分式方程的增根與無(wú)解

1、分式方程的增根與無(wú)解分式方程的增根與無(wú)解甲：增根是什么？甲：增根是什么？乙：乙：增根是解分式方程增根是解分式方程時(shí)，把分式方程，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程整式方程這一變形中，由于去分母形中，由于去分母擴(kuò)大了未知數(shù)的取大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的生的未知數(shù)的未知數(shù)的值.比如比如例1、解方程：、解方程：。①為了去分母，方程兩了去分母，方程兩邊乘以乘以，得，得②由②解得解得。甲：原方程的解是甲：原方程的解是。乙：可是當(dāng)乙：可是當(dāng)時(shí)，原方程兩，原

2、方程兩邊的值相等相等嗎？甲：甲：這我可沒(méi)注意，我可沒(méi)注意，檢驗(yàn)檢驗(yàn)一下不就知道了。一下不就知道了。喲！當(dāng)！當(dāng)時(shí)，原方程有的，原方程有的項(xiàng)的分母的分母為0，沒(méi)有意，沒(méi)有意義，是不是方程，是不是方程變形過(guò)程中搞程中搞錯(cuò)啦？啦？乙：求解乙：求解過(guò)程完全正確，沒(méi)有任何的差程完全正確，沒(méi)有任何的差錯(cuò)。甲：那甲：那為什么會(huì)出什么會(huì)出現(xiàn)這現(xiàn)這種情況呢？種情況呢？乙：因乙：因?yàn)樵瓉?lái)方程原來(lái)方程①中未知數(shù)中未知數(shù)x的取的取值范圍是且，而去分母化，而去分母

3、化為整式方程整式方程②后，未知數(shù)后，未知數(shù)x的取的取值范圍擴(kuò)圍擴(kuò)大為全體全體實(shí)數(shù)。數(shù)。這樣這樣，從方程，從方程②解出的未知數(shù)的解出的未知數(shù)的值就有可能不是方程就有可能不是方程①的解。的解。甲：如此甲：如此說(shuō)來(lái)，從方程來(lái)，從方程①變形為方程方程②，這種變形并不能保形并不能保證兩個(gè)方程的解相同，那么，如何知道從整式方程兩個(gè)方程的解相同，那么，如何知道從整式方程②解出解出的未知數(shù)的的未知數(shù)的值是或不是原方程是或不是原方程①的解呢？的解呢？乙：

4、很乙：很簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單，兩個(gè)字：，兩個(gè)字：檢驗(yàn)檢驗(yàn)?？梢园逊匠??？梢园逊匠挞诮獬龅奈粗獢?shù)的解出的未知數(shù)的值一一代入去分母一一代入去分母時(shí)方程兩方程兩邊所乘的那個(gè)公分母，看是否所乘的那個(gè)公分母，看是否使公分母等于使公分母等于0，如果公分母，如果公分母為0，則說(shuō)則說(shuō)明這個(gè)值是增根，否是增根，否則就是原方程的解。就是原方程的解。甲：那么，甲：那么，這個(gè)題中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？就是增根了，可原方程的解又是什么呢？乙：原方程無(wú)解。乙：原

5、方程無(wú)解。甲：?。?！甲：啊？！為什么會(huì)無(wú)解呢？什么會(huì)無(wú)解呢？（1）若方程）若方程④無(wú)解，無(wú)解，則原方程也無(wú)解，方程原方程也無(wú)解，方程④化為，當(dāng)，當(dāng)，而，而時(shí)，方程，方程④無(wú)解，此無(wú)解，此時(shí)。（2）若方程）若方程④有解，而有解，而這個(gè)解又恰好是原方程的增根，個(gè)解又恰好是原方程的增根，這時(shí)這時(shí)原方程也無(wú)解，所以，當(dāng)方程原方程也無(wú)解，所以，當(dāng)方程④的解的解為時(shí)原方程無(wú)原方程無(wú)解，解，代入方程代入方程④，得，得，故，故。綜合（綜合（1）、（）、

6、（2），當(dāng)），當(dāng)或時(shí)，原方程無(wú)解。時(shí)，原方程無(wú)解。妙用分式方程的增根解題妙用分式方程的增根解題在解分式方程的過(guò)程中，我們還可以利用增根來(lái)求分式方程中的待定字母的值在解分式方程的過(guò)程中，我們還可以利用增根來(lái)求分式方程中的待定字母的值.請(qǐng)看下面幾例請(qǐng)看下面幾例.例1若關(guān)于若關(guān)于的方程的方程有增根，則有增根，則的值為的值為_(kāi)_________________.x1101axx????a析解：去分母并整理，得析解：去分母并整理，得，因?yàn)樵匠逃?/p>

7、增根，增根只能是，因?yàn)樵匠逃性龈?，增根只能是，將，將代入去分母后的整式方代入去分母后的整式?1axx???1x?1x?程，得程，得.1a??例2若關(guān)于若關(guān)于的方程的方程無(wú)解，則無(wú)解，則的值是的值是_________.x2233xmxx?????m析解：去分母并整理，得析解：去分母并整理，得.40xm???解之，得解之，得.4xm??因?yàn)樵匠虩o(wú)解，所以因?yàn)樵匠虩o(wú)解，所以為方程的增根為方程的增根.又由于原方程的增根為又由于原方程的增

8、根為.所以所以，.4xm??3x?43m??1m?例3.已知方程已知方程＋2＝有增根，則有增根，則＝______________.214x?2kx?k析解：把原方程化成整式方程，得析解：把原方程化成整式方程，得.212(4)(2)xkx?????因?yàn)樵匠逃性龈?，所以增根只能是因?yàn)樵匠逃性龈?，所以增根只能是?2x?2x??將代入代入，得，得；2x?212(4)(2)xkx?????14k??將代入代入，無(wú)解，無(wú)解.故應(yīng)填－故應(yīng)填－.

9、2x??212(4)(2)xkx?????14練一練：練一練：1.如果分式方程如果分式方程無(wú)解，則無(wú)解，則的值為（的值為（）.11xmxx???m（A）1（B）0（C）－）－1（D）－）－22.如果方程如果方程有增根有增根，則，則＝________.2211xkxxx?????1x?k答案：答案：1.C；2.1；分式方程的增根及其應(yīng)用分式方程的增根及其應(yīng)用一、增根的原因一、增根的原因解分式方程時(shí)，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生增根，這是因?yàn)槲覀儼逊质椒匠剔D(zhuǎn)