計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間設(shè)計(jì)

1、2024/3/17,1,第5章 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的 離散狀態(tài)空間設(shè)計(jì),本章主要內(nèi)容：,狀態(tài)空間描述的基本概念 2 采用狀態(tài)空間模型的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)3 采用狀態(tài)空間模型的最優(yōu)化設(shè)計(jì),2024/3/17,2,狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法是建立在矩陣?yán)碚摶A(chǔ)上、采用狀態(tài)空間模型對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)進(jìn)行描述、分析和設(shè)計(jì)的方法。用狀態(tài)空間模型能夠分析和設(shè)計(jì)多輸入多輸出系統(tǒng)、非線性、時(shí)變和隨機(jī)系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)，可以了解到系統(tǒng)內(nèi)部的變

2、化情況。并且這種分析方法便于計(jì)算機(jī)求解。,2024/3/17,3,5．1 狀態(tài)空間描述的基本概念,1 . 離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,設(shè)連續(xù)的被控對(duì)象的狀態(tài)空間表達(dá)式,,在 作用下，系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)為,,,其中 為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。取 ， ，考慮到零階保持器的作用，有,,,,,則,（5－1－1）,（5－1－２）,（5－1－3）,（5－1－４）,

3、2024/3/17,4,,,作變量置換，令：,由此可得系統(tǒng)連續(xù)部分的離散化狀態(tài)空間表達(dá)式,,其中：,式中： 為 維狀態(tài)向量， 為 維控制向量， 為 維輸出向量， 為 維狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣， 為 維輸入矩陣， 為 維輸出矩陣。,,,,,,,,,,,（5－1－５）,（5－1－６）,（5－1－７）,2024/3/17,5,可用迭代

4、法求得，,,,即：,以k＝0，1，… 代入式（5－1－6）,離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解,2024/3/17,6,離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性,描述的系統(tǒng)，如果存在有限個(gè)控制信號(hào)　　，　　　　　，能使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)　　轉(zhuǎn)移到終態(tài)　　　，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。,,…、,,…,,,寫(xiě)成矩陣形式,,能控性定義：對(duì)于式,根據(jù)狀態(tài)方程的解，有,2024/3/17,7,則 、 、…、 有解的充分必要條件，也

5、即系統(tǒng)的能控性判據(jù)為,式中:n為系統(tǒng)狀態(tài)向量的維數(shù)。,得到輸出的能控性條件為,,式中: r 為輸出向量的維數(shù)。,2024/3/17,8,描述的系統(tǒng)，如果能根據(jù)有限個(gè)采樣信號(hào)　　，　　　　，確定出系統(tǒng)的初始狀態(tài) ，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀的 。,離散時(shí)間系統(tǒng)的能觀性,…、,能觀性定義：對(duì)于式,根據(jù)狀態(tài)方程的解，從0到 時(shí)刻，各采樣瞬時(shí)的觀測(cè)值為：,,,2024/3/17,9,寫(xiě)成矩陣形式,,則

6、 有解的充分必要條件，即系統(tǒng)的能觀性判據(jù)為,,式中n為系統(tǒng)狀態(tài)向量的維數(shù) 。,2024/3/17,10,5．2 采用狀態(tài)空間模型的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì),,圖5－2 按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的控制器,狀態(tài)空間模型按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的控制器由兩部分組成：一部分是狀態(tài)觀測(cè)器，它根據(jù)所量測(cè)到的輸出 重構(gòu)出狀態(tài) ；另一部分是控制規(guī)律，它直接反饋重構(gòu)的狀態(tài) ，構(gòu)成狀態(tài)反饋控制。,根據(jù)分離性原理，控制器的設(shè)計(jì)可以分為兩個(gè)獨(dú)立的

7、部分：一是假設(shè)全部狀態(tài)可用于反饋，按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制規(guī)律；二是按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)觀測(cè)器。,,2024/3/17,11,1 按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制規(guī)律,設(shè)被控對(duì)象的離散狀態(tài)空間表達(dá)式為,,控制規(guī)律為線性狀態(tài)反饋,,假設(shè)反饋的是被控對(duì)象實(shí)際的全部狀態(tài)x(k),得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,,,作Z變換,顯然，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為,圖5-3 狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,2024/3/17,12,如何設(shè)計(jì)反饋控制規(guī)律， 以使閉環(huán)系統(tǒng)具有所期望的極

8、點(diǎn)配置 ？,首先根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的性能要求，找出所期望的閉環(huán)系統(tǒng)控制極點(diǎn) ，再根據(jù)極點(diǎn)的期望值 ，求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為,,,,反饋控制規(guī)律應(yīng)滿足如下的方程,如果被控對(duì)象的狀態(tài)為 維，控制作用為 維，則反饋控制規(guī)律為 維，即 中包含 個(gè)元素。,2024/3/17,13,例5-1 對(duì)于單

9、輸入系統(tǒng)，給定二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程,,設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制規(guī)律 ，使閉環(huán)極點(diǎn)為,,解 根據(jù)能控性判據(jù)，因,所以系統(tǒng)是能控的。期望的閉環(huán)特征方程為,設(shè)狀態(tài)反饋控制規(guī)律,,,2024/3/17,14,取 ，比較兩邊同次冪的系數(shù)，有,,,,可得：,即狀態(tài)反饋控制規(guī)律為,,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為,2024/3/17,15,2 按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器,在實(shí)際工程中，采用全狀態(tài)反饋通常是不現(xiàn)實(shí)的。常用的方法

10、是設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器，由測(cè)量的輸出值 重構(gòu)全部狀態(tài)，實(shí)際反饋的只是重構(gòu)狀態(tài) 。即,,,,常用的狀態(tài)觀測(cè)器有三種。,,,,圖5-4 狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)圖,2024/3/17,16,狀態(tài)重構(gòu)誤差的動(dòng)態(tài)性能取決于特征方程根的分布。若,,狀態(tài)重構(gòu)誤差為：,,得狀態(tài)重構(gòu)誤差方程為：,,,預(yù)報(bào)觀測(cè)器的特征方程：,的特性是快速收斂的，則對(duì)于任何初始誤差 ， 都將快速收斂到零。因此，只要適當(dāng)?shù)剡x擇增

11、益矩陣 ，便可獲得要求的狀態(tài)重構(gòu)性能。,預(yù)報(bào)觀測(cè)器,觀測(cè)器方程,2024/3/17,17,如果給出觀測(cè)器的極點(diǎn)，可求得觀測(cè)器的特征方程,,為了獲得所需要的狀態(tài)重構(gòu)性能，應(yīng)有,,通過(guò)比較兩邊z的同次冪的系數(shù)，可求得 中的n個(gè)未知數(shù)。,對(duì)于任意的極點(diǎn)配置， 具有唯一解的充分必要條件是對(duì)象是完全能觀的。,2024/3/17,18,現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器,觀測(cè)器方程,,狀態(tài)重構(gòu)誤差為,,狀態(tài)重構(gòu)誤差方程：,,,,,,,2024/3/1

12、7,19,現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器特征方程：,,為使現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器具有期望的極點(diǎn)配置，應(yīng)有,,同理，通過(guò)比較兩邊z的同次冪的系數(shù)，可求得K 中的n個(gè)未知數(shù)。,降階觀測(cè)器,將原狀態(tài)向量分成兩部分，一部分是可以直接測(cè)量的 ，一部分是需要重構(gòu)的 。,,,,2024/3/17,20,被控對(duì)象的離散狀態(tài)方程可以分塊表示為,,,即,,比較,得：,2024/3/17,21,觀測(cè)器方程:,,,,,狀態(tài)重構(gòu)誤差方程：,,降階觀測(cè)器特征

13、方程：,同理，使 ，通過(guò)比較兩邊z的同次冪的系數(shù)，可求得K 中的n個(gè)未知數(shù)。,,2024/3/17,22,3 按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制器,1）控制器組成,設(shè)被控對(duì)象的離散狀態(tài)空間描述為,,控制器由預(yù)報(bào)觀測(cè)器和狀態(tài)反饋控制律組成，即,,2）分離性原理,閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,矩陣形式：,2024/3/17,23,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為,,,,,,可見(jiàn)，閉環(huán)系統(tǒng)的2n個(gè)極點(diǎn)由兩部分組

14、成，一部分是按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的控制規(guī)律給定的n個(gè)極點(diǎn)，稱為控制極點(diǎn)，另一部分是按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測(cè)器給定的n個(gè)極點(diǎn)，稱為觀測(cè)器極點(diǎn)。兩部分相互獨(dú)立，可分別設(shè)計(jì) 。,2024/3/17,24,3）數(shù)字控制器實(shí)現(xiàn),設(shè)狀態(tài)反饋控制規(guī)律為,,代入預(yù)報(bào)觀測(cè)器方程,,觀測(cè)器與控制規(guī)律的關(guān)系,,得控制器的脈沖傳遞函數(shù)為,,將脈沖傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為差分方程，就可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)數(shù)字控制器。,2024/3/17,25,，無(wú)阻尼自然頻率

15、 ； ② 觀測(cè)器極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的衰減速度比控制極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的衰減速度快約3倍。,例5－3 設(shè)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為 ，采樣周期 ，采用零階保持器，試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，要求：,,,① 閉環(huán)系統(tǒng)的性能相應(yīng)于二階連續(xù)系統(tǒng)的阻尼比,解 被控對(duì)象的等效微分方程為,,定義兩個(gè)狀態(tài)變量,,2024/3/17,26,則被控對(duì)象的連續(xù)狀態(tài)空間表

16、達(dá)式,,,離散狀態(tài)空間表達(dá)式,,,其中：,,,2024/3/17,27,①　判斷被控對(duì)象的能控性和能觀性,,,因此，被控對(duì)象是能控且能觀的。,根據(jù)能控性判據(jù)和能觀性判據(jù),② 設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制規(guī)律,,設(shè)狀態(tài)反饋控制規(guī)律為 ，對(duì)應(yīng)的特征方程為,,,,2024/3/17,28,根據(jù)對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)的要求，對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)和特征方程為,,,,,由 ，

17、可得,,解得L1＝2，L2＝－0.317，即,2024/3/17,29,③ 設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器,選用現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器，設(shè)觀測(cè)器增益矩陣為,,現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器的特征方程為,,,,,依題意：,對(duì)應(yīng)的特征方程為,,2024/3/17,30,解得 ， ，即,由 ，可得,,④ 組成控制器,,其中,，,。,2024/3/1

18、7,31,5．3 采用狀態(tài)空間模型的最優(yōu)化設(shè)計(jì),針對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)按最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)控制器。,假定被控對(duì)象是線性的，系統(tǒng)性能指標(biāo)是狀態(tài)和控制的二次型函數(shù)，則系統(tǒng)的綜合問(wèn)題就是尋求允許的控制信號(hào)序列，使性能指標(biāo)函數(shù)最小，這類問(wèn)題稱為線性二次型（Linear Quadratic）控制問(wèn)題。如果考慮系統(tǒng)中隨機(jī)的過(guò)程干擾和量測(cè)噪聲，且過(guò)程干擾和量測(cè)噪聲均是具有正態(tài)分布的白噪聲，這類問(wèn)題稱為線性二次型高斯（Linear Quadratic Gaussi

19、an）控制問(wèn)題。,2024/3/17,32,,最優(yōu)控制器也是由兩部分組成，一部分是狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器；另一部分是最優(yōu)控制規(guī)律。,,,圖5－5 最優(yōu)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖,,,其設(shè)計(jì)也可分為兩個(gè)獨(dú)立的部分：一是將系統(tǒng)看作確定性系統(tǒng)；二是考慮隨機(jī)的過(guò)程干擾 v 和量測(cè)噪聲w，設(shè)計(jì)狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器。,2024/3/17,33,2024/3/17,34,求解二次型最優(yōu)控制問(wèn)題可采用變分法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法等方法。這里采用離散動(dòng)態(tài)規(guī)劃法來(lái)進(jìn)行求解。

20、 動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的基本思想是：將一個(gè)多級(jí)決策過(guò)程轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼舛鄠€(gè)單級(jí)決策優(yōu)化問(wèn)題，這里需要決策的是控制變量 （k＝0，1，…，N－1）。令二次型性能指標(biāo)函數(shù),,,,其中：i＝N－1、N－2、…、0。下面從最末一級(jí)往前逐級(jí)求解最優(yōu)控制序列。,2024/3/17,35,,,,,,首先求解 ，以使 最小。求 對(duì)u (N－1) 的一階導(dǎo)數(shù)并令其等于零：,,

21、,由上式和連續(xù)被控對(duì)象的離散化狀態(tài)方程，有,2024/3/17,36,,,進(jìn)一步求得最優(yōu)的控制決策為,,,其中,得,,,,,依次，可求的 、 、…、 。,、…、,其中,2024/3/17,37,計(jì)算 公式歸納：,,,,,最優(yōu)性能指標(biāo)為,,滿足上式的最優(yōu)控制一定存在且是唯一的。,其中,利用以上公式可以逆向遞推計(jì)算出S (k)和L (

22、k)。,2024/3/17,38,無(wú)限時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì),設(shè)被控對(duì)象的狀態(tài)方程為,,當(dāng)N→∞時(shí)，其性能指標(biāo)函數(shù)簡(jiǎn)化為,其中 是非負(fù)定對(duì)稱陣， 是正定對(duì)稱陣。假定［F，G］是能控的，且［F，D］是能觀的，其中D為能使DTD＝Q1成立的任何矩陣。,計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)，最經(jīng)常碰到的是離散定常系統(tǒng)終端時(shí)間無(wú)限的最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)題。當(dāng)終端時(shí)間N→∞時(shí)，矩陣S (k) 將趨于某個(gè)常數(shù)，因此可得到定常的最優(yōu)反饋增益矩陣L，便于

23、工程實(shí)現(xiàn)。,,,2024/3/17,39,存在，且是與 無(wú)關(guān)的常數(shù)陣。,或：,的解，那么對(duì)于任何非負(fù)定對(duì)稱陣 ，有,,,,①設(shè)S (k)是如下的黎卡堤（Riccati）方程,可以證明有以下幾點(diǎn)結(jié)論：,,2024/3/17,40,③ 穩(wěn)態(tài)控制規(guī)律,,是使上面性能指標(biāo)函數(shù)J極小的最優(yōu)反饋控制規(guī)律，最優(yōu)性能指標(biāo)函數(shù)為,,④ 所求得的最優(yōu)控制規(guī)律使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定。,② S是如下的黎卡堤代數(shù)方程,或：,的唯

24、一正定對(duì)稱解 。,2024/3/17,41,該結(jié)論說(shuō)明了：當(dāng)滿足上述結(jié)論中所給條件時(shí)，最優(yōu)的反饋控制規(guī)律是常數(shù)陣；并且使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。同時(shí)該結(jié)論也指出了計(jì)算最優(yōu)反饋控制規(guī)律的途徑，它既可以通過(guò)直接黎卡堤代數(shù)方程求解，也可以通過(guò)迭代法解黎卡堤差分方程求得。同時(shí)也可以看出，結(jié)論條件“是正定對(duì)稱陣”可以放寬到“是正定對(duì)稱陣”。,2024/3/17,42,例5－4 考慮離散系統(tǒng)：,,其中：,,,,,設(shè)計(jì)最優(yōu)控制器，使性能指標(biāo)：,,最小

25、。,2024/3/17,43,解 選 和 ， 。通過(guò)MATLAB仿真，可解得兩種情況下的最優(yōu)反饋增益矩陣為：,,,,,(a) 權(quán)矩陣 較小的情況 (b) 權(quán)矩陣 較大的情況,,2024/3/17,44,解 選

26、 ， 和 。通過(guò)MATLAB仿真，可解得兩種情況下的最優(yōu)反饋增益矩陣為：,,,,,(a) 權(quán)矩陣 較小的情況 (b) 權(quán)矩陣 較大的情況,,2024/3/17,45,2 狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器設(shè)計(jì),目前有許多狀態(tài)估計(jì)方法，這里介紹Kalman濾波器。,設(shè)被控對(duì)象的離散狀態(tài)空間表達(dá)式為,,其中：

27、x (k)為n維狀態(tài)向量，u (k)為m維控制向量，y (k)為r維輸出向量，v (k)為n維過(guò)程干擾向量，w (k)為r維測(cè)量噪聲向量。假設(shè)v (k) 和w (k) 均為離散化處理后的高斯白噪聲序列，且有,,,,,設(shè)V為非負(fù)定對(duì)稱陣，W為正定對(duì)稱陣，并設(shè)v (k) 和w (k) 不相關(guān)。,1）Kalman濾波公式的推導(dǎo),2024/3/17,46,由于系統(tǒng)中存在隨機(jī)的干擾v (k)和隨機(jī)的量測(cè)噪聲w (k)，因此系統(tǒng)的狀態(tài)向量x (k)

28、也是隨機(jī)向量，y (k)是能夠量測(cè)的輸出量。若記x (k)的估計(jì)量為,問(wèn)題：如何根據(jù)輸出量y (k) 估計(jì)出x (k),,,則：,為狀態(tài)的估計(jì)誤差，因而,為狀態(tài)估計(jì)的協(xié)方差陣。顯然P (k)為非負(fù)定對(duì)稱陣。這里估計(jì)的準(zhǔn)則為：根據(jù)量測(cè)量y (k)，y (k－1)，…，最優(yōu)地估計(jì)出，以使P (k)極?。ㄒ騊 (k)是非負(fù)定對(duì)稱陣，因此可比較其大?。?。這樣的估計(jì)稱為最小方差估計(jì)。,2024/3/17,47,根據(jù)最優(yōu)估計(jì)理論，最小方差估計(jì)為,,

29、即x(k)最小方差估計(jì)等于在直到k時(shí)刻的所有量測(cè)量y的情況下x(k)的條件期望。,引入更一般的記號(hào),,若 ，表示根據(jù)直到現(xiàn)時(shí)刻的量測(cè)量來(lái)估計(jì)過(guò)去時(shí)刻的狀 態(tài)，稱為內(nèi)插或平滑； ，表示根據(jù)直到現(xiàn)時(shí)刻的量測(cè)量來(lái)估計(jì)將來(lái)時(shí)刻的狀態(tài)，稱為預(yù)報(bào)或外推； ，表示根據(jù)直到現(xiàn)時(shí)刻的量測(cè)量來(lái)估計(jì)現(xiàn)時(shí)刻的狀態(tài)，稱為濾波。 這里所討論的狀

30、態(tài)最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題即是指濾波問(wèn)題。,,,,2024/3/17,48,引入如下記號(hào),,；k－1時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì),,；k－1時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)誤差,,；k－1時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差陣,,； 一步預(yù)報(bào)估計(jì),,； 一步預(yù)報(bào)估計(jì)誤差,,；一步預(yù)報(bào)估計(jì)誤差誤差協(xié)方差陣,,同樣，如：,；k時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì),2024/3/17,49,求一步預(yù)報(bào)誤差,,,,,根據(jù)前面的定義，上式中第一項(xiàng)為 ， 是輸入到控制對(duì)象的

31、確定量 ，因此上式中的第二項(xiàng)為 。第三項(xiàng)中 、 、…均與 不相關(guān)，則第三項(xiàng)為零。,,,,,,求得一步預(yù)報(bào)方程為,,2024/3/17,50,根據(jù)上式，可求得一步預(yù)報(bào)估計(jì)誤差為,,,,可進(jìn)一步求得一步預(yù)報(bào)誤差的協(xié)方差陣為,,,,,簡(jiǎn)化為,,2024/3/17,51,該估計(jì)器方程具有明顯的物理意義。式中第一項(xiàng) 是

32、 的一步最優(yōu)預(yù)報(bào)估計(jì)，它是根據(jù)直到 時(shí)刻的所有量測(cè)量的信息而得到的關(guān)于 的最優(yōu)估計(jì)。式中第二項(xiàng)是修正項(xiàng)，它是根據(jù)最新的量測(cè)信息 對(duì)最優(yōu)預(yù)報(bào)估計(jì)進(jìn)行修正。在第二項(xiàng)中,其中 稱為狀態(tài)估計(jì)器增益，或Kalman濾波器增益。,設(shè)x(k)的最小方差估計(jì)具有如下的形式,,,,,是關(guān)于量測(cè)量 的一步預(yù)報(bào)估計(jì)。,2024/3/17,52,,是關(guān)于量測(cè)量的

33、一步預(yù)報(bào)誤差，它包含了最新量測(cè)量的信息。 因此x(k)的最小方差估計(jì)所表示的最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)可以看成是一步最優(yōu)預(yù)報(bào)與最新量測(cè)量信息的加權(quán)平均，其中增益矩陣 可認(rèn)為是加權(quán)矩陣。從而問(wèn)題變?yōu)槿绾魏线m地選擇 ，以獲得的最小方差估計(jì)，即使得狀態(tài)估計(jì)誤差的協(xié)方差,,,,為最小。,現(xiàn)在的問(wèn)題變?yōu)椋簩で?，以使 極

34、小。,,,2024/3/17,53,極小。J表示 的各個(gè)分量的方差之和，因而它是標(biāo)量。,可以證明，使 極小等價(jià)于使如下的標(biāo)量函數(shù),,由以上公式，可得 的狀態(tài)估計(jì)誤差為,,,,,,,2024/3/17,54,進(jìn)一步求得狀態(tài)估計(jì)誤差的協(xié)方差陣為,,,,,由于 與 不相關(guān)，因此交叉相乘項(xiàng)的期望值為零。,,,取

35、 ，使 為 ， 變?yōu)?,,,,,2024/3/17,55,,,,,其中,如果 能使 取極小值，那么，對(duì)于任意的增量 均應(yīng)有 。,,,,,則必須有,,,2024/3/17,56,Kalman濾波公式歸納,,,,,,,和 給定，k＝1，2，…,若Kalman濾

36、波增益矩陣已知，則根據(jù)以上公式遞推計(jì)算出狀態(tài)最優(yōu)估計(jì) ，k＝1，2，…?？梢?jiàn)，為獲得狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)，關(guān)鍵是需要事先計(jì)算出Kalman濾波增益矩陣 。,,,2024/3/17,57,① 給定參數(shù)F、C 、V、W和 ，給定迭代計(jì)算總步數(shù)N，置 k＝1；② 計(jì)算P (k | k－1)；③ 計(jì)算 ；④ 計(jì)算 ；⑤ 如果k＝N，轉(zhuǎn)（7），否則，

37、轉(zhuǎn)（6）；⑥ k←k－1轉(zhuǎn)（2）；⑦ 輸出 和 ，k＝1，2，…N。,2）Kalman濾波增益矩陣 的計(jì)算,,,,,,,2024/3/17,58,例5-6 已知控制對(duì)象的離散狀態(tài)方程為,,,,,其中,已知 和 均為均值為零的白噪聲序列，且它們互不相關(guān)， 和 的協(xié)方差陣分別為,,,,,,,,取 ，

38、 ，計(jì)算Kalman濾波增益矩陣 。,,,,2024/3/17,59,解：根據(jù)上述Kalman濾波增益陣計(jì)算流程，迭代計(jì)算出不同過(guò)程噪聲水平下的濾波增益矩陣 如圖。,,,,圖 5－8 例5－6系統(tǒng)的Kalman濾波增益矩陣,可以看出， 中的各個(gè)元素隨著 的增大而增大，它說(shuō)明控制對(duì)象受到的干擾愈大，依靠模型來(lái)進(jìn)行預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確性愈低，從而更需要利用量測(cè)來(lái)進(jìn)行修正

39、。也可以看出， 是一個(gè)時(shí)變?cè)鲆婢仃?，但?dāng)增大到一定程度后，將趨于一個(gè)常數(shù)值。,,2024/3/17,60,3 LQG最優(yōu)控制器設(shè)計(jì),,設(shè)連續(xù)控制對(duì)象的離散狀態(tài)方程為,由狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器和最優(yōu)控制規(guī)律組成的控制器方程為,,可見(jiàn)，設(shè)計(jì)最優(yōu)控制器的關(guān)鍵是計(jì)算Kalman濾波器增益K和求最優(yōu)控制規(guī)律L。,2024/3/17,61,閉環(huán)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)性能取決于最優(yōu)控制器，而最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)又依賴于控制對(duì)象的模型（矩陣A，B，C），干擾