計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)課件第十二章

1、第 12 章 線(xiàn)性方程組,知識(shí)點(diǎn)消元解法系數(shù)矩陣與增廣矩陣梯形矩陣線(xiàn)性方程解的情況判定n維向量其相關(guān)性向量組的秩及線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)難點(diǎn)線(xiàn)性方程組的結(jié)構(gòu),n維向量及其相關(guān)性 要求 熟練掌握求解線(xiàn)性方程組線(xiàn)性方程組解的判定向量組的秩及其相關(guān)性齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)并求其通解了解線(xiàn)性方程組的消元解法,12.1線(xiàn)性方程組的消元解法12.1.1 n元線(xiàn)性方程組,我們?cè)诔醯葦?shù)學(xué)中，曾學(xué)習(xí)

2、過(guò)二元一次方程組與三元一次方程組，但在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)會(huì)遇到未知量個(gè)數(shù)超過(guò)三個(gè)或方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)不相等的線(xiàn)性（一次）方程組。例如 等。,,12.1.2系數(shù)矩陣與增廣矩陣,設(shè)線(xiàn)性方程組為令,,,,,,,我們稱(chēng)矩陣A為線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣。 我們稱(chēng)此矩

3、陣為線(xiàn)性方程組的增廣矩陣。12.1.3行簡(jiǎn)化階梯形矩陣 把階梯形矩陣進(jìn)一步進(jìn)行初等行變換，使其滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：1）各非零行的第一個(gè)非零元素都是1。,,,,,,,,2）所有第一個(gè)非零元素所在列的其余元素均為零。則稱(chēng)該矩陣為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣。 例如 、等，均為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣。12.1.4 線(xiàn)性方程組的解法 下面通過(guò)一個(gè)例

4、題來(lái)介紹利用矩陣的有關(guān)知識(shí)解線(xiàn)性方程組的一種方法。,例 解線(xiàn)性方程組,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,于是得方程組的解為,,,,,,,,由上例可知，利用矩陣的有關(guān)知識(shí)解線(xiàn)性方程組的具體步驟為：1)寫(xiě)出該線(xiàn)性方程組的增廣矩陣 。2)把此增廣矩陣 劃成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣。3)“讀出”線(xiàn)性方程組的解來(lái)。,,12.2線(xiàn)性方程組解的情況的判定12.2.1非齊次線(xiàn)性方程組解的情況的

5、判定,定理1）非齊次線(xiàn)性方程組有解的充分必要條件是 。 2）非齊次線(xiàn)性方程組中當(dāng) 時(shí)有唯一組解。 3）非齊次線(xiàn)性方程組中當(dāng) 時(shí)有無(wú)窮多組解。 4）非齊次線(xiàn)性方程組中當(dāng) 時(shí)線(xiàn)性方程組無(wú)解。 其中r(A)為系數(shù)矩陣的秩，

6、 為增廣矩陣的秩，n為線(xiàn)性方程組的未知數(shù)的個(gè)數(shù)。,,,,,,例 線(xiàn)性方程組 是否有解？若有解，求出其解。解 至此可知： ， 。

7、 因 據(jù)前所述定理知， 此線(xiàn)性方程組無(wú)解。,,,,,,,,,,,,,,,,,,例 當(dāng)a，b為何值時(shí)，線(xiàn)性方程組有唯一組解？有無(wú)窮多組解？無(wú)解？解,,,,,,,,,,,,,,根

8、據(jù)非齊次線(xiàn)性方程組解的情況的判定定理可知1）當(dāng) ，且 時(shí)， ，方程組無(wú)解。2）當(dāng) ，且 時(shí)， ，方程組有無(wú)窮多組解，（方程未知數(shù)個(gè)數(shù)為3）。3）當(dāng) 時(shí)，方程組有唯一解。,,,,12.2.2齊次線(xiàn)性方程組解的情況的判定

9、,定理 齊次線(xiàn)性方程組恒有解，它至少有零解，即 齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件是 推論 當(dāng) 時(shí) 齊次線(xiàn)性方程組有非零解。（m代表方程組中方程的個(gè)數(shù)，n代表方程組中未知量的個(gè)數(shù)）,,,,例 齊次線(xiàn)性方程組是否有非零解？若有，求出一般解。解,,,,,,,,,,,,至此可知 ： ， 由 據(jù)齊次線(xiàn)性方程

10、組的解的情況的判定定理知，方程有非零解。對(duì)增廣矩陣 繼續(xù)施以初等行變換接上式有：,,,,,,,,,這個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性方程組為設(shè) （ 為任意常數(shù)），于是得到原線(xiàn)性方程組的一般解為,,,,,12.3 n維向量及其相關(guān)性12.3.1 n維向量,定義1 n個(gè)實(shí)數(shù)組成的有序數(shù)組稱(chēng)為n維向量，一般用 等字母表示

11、 稱(chēng)為n維行向量，其中 稱(chēng)為 向量的第i個(gè)分量。 稱(chēng)為n維列向量。其中 稱(chēng)為 的第i個(gè)分量。,,,,,,例 如矩陣

12、 我們可將A的每一行都看成是一個(gè)n維行向量。每一行 都是n維行向量，每一列 都是m維列向量。,,,,,,,12.3.2 向量的運(yùn)算,向量間的運(yùn)算關(guān)系同矩陣運(yùn)算完全一致，主要有兩種：加法與數(shù)乘。定義2 兩個(gè)n維向量與

13、 的各對(duì)應(yīng)分量之和所組成的向量，稱(chēng)為向量 與 的和，記為 ，,,,,即定義3 n維向量 的各個(gè)分量都乘以k（k為一個(gè)實(shí)數(shù)）所組成的向量，稱(chēng)為數(shù)k與向量的乘積，記為 ，即,,,,,n維向量 的各分量的相反

14、數(shù)組成的n維向量，稱(chēng)為 的負(fù)向量，記為 即 。 所有分量均為零的向量稱(chēng)為零向量，記為（0，0，…，0）。 若有兩個(gè)n維向量

15、 那么 充分必要條件是 。 一個(gè)n維行向量就可以視一個(gè)行矩陣，一個(gè)n維列向量也可以視為一個(gè)列矩陣。,,,,,,定義4 所有n維實(shí)向量的集合記為 我們稱(chēng)為實(shí)數(shù)n維向量空間。它是指在 種定義了加法及數(shù)乘這兩種運(yùn)算。向量的運(yùn)算規(guī)律如下：（下面設(shè)

16、 都是n維向量k，L表示數(shù)）1） 2） 3） 4）5） 6）7） 8）,,,,,,,,,,,例 設(shè) 求解 例設(shè)

17、 如果向量 滿(mǎn)足 求 。解 已知 所以,,,,,12.3.3 線(xiàn)性組合,定義5 對(duì)于向量 ，如果有一組數(shù)

18、 使得 便稱(chēng) 是 的線(xiàn)性組合，或稱(chēng) 由 線(xiàn)性表出（或線(xiàn)性表示) 且稱(chēng)這組數(shù) 為該線(xiàn)性組合的組合系數(shù)。例 證明向量 是向量 ， ，的線(xiàn)性組合并

19、具體用 將 用表示出來(lái)。,,,,,,,,證明 先假定 其中 為常數(shù)則 由此可得解這個(gè)線(xiàn)性方程組得 ，于是 可以表示為,,,,,,的線(xiàn)性組合，它的表示為定理 向量 可以由向量 線(xiàn)性表示的充分必要條件是：以

20、 為系數(shù)列向量，以 為常數(shù)項(xiàng)向量的線(xiàn)性方程組有解，并且此線(xiàn)性方程組的一組解就是線(xiàn)性組合的一組系數(shù)。 例 判斷向量 與 是否各為向量組 ， 的線(xiàn)性組合。若是，寫(xiě)出表達(dá)式。解 設(shè)

21、 對(duì)矩陣 施以初等行變換：,,,,,,,,,秩 ＝秩 因此 可由 線(xiàn)性表示，且由上面的初等變換可知類(lèi)似地，對(duì)矩陣 施以初等行變換：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,秩 ,秩 因此

22、 不能由 線(xiàn)性表示。,,,,,,,,,,,,,,,12.3.4 線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān) 齊次線(xiàn)性方程組 可以寫(xiě)成零向量與系數(shù)列向量的如下線(xiàn)性關(guān)系式:上式稱(chēng)為齊次線(xiàn)性方程組的向量形式，其中,,,（j＝1，2，…，n），都是m維列向量，因?yàn)榱阆蛄渴侨我庀蛄拷M的線(xiàn)性組合，所以齊次現(xiàn)象方程組一定有零解。即

23、 總是成立的。問(wèn)題是齊次線(xiàn)性方程組除零解外是否還有非零解，即是否存在一組不全為零的數(shù) ，使關(guān)系式 成立。例如,對(duì)于向量組,,,,,容易求出 ，于是有

24、具有這種 性質(zhì)的向量組稱(chēng)為線(xiàn)性相關(guān)的向量組。定義 設(shè) 是n個(gè)m維向量，如果存在n個(gè)不全為零的數(shù) 使得則稱(chēng) 這n個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)，否則就稱(chēng)這n個(gè)向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)。 例 下列三個(gè)向量（列向量）是否線(xiàn)性相關(guān)？,,,,,,,,,解 不難驗(yàn)證

25、 因此 是三個(gè)線(xiàn)性相關(guān)的三維向量。例 證明：如果向量 組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則向量組 亦線(xiàn)性無(wú)關(guān)。證明設(shè)有一組數(shù) 使成立，整理得 （1） 由

26、 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故 （2）,,,,,,,,因?yàn)?故方程組（2）僅由零解，即只有當(dāng) 時(shí)，（1）式才成立，即向量組

27、 線(xiàn)性無(wú)關(guān)。12.3.5 線(xiàn)性相關(guān)性的判別定理 設(shè) 是一組n維向量，則這m個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)得充分必要條件是其中至少有一個(gè)向量可以用其余向量線(xiàn)性表出。,,,,,,,定理 是一組線(xiàn)性相關(guān)的向量，則在這一組向量里再添加若干個(gè)向量得到的新的向量組仍使線(xiàn)性相關(guān)的，或換句話(huà)說(shuō)，任一組包含 的

28、向量也一定線(xiàn)性相關(guān)。即“部分相關(guān)整體必相關(guān)”。推論若 是一組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量，則從中取出的任意若干個(gè)向量都是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。即：“整體無(wú)關(guān)部分必?zé)o關(guān)”。定理設(shè)n維向量組 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則在每個(gè)向量中添加m個(gè)分量，得到的n+m維向量組 也線(xiàn)性無(wú)關(guān)。,,,,推論設(shè) 是m個(gè)k維向量，是

29、其k＋L維接長(zhǎng)向量，若 線(xiàn)性相關(guān)，則 必線(xiàn)性相關(guān)。例 已知向量 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，它們的接長(zhǎng)向量 ，也一定線(xiàn)性無(wú)關(guān)。例已知向量 線(xiàn)性相關(guān)，這3個(gè)向量可分別看作是的接長(zhǎng)向量，因此向量組

30、 必線(xiàn)性相關(guān)。,,,,,,,,,12.4 向量組的秩12.4.1 向量組的等價(jià)關(guān)系,定義 設(shè)有兩個(gè)向量組如果向量組A中的每個(gè)向量都能由向量組B中的向量線(xiàn)性表示，則稱(chēng)向量組A能由向量組B線(xiàn)性表示，如果向量組A能由向量組B線(xiàn)性表示，且向量組B也能由向量組A線(xiàn)性表示，則稱(chēng)向量組A與向量組B等價(jià)。,,向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有下面三條性質(zhì)：1）反身性：向量組A與向量組A自身等價(jià)。2）對(duì)稱(chēng)性

31、：若向量組A與向量組B等價(jià)，則B與A等價(jià)。3）傳遞行：若向量組A與向量組B等價(jià)，向量組B與向量組C等價(jià)，則向量組A與向量組C等價(jià)。,12.4.2 極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組,定義 設(shè)有一族n維向量（其中可能有有限個(gè)向量，也可能含有無(wú)窮多個(gè)向量），如在這一族向量中存在一族向量 適合如下條件：1） 線(xiàn)性無(wú)關(guān)2）在原來(lái)那一族向量中任意取出一個(gè)

32、向量加進(jìn)去，則 線(xiàn)性相關(guān)。那么稱(chēng) 是這一族向量的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組，簡(jiǎn)稱(chēng)極大無(wú)關(guān)組。,,,,例 設(shè)向量組 求其極大無(wú)關(guān)組。解因 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而 都是 的線(xiàn)性組合 所以 為向

33、量組 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。同理， 也是向量組 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組 亦是向量組 的極大無(wú)關(guān)組。,,,,,,,定理1 對(duì)于一個(gè)向量組，其所有極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)都相同。定義 對(duì)于向量組S，其極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱(chēng)為向量組S的秩。例考慮構(gòu)成下列階梯形矩陣 的6個(gè)列向量（其中

34、 不為零）顯然，列向量組 ， ， ，是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，,,,,,,,,,,,而若再加上一個(gè)向量就是線(xiàn)性相關(guān)的，因此這6個(gè)列向量構(gòu)成的向量組的秩為4，也就是矩陣A的秩，而極大無(wú)關(guān)組就是上述列向量組。定理2 列向量組通過(guò)初等行變換不改變線(xiàn)性相關(guān)性。定理3 矩陣A的秩＝矩陣A的列向量組的秩＝矩陣A的行向量組的秩。求一個(gè)向量組的秩與極大無(wú)關(guān)

35、組的具體步驟如下：1）將這些向量作為矩陣的列構(gòu)成一個(gè)矩陣。2）用初等行變換將其化為階梯形矩陣，則階梯型矩陣中非零行的數(shù)目即為向量組的秩。3）首非零元所在列對(duì)應(yīng)的原來(lái)的向量組即為極大無(wú)關(guān)組。,定理4向量組中每一個(gè)向量由極大無(wú)關(guān)組的向量線(xiàn)性表出的表達(dá)式是唯一確定的。12.5 線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)12.5.1 齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線(xiàn)性方程組其矩陣形式為：AX=0其中A為m×n系數(shù)矩陣。,,齊次線(xiàn)性

36、方程組AX＝0其解有如下性質(zhì) ：性質(zhì)1 若 和 為齊次線(xiàn)性方程組AX=0的解，則 亦為其解。性質(zhì)2 若 為齊次線(xiàn)性方程組AX=0的解，則對(duì)于任意常數(shù) 亦為其解。 定義1 齊次線(xiàn)性方程組AX=0滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的一組解向量，稱(chēng)為齊次線(xiàn)性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系1）這一組解向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)。2）齊次線(xiàn)性方程組AX＝0的任何一個(gè)解都可以用這組

37、解向量線(xiàn)性表示。,,,,,我們將齊次線(xiàn)性方程組AX＝0，其中A為m×n系數(shù)矩陣，其解的結(jié)論歸納如下：1）齊次方程組只有唯一零解的充分必要條件為：2）齊次方程組有非零解的充分必要條件為：3）當(dāng) 時(shí)，齊次方程組有n－r個(gè)自由元，它的每一個(gè)基礎(chǔ)解系含有n－r個(gè)解向量，若 為基礎(chǔ)解系，則 即為

38、齊次方程組AX=0的全部解，其中 為任意常數(shù)，也稱(chēng)為齊次方程組AX＝0的通解。,,,,,,,下面給出求齊次線(xiàn)性方程組AX=0的解的一般步驟：1）把齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)寫(xiě)成矩陣A；2）把A通過(guò)初等行變換化為階梯形矩陣；3）把階梯形矩陣中不是首非零元所在列對(duì)應(yīng)的變量作為自由元共有n-r；4）分別令一個(gè)自由元為1，其余全為零，求得n－r個(gè)解向量，這n－r個(gè)解向量即構(gòu)成AX=0得基礎(chǔ)解系。,例

39、求解下列齊次線(xiàn)性方程組，并求出它得一個(gè)基礎(chǔ)解系：解,,,,,,,,于是原方程組可同解地變?yōu)樵O(shè) （ 為任意常數(shù)），于是得到方程組的一般解為,,,,,,,,,,,若令 或 得相應(yīng)的解向量分別為于是 為方程組的基礎(chǔ)解系，其通解為其中

40、 為任意常數(shù) 。,,,,,,,,,12.5.2 非齊次線(xiàn)性方程組的解的結(jié)構(gòu),關(guān)于非齊次線(xiàn)性方程組其矩陣形式為：AX=B，其中A為m×n系數(shù)矩陣。,,非齊次線(xiàn)性方程組AX=B 其解有如下性質(zhì)：1）若 為AX=B的解，則 必為AX=0的解。2）若 為AX=B的解， 為AX＝0的解，則必為AX=B的解。由性質(zhì)1）和性質(zhì)2）便可以得到：定理 設(shè) 是

41、非齊次線(xiàn)性方程組AX=B的一個(gè)解，則方程組AX=B的任意一個(gè)解X可以表示成 與相應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組AX=0的某一個(gè)解之和： 。,,,,,,,,,對(duì)于非齊次線(xiàn)性方程組AX=B的解的結(jié)構(gòu)就很清楚了，其中A為m×n系數(shù)矩陣，增廣矩陣為 其解的結(jié)論歸納如下：1）AX=B有解的充分必要條件為： 。2）若

42、 ，AX=B的解唯一。3）若 ，AX=B有無(wú)窮多組解，有n－r個(gè)自由元，若 為線(xiàn)性 方程組AX=B的一個(gè)特解， 為相應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，則方程組AX=B的全部解為：

43、 ，,,,,,,,,其中 為任意常數(shù)，其全部解稱(chēng)為非齊次線(xiàn)性方程組AX=B的通解。 非齊次線(xiàn)性方程組AX＝B的一個(gè)特解加上相應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組AX=0的通解，即為非齊次線(xiàn)性方程組的通解。 求非齊次線(xiàn)性方程組AX＝B（其中A為m×n 矩陣 為增廣矩陣）通解一般步

44、驟是1）將增廣矩陣 通過(guò)初等變換化為階梯形矩陣。 2）當(dāng) 時(shí)，把不是首非零元所在列對(duì)應(yīng)得 n－r個(gè)變量作為自由元。,,,,,,3）令所有自由元為零，求解AX=B得一個(gè)特解4）不計(jì)最后一列，分別令一個(gè)自由元為1，其余自由元為零，得到相應(yīng)齊次線(xiàn)性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系5）寫(xiě)出非齊次線(xiàn)性方程組AX=B的通解 其中

45、 為任意常數(shù)。例 求解下列非齊次線(xiàn)性方程組：,,,,,解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,由于 線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解：取 為自由元，得令 得特解于是所求通解為：其中 為任意常數(shù)。,,,,,,,,小結(jié)1）

46、用高斯消元法求線(xiàn)性方程組的解，n元線(xiàn)性方程組，其矩陣形式為AX=B，A為系數(shù)矩陣，為增廣矩陣，行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，利用初等行變換求解線(xiàn)性方程組。2）線(xiàn)性方程組解的情況判定：①非齊次n元線(xiàn)性方程組AX=B有解得充分必要條件是a.當(dāng) 時(shí)，有唯一組解。b.當(dāng) 時(shí)，有無(wú)窮多組解。c.當(dāng)

47、 時(shí)，線(xiàn)性方程組無(wú)解。,,,,,,②n元齊次線(xiàn)性方程組AX=0恒有解。a. n元齊次線(xiàn)性方程組只有零解充分必要條件是 。b. n元齊次線(xiàn)性方程組有非零解充分必要條件是 。c.當(dāng)齊次線(xiàn)性方程組中方程得個(gè)數(shù)m小于未知量的個(gè)數(shù)n即 時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組有非零解。3）n維向量的定義及n維向量的運(yùn)算。向量組的線(xiàn)性

48、組合（線(xiàn)性表示或線(xiàn)性表出），線(xiàn)性相關(guān)，線(xiàn)性無(wú)關(guān)，極大無(wú)關(guān)組和向量組的秩等概念，向量組線(xiàn)性相關(guān)性的常用判別方法是先求向量組的秩，,,,,然后根據(jù)向量組的秩是否等于向量的個(gè)數(shù)，判別向量組是否線(xiàn)性相關(guān)。 4）求一個(gè)向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組的具體步驟如下：①將這些向量作為矩陣的列構(gòu)成一個(gè)矩陣。②用初等行變換將其化為階梯形矩陣，則階梯形矩陣中非零行的數(shù)目，即為向量組的秩。③非零元所在列對(duì)應(yīng)的原來(lái)的向量組即為極大無(wú)關(guān)組。,5）求n元齊次線(xiàn)

49、性方程組AX=0的基礎(chǔ)解解系及通解的一般步驟：①把齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)寫(xiě)成矩陣A。②把A通過(guò)初等行變換化為階梯形矩陣。③把階梯形矩陣中不是首非零元所在列對(duì)應(yīng)的變量作為自由元共有n－r。④分別令一個(gè)自由元為1，其余全為零，求得n－r個(gè)解向量，即構(gòu)成AX=0的基礎(chǔ)解系。⑤它的每一個(gè)基礎(chǔ)解系含有n－r個(gè)解向量，若 為基礎(chǔ)解系，則

50、 即為X=0的全部解，也稱(chēng)為通解，其中為任意常數(shù)。,,,,6）求非齊次n元線(xiàn)性方程組AX=B（其中A為m×n矩陣）通解的一般步驟：①將增廣矩陣 通過(guò)初等行變換化為階梯型矩陣。②當(dāng) 時(shí)，把不是首非零元所在列對(duì)應(yīng)的 n－r個(gè)變量作為自由元。③令所有自由元為零，求得AX=B的一個(gè)特解 。④不計(jì)最后一列，分別令一