2003高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽大專組

1、D題（搶渡長(zhǎng)江）參考答案第1頁，共4頁20032003高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（大專組）高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（大專組）D題（搶渡長(zhǎng)江）參考答案題（搶渡長(zhǎng)江）參考答案注意：以下答案是命題人給出的，僅供參考。各評(píng)閱組應(yīng)根據(jù)對(duì)題目的理解及學(xué)生的解答，自主地進(jìn)行評(píng)閱。設(shè)競(jìng)渡在平面區(qū)域進(jìn)行且參賽者可看成質(zhì)點(diǎn)沿游泳路線(x(t)y(t))以速度前進(jìn)，其中游()(cos()sin())ututut????，速大小u不變。要求參賽者在流

2、速給定的情況下控制??(t)找)0()(vtv??到適當(dāng)?shù)穆肪€以最短的時(shí)間T從起點(diǎn)(00)游到終點(diǎn)(LH)，如圖1。這是一個(gè)最優(yōu)控制問題:HTyytudtdyLTxxvtudtdxtsTMin???????)(0)0()(sin)(0)0()(cos..??可以證明，若??(t)?為連續(xù)函數(shù)則???(t)?等于常數(shù)時(shí)上述問題有最優(yōu)解。證明見:GegeLeitmannTheCalculusofVariationsOptimalContro

3、lPlenumPress1981.pp.130–135p.263Exercise15.13.（注：根據(jù)題意，該內(nèi)容不要求同學(xué)知道。）1.設(shè)游泳者的速度大小和方向均不隨時(shí)間變化，即令?，而流速)sincos()(??uutu，??，其中?u和v為常數(shù)??為游泳者和x軸正向間的夾角。于是游泳者的路)0()(vtv??線(x(t)y(t))滿足（1）cos(0)0()sin(0)0()dxuvxxTLdtdyuyyTHdt??????????

4、??????T是到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)刻。令，如果(1)有解則?cos?z（2）?????????????2211)()()()(zTuHtzutyvuzTLtvuztx即游泳者的路徑一定是連接起、終點(diǎn)的直線，且（3）2222221LHHLTuzvuuzvvuz????????若已知LHvT由（3）可得（4）zTvTLuvTLHvTLz??????)(22yxL0H?uv圖1D題（搶渡長(zhǎng)江）參考答案第3頁，共4頁因?yàn)関1u故對(duì)L1無要求。對(duì)于確定

5、的L1，L2，仍可用1中的公式計(jì)算游泳的方向和時(shí)間。為確定使總的時(shí)間最小的路線ABCD注意到L1=L3=(LL2)2，由(9)知所需要的總時(shí)間為21222212122221222222222222222))4)(2)(vuvLLvHuLLHvuvLvHuLHT????????????（（（11）求L2使T最小。編程計(jì)算可得：L2=806.33m時(shí)T=904.02s≈15分4秒。將得到的L2=806m，L1==L3=97m代入（7）可得?

6、1=1260，?2=1180，即最佳的方向。也可以用枚舉法作近似計(jì)算：將L2從760m到1000m每20m一段劃分，相應(yīng)的L1，L3從120m到0m每10m一段劃分。編程計(jì)算得下表，其中?1?3?2和T1T3T2分別為3段中游泳的方向和時(shí)間，而T=T1T2T3為總的時(shí)間。L1L3(m)T1T3(s)?1?3(0)L2(m)T2(s)?2(0)T(s)0670.03168.521000.00509.0795.571849.1210.005

7、25.87165.31980.00510.8597.341562.5920.00419.90161.49960.00513.2699.191353.0630.00344.10157.20940.00516.39101.131204.5940.00290.02152.63920.00520.38103.181100.4150.00250.95147.91900.00525.41105.351027.3060.00222.22143.138

8、80.00531.72107.66976.1670.00200.73138.38860.00539.65110.14941.1180.00184.40133.69840.00549.73112.83918.5290.00171.84129.11820.00562.79115.81906.47100.00162.10124.66800.00580.37119.19904.58110.00154.52120.36780.00605.9712

9、3.27915.01120.00148.62116.21760.00652.68129.08949.91可知L1=L3=100(m)，L2=800(m)時(shí)T=904.58(s)最小，即成績(jī)?yōu)?5分5秒，相應(yīng)的游泳方向?1=?3=124.660，?2=119.190。4.H仍分為3段，對(duì)于流速連續(xù)變化的第1段H1=200m，方程（1）變?yōu)椋?2）??????????????11111)(0)0(sin)(0)0(cosHTyyudtdyL