信息光學中的傅里葉變換

1、信息光學中的傅里葉變換,,,表征現代光學重大進展的另一件大事，是P.M.Duffieux 1946年把傅里葉變換的概念引入光學領域，由此發(fā)展成現代光學的一個重要分支——傅里葉光學（信息光學）。它應用線性系統(tǒng)理論和空間頻譜的概念，分析光的傳播、衍射和成像等問題。,它用改變頻譜的方法處理相干處理系統(tǒng)中的光信息；用頻譜被改變的觀點評價非相干成像系統(tǒng)的像質。信息光學促進了圖像科學、應用光學和光電子學的發(fā)展?？梢哉J為它是光學、光電子學、信息論和通

2、訊理論的交叉學科。,信號頻域分布特性的分析與處理系統(tǒng)傳輸不同空間頻率信號能力的分析與處理空域←→頻域傅里葉分析,離散周期信號連續(xù)周期信號離散非周期信號連續(xù)非周期信號,1. 二維傅里葉變換,1、二維傅里葉變換的定義,含有兩個變量x,y的函數 f (x,y)，其二維傅里葉變換定義為,{ },在此定義中，,本身也是兩個自變量,的函數。,變換,F,,,振幅譜,,相位譜,,功率譜,類似地，函數f

3、 (x,y)也可以用其頻譜函數表示，即：,上式稱為F（fx，fy）的二維傅里葉逆變換。,正變換和逆變換在形式上非常相似，只是被積函數中指數因子的符號和積分變量不同而已。,我們可以用傅里葉變換對偶式來表示兩種變換之間的關系式。,,,二、傅里葉變換的存在條件,（1）、函數f(x,y)必須對整個XY平面絕對可積，即,（2）、函數f(x,y)必須在XY平面上的每一個有限區(qū)域內局部連續(xù)，即僅存在有限個不連續(xù)點和有限個極大和極小點。,（3）、函數f

4、(x,y)必須沒有無窮大間斷點。,上述三個存在條件是從數學的角度提出的，我們不證明它。這是因為，從應用的角度看，作為時間或空間函數而實際存在的物理量，其傅里葉變換總是存在的。 但需說明的，為了物理學上描述方便起見，我們往往又用理想化的數學函數來表示實際的物理圖形，對這些有用的函數而言，上面的三個條件中的一個或多個可能均不成立。例如階躍函數， ?函數等就不滿足存在條件。,因此，為了在傅里葉分析中能有更多的函數來描述物理圖形，有

5、必要對傅里葉變換的定義作一些推廣。,三、廣義傅里葉變換,對于不嚴格滿足存在條件的函數，首先把它定義為某一個序列的極限，該序列中的每一成分都具有通常的傅里葉變換，然后求出該序列各成分的傅里葉變換，從而得到一個相應的變換序列。如果后一序列極限存在，就稱它為所考慮函數的廣義傅里葉變換。所以廣義傅里葉變換就是極限意義下的傅里葉變換。,例題：求函數f(x,y)=1的傅里葉變換,解：上述函數顯然不符合傅里葉變換存在的條件，現在我們把它定義為矩形函數

6、序列的極限。,先求矩形函數的傅里葉變換,{rect(y)},{rect(x)},F,F,請同學業(yè)們動手推導,f (x,y)=1,所以1的傅里葉變換是?函數。,問題： ?函數的逆傅里葉變換等于1嗎？,{ },F,物理圖像,請同學業(yè)們動手推導,2. 傅里葉變換的基本性質和有關定理,1、線性性質,設,a,b為常數，則,即兩個函數的線性組合的傅里葉變換等于各函數的傅里葉變換的相應組合。,F,F,F,2、二重傅里葉變換性

7、質,對二元函數作二次傅里葉變換，得到原函數的反折,3、縮放性質,4、平移特性,函數空域的位移，帶來頻域中的線性相移，另一方面函數在空域中的相移，會導致頻域位移。,,F,F,F,F,5、對稱性質,若f(x,y)為實函數，顯然有,,稱,具有厄米對稱性,F,F,若f(x,y)為虛函數，顯然有,,稱,具有反厄米對稱性,,,說明：空域兩個函數的卷積，在頻域等于其變換的乘積。這一定理有重要的意義，當一個復雜函數可以表示成簡單函數的乘積或卷積時，利用

8、卷積定理可由簡單函數的傅里葉變換來確定復雜函數的傅里葉變換。而且定理為獲得兩個函數的卷積提供了另一途徑，即將兩函數的變換式相乘，再對乘積作逆變換。,F,F,F,F,6、卷積的傅里葉變換,7、乘積的傅里葉變換,F,F,8、相關的傅里葉變換,（1）互相關定理,,互譜能量密度,（2）自相關定理,★,,稱為信號f(x,y)的能譜密度,F,9、帕斯瓦爾（能量）定理,在應用中上述積分都可以表示某種能量。本定理表明一個事件空域各分量能量的總和與頻域各

9、分量能量的總和是相等的。,10、積分性質(一維情況),F,F,11、導數定理,則有,F,F,F,若其導數存在,F,F,證明：,,F,F,,F,例題：求矩形函數的傅里葉變換,,F,F,例題：求高斯函數的傅里葉變換,,F,F,例題：求余弦函數的傅里葉變換,,F,F,例題：求三角函數的傅里葉變換,利用卷積定理,F,F,F,下面利用卷積定理的圖解方法求三角函數的傅里葉變換。,這種方法，用圖形表示出函數在空間域和頻率域的對應關系，分析思路

10、直觀且便于記憶。,,,,,例：求極坐標內的二維傅里葉變換。,,,同理,上面極坐標下的傅里葉變換的形式是相當復雜的，但是當g具有圓對稱性時，極坐標顯得比較方便。,傅里葉-貝塞爾變換,設g(r,?)具有圓對稱性，即g與?無關，于是可以寫成 g(r,?)= g(r),,,利用貝塞爾函數關系式,式中,是第一類零階貝塞爾函數,上式表明，圓對稱函數的傅里葉變換仍是圓對稱的,類似地可得其傅里葉逆變換,在極坐下，圓對稱函數的傅里葉變換和逆變換的運