模糊數(shù)學(xué)3水平截集、最大隸屬原則

1、第一章 模糊集合的一般概念,§1.1 模糊子集的定義及運(yùn)算§1.2 水平截集、分解定理、擴(kuò)張?jiān)瓌t,§1.2.1 水平截集,§1.2.1 水平截集,引例：5位應(yīng)試者參加的選拔考試中， 5位應(yīng)試者及其成績(jī)?nèi)缦卤硭荆ò俜种疲?如何按“擇優(yōu)錄取”的原則來挑選優(yōu)勝者,設(shè)模糊子集 表示“優(yōu)勝者”，以各人成績(jī)與最高分的比值作為屬于 的隸屬度。,§1.2.1 水平截集

2、,“優(yōu)勝者”的模糊子集,“及格者”,“優(yōu)良者”,“優(yōu)秀者”,“滿分者”,§1.2.1 水平截集,實(shí)際問題的某個(gè)時(shí)刻，需要判斷某個(gè)元素對(duì)模糊子集的明確歸屬，這就要求模糊子集與普通集合可以依據(jù)某種法則相互轉(zhuǎn)化。,需要一種溝通模糊子集和普通集合的辦法。若對(duì)模糊子集給出一個(gè)確定的閾值 ，則模糊子集的元素可分成“非此即彼”的兩種情形： 。于是，誘導(dǎo)出在

3、意義下的普通集合。,§1.2.1 水平截集,定義 1.2.1 水平截集,§1.2.1 水平截集,水平截集的性質(zhì)：,§1.2.1 水平截集,水平截集的性質(zhì)：,（1）,（2）,性質(zhì)（2）說明截集水平 越低， 越大；反之，截集水平 越高， 越小,從圖中可見，當(dāng) 的取值從1逐漸減小而到0時(shí)，相應(yīng)的 逐漸擴(kuò)展，從而得到一系列普通集合。,

4、67;1.2.2 分解定理,定義1. 2.2 數(shù)乘,設(shè) 是論域U上的一個(gè)模糊子集( )， 由 構(gòu)成一個(gè)新的模糊子集，記為 ，其隸屬函數(shù)為 稱 為數(shù) 與模糊子集 的數(shù)乘。,特別地，當(dāng) 為普通集合時(shí)：,如果把 視為

5、模糊子集，其隸屬函數(shù)為：,§1.2.2 分解定理,§1.2.2 分解定理,分解定理：,任取 ，可將 切割為 ，而將所有的 拼湊起來組成 ，就得到 ，即任何一個(gè)模糊子集可由一類集合套來表示,當(dāng) 遍取 中，對(duì) 的值就是含有元素 的一切 中的最大的

6、 值。,分解定理給出利用普通集合 表示模糊子集 的理論依據(jù)和實(shí)際做法。,當(dāng) 遍取[0,1] 中的實(shí)數(shù)時(shí)，按模糊子集求并運(yùn)算的規(guī)則， 恰好取各 點(diǎn)隸屬函數(shù)的最大值，將這些點(diǎn)連成一條曲線，正是模糊子集 的隸屬函數(shù)。,§1.2.3 擴(kuò)張?jiān)瓌t,水平截集說明了模糊子集向普通集合的轉(zhuǎn)化過程；分解定理則是相反過程，利用一系列普通集合（集合套）求并得到模糊子集，從而將模糊集合論

7、中的問題轉(zhuǎn)化到普通集合論的問題來解決。,而擴(kuò)張?jiān)瓌t卻是把普通集合論的方法直接擴(kuò)展到模糊集合論。,論域U上模糊子集 在 下的象？,1975年，zadeh，公理,§1.2.3 擴(kuò)張?jiān)瓌t,給定兩個(gè)論域U、V，以及映射,則對(duì) 是論域V上的一個(gè)模糊子集，即其隸屬函數(shù)為如果沒有 使得 ，則規(guī)定

8、 。,0.8,0.7,0.5,,,,0.8,0.5,0,,映射后的隸屬度保持不變！擴(kuò)張?jiān)瓌t把普通集合論的方法直接擴(kuò)展到模糊集合論。,§1.3.1 最大隸屬原則,模式識(shí)別：對(duì)所研究的具體對(duì)象，根據(jù)它的某些特征進(jìn)行識(shí)別并分類。,這種分類是在已知模式的前提下進(jìn)行的，也就是將整體劃分為若干類型，作為一組標(biāo)準(zhǔn)模式。對(duì)于某個(gè)具體對(duì)象，判別它屬于那個(gè)模式，即屬于那一類。,整體被劃分的類型（模式）和被識(shí)別的對(duì)象，如果是某個(gè)論域中的模

9、糊子集，這種模式識(shí)別就稱為模糊模式識(shí)別。,§1.3.1 最大隸屬原則,整體被劃分的類型（模式）和被識(shí)別的對(duì)象，如果是某個(gè)論域中的模糊子集，這種模式識(shí)別就稱為模糊模式識(shí)別。,直接方法：對(duì)象為單個(gè)確定的元素，通過直接計(jì)算被識(shí)別對(duì)象的隸屬函數(shù)以判別其屬于那個(gè)模糊子集，最大（極大）隸屬原則。,間接方法：對(duì)象為群體，模糊子集，判別與那一種已知的模糊子集最“貼近”，擇近原則。,研究：模式為論域U中的n個(gè)模糊子集被識(shí)別的對(duì)象分為單個(gè)確定

10、的元素或模糊子集,模式識(shí)別主要包括三個(gè)步驟 :,提取特征，首先需要從識(shí)別對(duì)象中提取與識(shí)別有關(guān)的特征，并度量這些特征，于是每個(gè)識(shí)別對(duì)象就對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，建立訓(xùn)練樣本。建立標(biāo)準(zhǔn)類型的隸屬函數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)類型通常是論域上的模糊子集。建立識(shí)別判決準(zhǔn)則，確定某些歸屬原則，以判定識(shí)別對(duì)象屬于哪一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型。,常用的判決準(zhǔn)則有最大隸屬度原則（直接法）和擇近原則（間接法）兩種。,實(shí)例：蘋果等級(jí)識(shí)別,訓(xùn)練樣本集的建立：從蘋果的橫徑、色澤以及果形指數(shù)三個(gè)方面把

11、蘋果分為四類，精品果、二級(jí)果、三級(jí)果、四級(jí)果。樣本集訓(xùn)練步驟:原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化等，建立標(biāo)準(zhǔn)類型（模式）－聚類分析。試驗(yàn)結(jié)果：對(duì)52個(gè)蘋果進(jìn)行訓(xùn)練，精品果、二級(jí)果、三級(jí)果、四級(jí)果各30個(gè)，正確率達(dá)到95％ 。,“模糊模式識(shí)別在計(jì)算機(jī)識(shí)別中的應(yīng)用研究”， 張娜等，微計(jì)算機(jī)信息，2004，20（6）,§1.3.1 最大隸屬原則,例1： ，論域U 上有三個(gè)模糊子集

12、 （研究能力強(qiáng)）， （一般）， （差）：,那么，甲、乙、丙應(yīng)歸于那一類？,§1.3.2 應(yīng)用實(shí)例,例2：三角形識(shí)別問題,機(jī)器自動(dòng)識(shí)別染色體或白血球分類，應(yīng)用幾何圖形識(shí)別,設(shè)三角形論域現(xiàn)給出各種類型的三角形隸屬函數(shù)。,1. 近似等腰三角形 ，其隸屬函數(shù)為,A與B（或 B與C）愈接近，三角形 愈接近等腰三角形，即隸屬度趨于1。,2. 近似直角三角形 ，其隸屬函數(shù)為

13、,例2：三角形識(shí)別問題,1. 近似等腰三角形 ，,2. 近似直角三角形 ，,3. 近似正三角形 ，,4. 近似等腰直角三角形 ，,5. 非典型三角形 ，,三角形內(nèi)角分別為：