第8章 向量代數(shù)與空間解析幾何

1、1第7章常微分方程常微分方程教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：1.1.理解常微分方程的基本概念；理解常微分方程的基本概念；2.2.理解微分方程的解的概念，包括解、通解、初始條件和特解；理解微分方程的解的概念，包括解、通解、初始條件和特解；3.3.熟練掌握幾類一階微分方程的解法；熟練掌握幾類一階微分方程的解法；4.4.熟練掌握高階微分方程的降階法；熟練掌握高階微分方程的降階法；5.5.了解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；了解線性微分方程解的性質(zhì)及解

2、的結(jié)構(gòu)定理；6.6.熟練掌握二階常系數(shù)線性微分方程的解法熟練掌握二階常系數(shù)線性微分方程的解法7.7.能利用微分方程解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。能利用微分方程解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：1.1.能正確判斷判斷微分方程的類型；能正確判斷判斷微分方程的類型；2.2.用換元法求解微分方程；用換元法求解微分方程；3.3.微分方程的應(yīng)用。微分方程的應(yīng)用。說(shuō)明：歐拉方程不作要求。說(shuō)明：歐拉方程不作要求。7.17.1微分方程的基本概念微分方程的基本概念

3、我們先看兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題.例7.17.1已知一曲線通過(guò)點(diǎn)且在該曲線上任一點(diǎn)處的切線斜率為(12)()Mxy2x求該曲線方程.解設(shè)所求曲線的方程為根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知未知函數(shù)應(yīng)()yfx?()yfx?滿足關(guān)系（7—1）d2dyxx?將上式的兩端積分得2dyxx??即（7—2）2yxC??其中是任意常數(shù).此外未知函數(shù)還滿足C當(dāng)時(shí)（7—3）1x?2y?將（7—3）代入（7—2）得即所求曲線方程為1C?（7—4）21yx??例7.27.2（自由落

4、體運(yùn)動(dòng)）一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在重力作用下從高處由靜止開(kāi)始下落m求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的位移.t()st解根據(jù)牛頓第二定律未知函數(shù)應(yīng)滿足關(guān)系式()st()mstmg???3定義定義7.37.3如果微分方程的解中含有任意常數(shù)且獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同這樣的解稱為微分方程的通解微分方程的通解.如果微分方程的通解中的任意常數(shù)被確定這種不含任意常數(shù)的解稱為微分方程的特解微分方程的特解用來(lái)確定微分方程通解中任意常數(shù)的條件稱為初始條件初始條件.例如例

5、7.1中式（7—2）和式（7—4）是微分方程（7—1）的解其中式（7—2）是微分方程（7—1）通解（7—4）是微分方程（7—1）的特解式（7—3）是微分方程方程（7—1）的初始條件.通常一階微分方程的初始條件為或()0Fxyy??00()yxy?寫(xiě)成其中為已知數(shù)；二階微分方程的初始條件為00xxyy??00xy()0Fxyyy????或?qū)懗?000()()yxyyxy???????0000()ddxxyxyyyx?????????其中為

6、已知數(shù).000xyy?求微分方程滿足初始條件的特解的問(wèn)題稱為初值問(wèn)題.例7.7.3驗(yàn)證函數(shù)（為常數(shù)）是方程2()sinyxCx??Cdcot2sin0dyyxxxx???的通解并求滿足初始條件的特解.π02y???????解要驗(yàn)證一個(gè)函數(shù)是否為已知微分方程的解只需將函數(shù)代入微分方程看是否成為恒等式而2()sinyxCx??2d2sin()cosdyxxxCxx???把和代入方程得yddyx????22dcot2sin2sincossin