(xiàn)代數(shù)學。,（10）能否通過有限步驟來判定不定方（丟番圖）程是否存在有理整數(shù)解？,他是解

4、析幾何的發(fā)明者之一；,皮埃爾·德·費馬，法國律師和業(yè)余數(shù)學家。他在數(shù)學上的成就不比職業(yè)數(shù)學家差，他似乎對數(shù)論最有興趣，亦對現(xiàn)代微積分的建立有所貢獻。被譽為“業(yè)余數(shù)學家之王”。,解析幾何：笛卡兒是從一個軌跡來尋找它的方程的，而費馬則是從方程出發(fā)來研究軌跡的，這正是解析幾何基本原則的兩個相對的方面。,對于微積分誕生的貢獻僅次于牛頓、萊布尼茨，他還是概率論的主要創(chuàng)始人，以及獨撐17世紀數(shù)論天地的人。,費馬建立了求切線、求極

5、大值和極小值以及定積分方法，對微積分做出了重大貢獻。,費馬猜想—歷經(jīng)三個世紀的猜想,1953年出生1980年劍橋大學克萊爾學院博士位1981年到美國普林斯頓高等研究院任研究員。1981~1984 宅著寫論文，扣住慢慢發(fā)1985年 開始費馬問題的研究,7年后，宣布證明成功。證明共200頁，分六章。6個人分別審稿一章，發(fā)現(xiàn)有bug。但一年后才修復。,素數(shù),中古時代，印度人引進了符號 “1，2，3，4，5，6，7，8，9，0”

6、,它共可以分成三類：1 (大佬，無人敢與其爭鋒)；素數(shù)(素數(shù)也叫質(zhì)數(shù)，只能被1和其自身整除的數(shù))；合數(shù)（可以被1和自身以外的某個自然數(shù)整除的數(shù)）。,素數(shù)是數(shù)學中美妙的音樂，美麗的女神，有著很多讓人捉摸不透的秘密。傳說大數(shù)學家歐拉說過：“一直以來，數(shù)學家總是在孜孜不倦地尋找素數(shù)規(guī)律，但是很難成功。我們可以把素數(shù)看作人類思維無法滲透的奧秘。”,（1）先把1刪除（因為1不是質(zhì)數(shù)）（2）把2留下（最小的偶數(shù)質(zhì)數(shù)），然后把2

7、的倍數(shù)刪去（3）把3留下，然后把3的倍數(shù)刪去（4）把5留下，然后把5的倍數(shù)刪去（5）同理繼續(xù)進行下去，直到把所有數(shù)要么留下，要么刪除這樣如果紙上最大的數(shù)是N，則上述方法可以產(chǎn)生N以內(nèi)素數(shù)的分布表。,公元前三世紀古希臘數(shù)學家、哲學家埃拉托色尼提出了一個叫“過篩”的方法，造出了世界上第一張素數(shù)表，就是按照素數(shù)大小排成的表。把自然數(shù)按其大小一個一個寫上去；然后按下列法則把合數(shù)挖掉：,素數(shù)的分布隨著N的變大，變得越稀疏。比如1

8、到10之間有4個素數(shù)；100之內(nèi)有25個素數(shù)，1000之內(nèi)有168個素數(shù)，100萬之內(nèi)有78498個素數(shù)。,素數(shù)分布不是均勻的，越到后面越稀疏。,(40%)(25%)(16.8%)(7.8%),公元前三世紀，歐幾里得用漂亮的反證法證明了素數(shù)的個數(shù)有無窮多個。,素數(shù)定理,這個被稱做素數(shù)定理。,1859年，黎曼8頁紙論文：“論不超過一個給定值的素數(shù)的個數(shù)”提出6個猜想，其中5個已解決。,黎曼猜想 把素數(shù)的分布最終歸

9、結(jié)為所謂的黎曼ζ函數(shù)的零點問題。,文章中提出的黎曼猜想給數(shù)學家們帶來了比素數(shù)分布更大的挑戰(zhàn)，推動了解析數(shù)論的極大發(fā)展。時至今日，在經(jīng)歷了150多年的認真研究和極力探索后，這個仍然懸而未決。,有人統(tǒng)計過，在當今數(shù)學文獻中已有超過一千條數(shù)學命題以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提。2000年美國克雷數(shù)學所懸賞100萬美金解決黎曼猜想。,孿生素數(shù),孿生素數(shù)是指差為2的素數(shù)對。 一般來說，如果p 和p+2 都是素數(shù)，則（p, p+2

10、)就叫做孿生素數(shù)。,501到600間只有（521，523）和（569，571）兩對。 更大的孿生素數(shù)還有，如（5971847， 5971849）。孿生素數(shù)的分布與素數(shù)相比，還要稀疏得多。,100以內(nèi)有8個孿生素數(shù)：（3，5），（5，7），（11，13），(17，19）， （29，31），（41，43），（59，61），（71,73）。,于是人們又開始猜想了：有無數(shù)對孿生素數(shù)。但沒有人確切地知道究竟有多少對。,2003663613&#

11、215;2195000-1和2003663613×2195000+1,到2009年8月6日，已知最大的孿生素數(shù)為,這樣問題就來了：比如孿生素數(shù)的分布規(guī)律是什么？共有多少對孿生素數(shù)？或者說有沒有一個最大的孿生素數(shù)？,希爾伯特的23個問題之第8個,（8）素數(shù)分布問題：素數(shù)是一個很古老的研究領域。希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孿生素數(shù)問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿

12、生素數(shù)問題目前也未最終解決。,其中，哥德巴赫猜想的最佳結(jié)果屬于中國數(shù)學家陳景潤（1+2），而華人數(shù)學家張益唐在2013年在孿生素數(shù)猜想領域做出了突破性的貢獻。,,1978年,1933年5月22日，出生于福建省閩侯縣（今福州市倉山區(qū)城門鎮(zhèn)臚雷村）。1948年2月考入福建師范大學附屬中學前身福州英華高一上春季班。1950年夏高三上提前考入廈門大學數(shù)理系。1953-1954年在北京四中任教，因口齒不清，被“停職回鄉(xiāng)養(yǎng)病”。,195

13、4年調(diào)回廈門大學任資料員，同時研究數(shù)論，對組合數(shù)學與現(xiàn)代經(jīng)濟管理等問題也作了研究。1955年2月經(jīng)當時廈門大學的校長王亞南先生推薦，回母校廈門大學數(shù)學系任助教。1956年，發(fā)表《塔內(nèi)問題》，改進了華羅庚先生在《堆壘素數(shù)論》中的結(jié)果。1957年9月，由于華羅庚教授的重視，調(diào)入中國科學院數(shù)學研究所任研究實習員。1965年稱自己已經(jīng)證明（1+2），由師兄王元審查后于1966年6月在科學通報上發(fā)表。,哥德巴赫猜想,1742年6月

14、7日，德國數(shù)學家哥德巴赫致信瑞士數(shù)學家歐拉，提出兩個猜想：(1)任何一個大于2的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和(”1＋1”)；(2)任何大于5的奇數(shù)都是3個素數(shù)之和。,同年6月30日，歐拉回信表示相信哥德巴赫猜想是對的，但他不能加以證明。容易證明(2)是(1)的推論，所以(1)是最基本的。,哥德巴赫猜想貌似簡單，要證明它卻實在不易，成為數(shù)學中一個著名的難題。在1921年的一個國際數(shù)學大會上，英國數(shù)學家哈代認為，猜想(1)的困難

15、程度可以和任何沒有解決的數(shù)學問題相比。,1966年5月，我國數(shù)學家陳景潤在《科學通報》上發(fā)布了“1＋2”證明的摘要，這篇論文的完整證明發(fā)表在1973年的第二期《中國科學》上，在國際數(shù)學界引起轟動，并將之命名為“陳氏定理”。,論文題目：“表達偶數(shù)為一個素數(shù)及一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和”。,比如100＝23＋7X11,中科院數(shù)學家王元說：“這是迄今為止世界上關于哥德巴赫猜想（1）最好的成果，無人超越。”而且他的工作與數(shù)論上最偉大的工作聯(lián)系

16、在一起。,陶哲軒(Terence Chi-Shen Tao),當世智商最高的十大天才之一(IQ值230),06年 國際數(shù)學家大會 菲爾茲獎,菲爾茲獎是以已故的加拿大數(shù)學家約翰·查爾斯·菲爾茲命名的，從1936年起開始頒發(fā)，隨后成為最著名的世界性數(shù)學獎。由于諾貝爾獎沒有數(shù)學獎，因此也有人將菲爾茨獎譽為數(shù)學界的“諾貝爾獎”。,菲爾茲獎是一個在國際數(shù)學聯(lián)盟的國際數(shù)學家大會上頒發(fā)的獎項。它每四年頒獎一次，頒給二至四名有卓越

17、貢獻的年輕數(shù)學家。得獎者須在該年元旦前未滿四十歲。,陶哲軒和合作者格林成果證明了 “存在任意長度的素數(shù)等差數(shù)列”。,比如3、5、7，就是由3個素數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列,長度為3；,2002年，陶哲軒和格林想證明，由4個素數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列的數(shù)目是不是也無窮多？,1939年，荷蘭數(shù)學家Johannes van dercorput證明：有無窮多個由3個素數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列。,目前最先進的計算機上發(fā)現(xiàn)的最長的

18、素數(shù)等差數(shù)列長度是23，第一項是素數(shù)56211383760397，公差是44546738095860，所以，第23個素數(shù)是首項加公差乘以22，這已經(jīng)是一個復雜得不得了的問題了。,他們得到的結(jié)果幾乎是一個不能想象的偉大成就，他們證明由素數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列可以任意長，而且有任意多組。,也就是說，對于任意值K（比如1億），存在K個素數(shù)等差級數(shù)列，K是100億也可以，這簡直嚇人。而且，即使目前最好的計算機也無法找出超過23個數(shù)

19、的素數(shù)等差數(shù)列，因此這個猜想只能用數(shù)學方法來證明?！?陶哲軒和格林在2004年的論文中引用了“陳氏定理”。(在陳景潤證明‘1＋2’之后40年),中國第一神童----寧鉑,1964年出生，江西贛州人，人稱"第一神童"。1978年以最高成績考進了中科大少年班·1982年本科畢業(yè)留校任教，在19歲時成為中國最年輕的助教。2003年在南昌出家在江西一所佛寺?lián)卧撍路鸾虒W院的講師。,2歲半時已經(jīng)能夠背誦3

20、0多首毛澤東詩詞，3歲時能數(shù)100個數(shù)，4歲學會400多個漢字，5歲上學，6歲開始學習《中醫(yī)學概論》和使用中草藥，8歲能下圍棋并熟讀《水滸傳》。,謝彥波,張亞勤,78屆中科大少年班,張炘煬,2005年，10歲的張炘煬以510分的成績考入天津工程師范學院，成為全國年齡最小的大學生。2008年夏天，13歲的張炘煬通過北工大碩士研究生的復試，成為全國年齡最小的碩士研究生，再次成為眾人矚目的焦點。2011年，16歲的他成了最小的博

21、士生，被北航數(shù)學專業(yè)錄取。,兩歲半時，就在3個月內(nèi)認識了一千多個漢字。他4歲讀小學一年級，6歲升入五年級；9歲直接上高三。,父親堅持先趕進度造樓，后面裝修時再小范圍修補 要求父親全款在北京買房 他稱在北京男盜女娼的東北垃圾也是“純爺們”，稱北京的亂象完全是外地人(尤其東北人)造成的。有錢不一定有素質(zhì),但沒錢一定沒素質(zhì)。北京必須限制外地人。,張益唐，華人數(shù)學家。1978年考入北京大學數(shù)學系，1982—1985年，師從著名數(shù)學家

22、、北京大學潘承彪教授攻讀碩士學位；1985—1992年美國普渡大學，獲博士學位；1999年至今，在美國新罕布什爾大學任教。,張益唐的博士題目是雅可比猜想(Jacobian conjecture)，導師是從臺大走出去的代數(shù)專家莫宗堅；這一猜想1939年由德國數(shù)學家Ott-Heinrich Keller（1906-1990）于1939年提出來的，是關于多個變量的多項式里面的一個猜想。,這個猜想本身很有名： 莫教授在普渡大學

23、自己的網(wǎng)頁上七八年前就掛了兩篇糾錯文章： Kuo-Parusinski-Paunescu & 中國科大的蘇育才,張益唐也犧牲在雅克比猜想上,七年的主要心血付諸東流了…….,1992年張益唐博士畢業(yè)后六七年時間無固定工作…,1999年在北大80級校友葛力明的幫助下，進入新罕布什爾大學任教。,1900年國際數(shù)學家大會上重提孿生素數(shù)猜想： 存在無窮多個素數(shù)p，使得p + 2是素數(shù)。,早在18

24、49年，法國數(shù)學家波利尼亞克（Alphonse de Polignac，1817–1890）提出了更一般的猜想：對所有自然數(shù)k，存在無窮多個素數(shù)對 (p, p + 2k)，這里k = 1的情況就是孿生素數(shù)猜想。,張益唐于2013年4月17日向《數(shù)學年刊》（Annals of Mathematics）投稿“素數(shù)間的有界距離”（Bounded gaps between primes ）證明存在無數(shù)個素數(shù)對(p, q), 其中每一

25、對中的兩個素數(shù)之差，即p和q的距離，不超過七千萬。同年5月21日，該篇論文被數(shù)學年刊接受. (此時張55歲),但是在張益唐公布一周之后，全球的數(shù)學家開始爭相尋找最小的數(shù)字。其中之一是加州大學洛杉磯分校的一名華裔教授陶哲軒( Terence Tao)。陶哲軒有一個合作項目，在這個項目中，數(shù)學家們努力去尋找最小的數(shù)字，而不是奮力爭搶第一。       這個課題叫做

26、Polymath8，開始于2013年3月，持續(xù)了一年時間。隨著課題的推進，工作逐漸依賴于一名年輕的英國數(shù)學家詹姆斯·梅納德（James Maynard），這名數(shù)學家在2014年2月將定值的最小值推算到246?！霸偻戮蜁泻芏鄦栴}，”陶哲軒說，“需要越來越多的電腦程序，當然也有理論問題。用現(xiàn)有的方式，我們不能得出更好的結(jié)果了，因為有所謂的平等問題，沒有人知道怎么解決這個問題。”,2013年5月13日，張益唐在美國哈佛大學發(fā)表演

27、講，介紹了他的這項研究進展。2013年12月2日，美國數(shù)學會宣布2014年弗蘭克·奈爾森·科爾（Frank Nelson Cole）數(shù)論獎將授予張益唐。[3] 2014年2月13日，張益唐又獲得瑞典皇家科學院，瑞典皇家音樂學院，瑞典皇家藝術學院聯(lián)合設立的的Rolf Schock獎中的數(shù)學獎。2014年8月，在韓國首爾的國際數(shù)學家大會上，張益唐獲邀請在閉幕式之前作一小時的受邀報告（invited

28、lecture）。（國際數(shù)學家大會的受邀報告通常為45分鐘。）2014年9月16日，獲得麥克阿瑟天才獎（MacArthur Fellowship）。,望月新一 ，1969年3月29日出生于日本東京，數(shù)學家，現(xiàn)為日本京都大學教授，20多歲時在“遠阿貝爾幾何”領域中作出過超卓貢獻。2012年8月(43歲)在數(shù)學系主頁上貼了4篇論文，通過總共長達512頁的艱深推理（當代數(shù)學論文多為10~20頁），他宣稱自己解決了數(shù)學史上最富傳奇色彩的

29、未解猜想：ABC猜想。,ABC猜想最先由喬瑟夫·奧斯達利（Joseph Oesterlé）及大衛(wèi)·馬瑟（David Masser）在1985年提出，一直未能被證明。其名字來自把猜想中涉及的三個數(shù)字稱為A、B、C的做法。,abc猜想（abc conjecture）: 對于任何ε>0，存在常數(shù)Cε> 0，并對于任何三個滿足a+ b= c及a,b互質(zhì)的正整數(shù)a,b,c，

30、有：,其中，rad(n)表示n的質(zhì)因數(shù)的積，如 rad(72) = rad (2×2×2×3×3) = 2×3 = 6,ABC猜想之于現(xiàn)在的數(shù)論研究者，就好比牛頓慣性定律之于17世紀的普通人，更是違反數(shù)學上的常識。這一常識就是：“a和b的質(zhì)因子與它們之和的質(zhì)因子，應該沒有任何聯(lián)系?！比绻鸄BC猜想被證明是正確的，那么加法、乘法和質(zhì)數(shù)之間，一定存在人類已知數(shù)學

31、理論從未觸及過的神秘關聯(lián)。,ABC猜想為何如此重要？因為ABC猜想，對于數(shù)論研究者來說，是反直覺的。,歷史上反直覺的卻又被驗證為正確的理論，數(shù)不勝數(shù)。一旦反直覺的理論被證實是正確的，基本上都改變了科學發(fā)展的進程。舉一個例子：牛頓力學的慣性定律，物體若不受外力就會保持目前的運動狀態(tài)，這在17世紀無疑是一個重量級的思想炸彈?！拔矬w不受力當然會從運動變?yōu)橥Ｖ埂保@是當時的普通人基于每天的經(jīng)驗得出的正常思想。,對于數(shù)學家來說，檢查望月的證明

32、是否存在錯漏的另外一個難題就是：要透徹理解望月那512頁的ABC猜想的證明，需要先弄懂望月關于遠阿貝爾幾何的750頁的著作！全世界總共只有約50名數(shù)學家在這方面有足夠的背景知識去通讀望月這本遠阿貝爾幾何著作，更別提望月在證明猜想中建立起來的“宇宙際Teichmüller理論”了。目前為止，自稱“宇宙際幾何學者”的望月，是他自己創(chuàng)造出的宇宙中的獨行者。,孤獨的望月,龐加萊猜想,我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是

33、。,1904年，法國數(shù)學家亨利·龐加萊在提出了一個拓撲學的猜想：“任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚于一個三維的球面。”,簡單的說，一個閉的三維流形就是一個沒有邊界的三維空間；單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續(xù)的收縮成一點。,2006年5月，菲爾茲獎委員會投票授予格里戈里·佩雷爾曼菲爾茲獎，而他宣布不接受此獎。2006年8月22日，第25屆國際數(shù)學家大會舉行，但他并未出席此次大會，也沒有接受菲

34、爾茲獎，成為首位拒絕接受菲爾茲獎的數(shù)學家。佩雷爾曼對國際數(shù)學家大會聯(lián)盟主席Ball說：“如果我的證明是正確的，別種方式的承認是不必要的?！睔v史上只有亞歷山大·格羅滕迪克由于政治原因，于1968年宣布放棄菲爾茲獎，但事后經(jīng)說服，改為接受菲爾茲獎的榮譽，但不參加在蘇聯(lián)莫斯科的授獎。,佩雷爾曼: 俄羅斯人,龐加萊猜想解決頭號功臣。 哈密爾頓: 美國人,他的工作是佩雷爾曼的基礎。丘成桐,朱熹平和曹懷東，一場鬧劇。