三角學(xué)的歷史及其對(duì)任意角三角函數(shù)的教學(xué)啟示

1、三角學(xué)的歷史及其對(duì)任意角三角函數(shù)的教學(xué)啟示,西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院楊孝斌Email: xbyang79@163.com,教育取向的數(shù)學(xué)史研究之一：,0. 引言：開展教育取向的數(shù)學(xué)史研究,數(shù)學(xué)史家李文林先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)史的研究具有三重目的：一是歷史的目的，即恢復(fù)歷史的本來面目；二是數(shù)學(xué)的目的，即古為今用，為現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)研究與自主創(chuàng)新提供歷史借鑒；三是教育的目的，即在數(shù)學(xué)教學(xué)中利用數(shù)學(xué)史，這在當(dāng)前已成為一種國際現(xiàn)象。,數(shù)學(xué)教師要重視數(shù)學(xué)

2、史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義和作用，要學(xué)習(xí)與教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的數(shù)學(xué)史實(shí)，并在數(shù)學(xué)教學(xué)中展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)歷程，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈。,展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過程，不是簡單敘述數(shù)學(xué)史實(shí)，重復(fù)數(shù)學(xué)家的“原發(fā)現(xiàn)過程”。而是需要教師開展教育取向的數(shù)學(xué)史研究，將數(shù)學(xué)知識(shí)的“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”，從中獲得對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示，引導(dǎo)學(xué)生重走數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之路。,所謂教育取向的數(shù)學(xué)史研究，就是從課程與教學(xué)的角度出發(fā)，對(duì)數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)法加工和方法論重建，

3、以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史研究的教育目的。其主要方法是通過對(duì)數(shù)學(xué)史的壓縮、整合、刪繁就簡、提煉數(shù)學(xué)思想方法等，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行基于數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)設(shè)計(jì)。,教育取向的數(shù)學(xué)史研究，其最終目的是利用知識(shí)的發(fā)生學(xué)原理，在數(shù)學(xué)教學(xué)中借鑒數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的理論。然而，數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的理論對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)也是有限的，因?yàn)閷W(xué)校數(shù)學(xué)和科學(xué)數(shù)學(xué)是兩種不同形態(tài)的數(shù)學(xué)，而且學(xué)生也無法在有限的時(shí)間內(nèi)重復(fù)數(shù)學(xué)家

4、們所走過的漫長道路。,那么，數(shù)學(xué)教學(xué)如何借鑒數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀恳韵乱浴叭菍W(xué)發(fā)展簡史”與“任意角的三角函數(shù)的教學(xué)”為例，探討如何在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中借鑒數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)。,1. 三角學(xué)發(fā)展簡史,(1) 三角學(xué)概述 三角學(xué)這門學(xué)科是從確定平面三角形和球面三角形的邊和角的關(guān)系開始的，其最初的研究目的是為了改善天文學(xué)中的計(jì)算。古代三角學(xué)的萌芽可以說是源出于古希臘哲學(xué)家泰利斯(Thales，約前624—前547)的

5、相似理論。古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯(Hipparchus，約前190年-前125年)，曾著有三角學(xué)12卷，可以認(rèn)為是古代三角學(xué)的創(chuàng)始人。,到15世紀(jì)，德國的雷格蒙塔努斯(J．Regiomontanus，1436-1476)的《論三角》一書的出版，才標(biāo)志古代三角學(xué)正式成為獨(dú)立的學(xué)科。這本書中不僅有很精密的正弦表、余弦表等，而且給出了現(xiàn)代三角學(xué)的雛形。16世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)(F．Viete，1540-1603)則更進(jìn)一步將三角學(xué)系統(tǒng)化，他已經(jīng)

6、對(duì)解直角三角形、斜三角形等作出了闡述，并且還有正切定理以及和差化積公式等。,直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(L.Euler，1707-1783)才研究了三角函數(shù)。這使三角學(xué)從原先靜態(tài)研究三角形的解法中解脫出來，成為反映現(xiàn)實(shí)世界中某些運(yùn)動(dòng)和變化的一門具有現(xiàn)代數(shù)學(xué)特征的學(xué)科。,在托勒密以后，人們對(duì)天文學(xué)的興趣衰落了。直到公元5世紀(jì)才由印度人進(jìn)一步繼承并發(fā)揚(yáng)了亞歷山大學(xué)派的天文學(xué)知識(shí)，恢復(fù)了對(duì)三角學(xué)這門基礎(chǔ)科學(xué)的研究興趣。印度人也是利用等分圓的辦

7、法來計(jì)算角的正弦，他們通常是把圓分成360度或21600分，把半徑分成120等份。,2. 三角學(xué)的歷史對(duì)任意角三角函數(shù)教學(xué)的啟示,概括地說，人教A版采用的是“單位圓定義法”，江蘇版采用的是“終邊坐標(biāo)法”。是否借助單位圓定義任意角的三角函數(shù)是二者的最大不同，江蘇版是在“終邊坐標(biāo)法”定義之后給出了“單位圓定義法”。,根據(jù)上述三角學(xué)簡史的敘述，可以得出結(jié)論：采用“終邊坐標(biāo)法”定義任意角的角函數(shù)——允許圓的半徑任意長，而非單位長，其實(shí)質(zhì)是采用比

8、值定義——符合三角函數(shù)形成與發(fā)展的歷史，而“單位圓定義法”只是為了簡化定義和給出三角函數(shù)的幾何表示，不利于學(xué)生把握任意角三角函數(shù)的定義的本質(zhì)。,很顯然，“單位圓定義法”只是“終邊坐標(biāo)法”的特例，學(xué)生只要掌握了“終邊坐標(biāo)法”定義的一般結(jié)論，當(dāng)r=1時(shí)學(xué)生自然可以得到“單位圓定義法”的結(jié)論。同時(shí)，“終邊坐標(biāo)法”更利于初、高中三角函數(shù)知識(shí)的銜接，有利于開展由舊知引出新知的教學(xué)。此外，從整體上考查三角函數(shù)單元的教學(xué)內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，引進(jìn)任意角三角

9、函數(shù)的單位圓定義，其目的是為了給三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的討論帶來方便。,因此，從知識(shí)發(fā)生發(fā)展歷史的視角考察，在任意角三角函數(shù)的教學(xué)中不宜過早地引入單位圓定義，而是應(yīng)該在學(xué)生掌握了任意角三角函數(shù)的終邊坐標(biāo)定義之后，再借助“單位圓定義法”幫助學(xué)生理解“終邊坐標(biāo)法”。這樣做，不僅符合數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展歷程，而且更便于學(xué)生認(rèn)識(shí)到三角函數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)。如果在教學(xué)中先給出任意角三角函數(shù)的“單位圓定義”，或者同時(shí)給出這二者，其合理性都是有待商榷的。,3. 揭

10、示任意角三角函數(shù)定義的本質(zhì),首先，從內(nèi)容上分析。嚴(yán)格意義上講，初中沒有三角函數(shù)，只有三角比，即銳角的正弦、余弦和正切等。這種三角比是用銳角所在的直角三角形的邊的比定義的，雖然比值是數(shù)，但是初中還沒有引入弧度制，而是角度值，此時(shí)的三角比是角的集合與數(shù)集之間的映射，不是函數(shù)。因此，這節(jié)課首先要解決的是在高中函數(shù)概念下重新定義與理解銳角三角函數(shù)，再推廣到任意角的三角函數(shù)，由初中的比值定義過渡到終邊坐標(biāo)定義，最后介紹單位圓定義法。,其次，從教法

11、上分析。1)教師的教學(xué)要抓住概念的本質(zhì)。要讓學(xué)生從銳角三角比的復(fù)習(xí)中，聯(lián)系高中的函數(shù)概念，深刻認(rèn)識(shí)到銳角三角比是相似比，與點(diǎn)的選取無關(guān)，同時(shí)更要突出比值只與角α的大小有關(guān)，要讓學(xué)生理解“α確定時(shí)，比值唯一確定”，明確這里的比值是角α的函數(shù)，認(rèn)識(shí)到三角函數(shù)是角(弧度制)與比值之間的映射關(guān)系，并進(jìn)一步體會(huì)引進(jìn)弧度制的意義。,2)要做好教學(xué)設(shè)計(jì)。教師要對(duì)從舊知引出新知做好設(shè)計(jì)，不能過分強(qiáng)化復(fù)習(xí)舊知，避免學(xué)生仿照定義銳角三角比的辦法，試圖仍然采

12、用直角三角形的邊之比來定義任意角的三角函數(shù)。在研究方法上，要抓住時(shí)機(jī)恰當(dāng)引進(jìn)“平面直角坐標(biāo)系”這個(gè)研究工具，通過“終邊坐標(biāo)法”建立起任意角三角函數(shù)的定義。最后對(duì)“單位圓定義法”要慎重處理，關(guān)于“單位圓定義法”與“終邊坐標(biāo)法”之比較，以上已有論述。,教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，老師在引導(dǎo)學(xué)生討論三角函數(shù)的定義域時(shí)，有些學(xué)生并沒有認(rèn)識(shí)到這里的定義域應(yīng)該是?的取值范圍，總是誤以為函數(shù)的定義域一定是 x 怎么怎么樣。當(dāng)然有可能是思維定勢(shì)，這與學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)

13、知水平有關(guān)，但同時(shí)也與教師的教學(xué)設(shè)計(jì)有關(guān)。究其原因，主要就是因?yàn)榻處煕]有突出三角函數(shù)的函數(shù)本質(zhì)，沒有事先讓學(xué)生理解三角函數(shù)是以角(弧度制)為自變量、以角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)比值為因變量的函數(shù)。,以上論述一再表明：三角函數(shù)的定義的本質(zhì)應(yīng)是“三角比”，即與角有關(guān)的線段(或有向線段)之比。那么，如何在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)初、高中三角函數(shù)知識(shí)教學(xué)的銜接，如何凸顯三角函數(shù)定義的本質(zhì)、建立新知識(shí)的數(shù)學(xué)意義，這是數(shù)學(xué)教師必須思考的問題。,4. 探究新的定義方式—

14、—基于三角學(xué)發(fā)展史的教學(xué)設(shè)計(jì),教學(xué)實(shí)踐表明，這節(jié)課的教學(xué)中會(huì)遇到學(xué)生始終無法脫離用直角三角形的邊之比來定義任意角的三角函數(shù)、認(rèn)識(shí)不到三角函數(shù)是以角(弧度制)為自變量的函數(shù)等問題。那么，如何實(shí)現(xiàn)從銳角三角比到任意角的三角函數(shù)定義呢？這里的關(guān)鍵是如何從借助直角三角形定義銳角三角函數(shù)過渡到用點(diǎn)的坐標(biāo)來定義任意角的三角函數(shù)，也就是如何引進(jìn)直角坐標(biāo)系作為研究工具。,任意角的三角函數(shù)是以角(弧度制)為自變量的函數(shù)，其概念建立的難點(diǎn)是轉(zhuǎn)換意義框架，轉(zhuǎn)

15、換思考問題的角度，突破初中階段借助直角三角形定義三角函數(shù)(以下稱“幾何定義法”)的思維限制，把原來銳角三角函數(shù)“幾何定義法”中的直角三角形的邊之比轉(zhuǎn)換為適用于任意角三角函數(shù)的終邊的點(diǎn)的坐標(biāo)之比。概念建立的方式是對(duì)原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行部分改組，形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。,基于以上分析，并對(duì)數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家們定義三角函數(shù)的可能的思維活動(dòng)過程進(jìn)行歸納概括和教學(xué)法加工，設(shè)計(jì)如下的任意角三角函數(shù)的教學(xué)環(huán)節(jié)：(1)從銳角三角比出發(fā)，探究新的定義方式