簡諧振動 （最基本最重要的運動）

1、§1.簡諧振動 （最基本最重要的運動）,一.振動,機械振動：位置作周而復(fù)始的變化。,廣義的振動：某物理量在一定值附近作周而復(fù)始的變化。,二.周期與頻率,周期：T,頻率：ν,第四章 簡諧振動,三.諧振方程,1.動力學(xué)特征,以彈簧振子為例：見圖,k,m,以平衡位置為原點建立坐標(biāo)。,o,,x,分析受力：,,,有：,有：,—— 動力學(xué)特征,2.運動學(xué)方程,解此微分方程，可得,——運動方程,諧振曲線：,正弦或余弦曲線。,,四.諧

2、振的振幅 周期 頻率和相位,1.振幅,最大位移,,2.周期,ω 是由振動系統(tǒng)決定的，所以周期、頻率也由系統(tǒng)的性質(zhì)決定。稱為固有周期與固有頻率。,3.相位,—— ωt + φ,決定任意時刻的振動狀態(tài)。,4. A φ的確定,由初始狀態(tài)決定,由：,得：,五.諧振的矢量圖示法,,x,,o,M,,,φ,考察其端點在x軸上的投影的變化規(guī)律：,,——諧振,參考圓：矢量端點的運動軌跡為半徑等于A的圓 ，通常將其稱為參考圓。其在直徑上投影的運

3、動？,,,,,,,ω,,,,,,,,,,,,φ,,,x0,x1,x2,x3,x,,確定初位相,兩個振動的位相差,相位練習(xí) 如圖所示，把一小球拉過一甚小的角 ，然后放手，任其擺動，此 角是否是初相？請選擇,(1) 0,(2) θ,t = 0,解析法：,矢量圓,,,x,,,,φ,A,單擺：,復(fù)擺,六. 單擺與復(fù)擺,受力矩：,,P,,P,M = －mgh sinθ,角加速度：,當(dāng)θ角很小時，有：,—— 諧振,單擺：,h = L,復(fù)擺：

4、,振動周期均取決于系統(tǒng)本身。,七.諧振的能量,——能量守恒,勢能曲線：,,,,-A,A,Ek = ½ k(A2 －x2),,E,,Ek,,,Ep,經(jīng)典粒子能否越過A處？,微觀粒子是可以越過勢能曲線形成的障礙而進入勢能更大的區(qū)域，此稱為隧道效應(yīng)。,從能量的角度導(dǎo)出諧振方程：,E = ½ mv2 + ½ kx2 = 常量,,諧振方程,§2. 阻尼振動 受迫振動 共振,一.阻尼振動 —— 能量

5、逐漸減少的振動。,考慮耗散作用,摩擦阻力,輻射阻尼,振動曲線：,,,振幅減小，周期比系統(tǒng)的固有周期變大。,若阻尼過大，則系統(tǒng)完不成一次振動，稱過阻尼振動。見圖,,定量分析：,設(shè)物體以不大的速率在粘性介質(zhì)中運動，粘滯阻力為,γ為阻力系數(shù)，與物體形狀、大小及介質(zhì)有關(guān)。,由牛頓方程：,令：,得：,其解為：,A、φ由初始條件決定。,當(dāng)：,若：,則為過阻尼振動，物體將緩慢逼近平衡位置。,稱為臨界阻尼，物體回到平衡位置，并靜止。,應(yīng)用：電表中的電磁

6、阻尼。臨界阻尼。,二. 受迫振動,1.受迫振動 ： 振動系統(tǒng)在周期性外力的持續(xù)作用下發(fā)生的振動。此外力稱驅(qū)動力。若強迫力按簡諧振動規(guī)律變化，則受迫振動也是諧振，周期為外力的周期，振幅保持不變。,定量分析：,設(shè)周期性外力：,由牛頓定律：,令：,得：,其解為：,振動情況分析。,最終的振動：,三.共振,受迫振動的振幅與驅(qū)動力的大小、頻率及振動物體的固有頻率有關(guān)。當(dāng)驅(qū)動力的頻率與物體的固有頻率接近時，振幅將增大，當(dāng)驅(qū)動力的頻率為某一定值時，振

7、幅將達到最大。此現(xiàn)象稱為共振。,阻尼越小，振幅越大。,振幅與初相,定量分析：,得：,,阻力越小，ωp越接近ω0。同時 Aτ也越大。,§6. 諧振的合成,一.兩個同方向 同頻率的合成,旋轉(zhuǎn)矢量法討論：,,,,,,,A1,A2,A,因轉(zhuǎn)動速度相同，所以合振動是諧振。,二.同方向不同頻率的合成 拍,合振動的振幅：,當(dāng) φ2－φ1 = ±2kπ,A = A1+ A2 為最大,當(dāng) φ2－φ1 = &#

8、177;（ 2k + 1 ）π,合振動的振幅、頻率均隨時間變化，不是簡諧振動。,設(shè)兩振動頻率為 ν2、ν1，且ν2大于 ν1 ，則在單位時間內(nèi)第二振動比第一振動多振動ν2－ν1次，從矢量圓來看，即第二矢量比第一矢量多轉(zhuǎn)（ν2－ν1）圈，所以兩矢量同向或反向各為（ν2－ν1）,次，也就是合振動將加強與減弱各（ν2－ν1）次。這樣的兩個簡諧振動合成時，由于周期的微小差別而造成的合振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象稱為拍，合振動在單位時間內(nèi)加強或減

9、弱的次數(shù)稱為拍頻。,曲線：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,定量討論：,振幅相同，初相為零。,振幅,振幅隨時間作緩慢的周期性變化。其值為0—2A,合振幅的頻率：,,三.同頻率 振動方向垂直,消去 t 得,即：,一般為橢圓方程。,幾個特例：,,s,——諧振,,s,仍為諧振,正橢圓。,,轉(zhuǎn)動方向？,橢圓，逆時針。,四.頻率不同 振動垂直——利薩如圖形,見圖： P151 5.19,第五章 機械波,一.產(chǎn)生條件

10、思考：什么是波？ 例:聲波、水波、,振動狀態(tài)的傳播。,產(chǎn)生條件：波源、彈性介質(zhì)。,二.縱波與橫波 考慮振動方向與傳播方向,縱波—— 振動方向∥傳播方向,橫波—— 振動方向⊥傳播方向,§1.機械波的產(chǎn)生與傳播,三.幾何描述,1.波陣面——位相（振動狀態(tài)）相同的點組成的曲面。形象描述波的傳播情況。,例：點波源在各向均勻介質(zhì)傳播。,,,,,,波前——最前的波陣面。,2.波射線——波的傳播方向。,,,,,各

11、相同性的介質(zhì)中，波線與波陣面垂直。,三.描述波動的物理量,1.波速——波的傳播速度。由介質(zhì)決定。,液（氣）體中：,,體變模量,,密度,固體：,橫波：,,切變模量,縱波：,,彈性模量,,彈性模量Y：,,ΔL,,F,S,L,正應(yīng)力：,線性應(yīng)變：,實驗表明：,切變模量 G：,,F,,,,切應(yīng)力與切應(yīng)變：,體變模量B：,,V,,V’,體積縮小ΔV，壓強增加Δp。,2.波長λ——相鄰的兩振動狀態(tài)完全相同的點之間的距離。 位相差

12、= ？,表現(xiàn)空間的周期性。,3.周期 T —— 波源傳出一個完整的波形的時間或振動狀態(tài)傳播一個波長的時間。與振動周期相等。,表現(xiàn)時間的周期性。,4.頻率ν——單位時間內(nèi)通過空間某點的完整的波數(shù)。,5.關(guān)系式：,例 題 頻率為3000Hz的聲波以1560ms-1沿一波線傳播，經(jīng)A點后再經(jīng)0.13m到達B點。求B點振動比A點落后的時間,相當(dāng)于多少個波長，兩點的位相差為多少？,解：,§2.平面簡諧波波動方程 （波函數(shù)）,一

13、.作用：描述波動規(guī)律—各質(zhì)點 t 時刻的振動規(guī)律。,二.導(dǎo)出,設(shè)：波源諧振，平面波、介質(zhì)無限大、波速 u.,建立坐標(biāo) 如圖：,,u,y0 = Acosωt,,p,x = 0,求 p 點的 y = ?,p 比 o 滯后 Δt ,,x,若 t 時刻 y0 = Acosωt,,波動方程,其它形式：,三.方程的物理意義.,1. x = x0,x0 處的振動方程。,2. t = t0,t0 時刻各質(zhì)點的位移——波形圖。,,,t = t0,

14、,,t = t0 + Δt,,u,Δt = ? 周期,,p,p 點的振動方向？,3. t 、x 均為變量。,各質(zhì)點的振動方程。,4.討論：,（1）振速與波速,（2）負(fù)向傳播,振速：,波速：位相的傳播速度。,例題 求A、λ、ν、T；波形圖；,解: (1),A = 0.02m,ν= 100HZ,u = 40ms-1,T = 0.01s-1,λ= uT = 0.4m,(2),t1 = 0.0025s = ¼ T,t2 = 0

15、.005s = ½ T,Δx1 = u t1 = ¼ λ,Δx2 = u t2 = ½ λ,采用平移法，見圖。,,t = 0,,t = ¼ T,,t = ½ T,,u,,,,例2 已知：頻率為12.5×108的平面余弦波沿細(xì)長棒傳播，楊氏模量Y為1.9×1011Nm-2,棒的密度為7.6×103kgm-3.波源振幅為0.1m.求波源的振動方程；波動方程；離波

16、源0.1m處質(zhì)點的振動方程；在波源振動0.0021s時的波形方程。,解： (1),ω=2πν=25×103 Hz,A = 0.1mm = 0.1×10-3m,y = Acosωt,(2),(3)、（4）略。,§3.波的能量 能流密度 波的吸收,一.能量 狀態(tài)傳播 → 能量傳播,1.能量的表式： 介質(zhì)內(nèi)取一體積元 ΔV,(可以證明),Ek 與 Ep 同位相，

17、與諧振區(qū)別。例：縱波：,形變小，振速小。,E = E ( t ) 不守恒。,2.能量密度：,平均能量密度：ω對 T 求平均.,,二.能流與能流密度,1.能流——單位時間內(nèi)通過媒質(zhì)中某面積的能量。,,,,,,設(shè)波速為 u .則平均能流：,,u,2.能流密度 （波強）——單位時間內(nèi)通過與傳播方向垂直的單位面積的平均能量。,3.波的吸收,振幅衰減：,波強衰減：,波的衰減,媒質(zhì)吸收,傳播距離,空氣中低音衰減小，次聲波衰減更小?；疖嚻眩郝暡ㄊ?/p>

18、多公里，次聲波幾百公里。,§4. 聲波,一.聲波 20—20000Hz,1.聲壓,產(chǎn)生：媒質(zhì)振動，密度變化。,定義：某一時刻，媒質(zhì)中某一點的壓強與無聲波通過時的壓強之差。,聲壓的幅值：,（可以證明）,2.聲強：聲波的強度——能流密度,頻率越高，聲強、聲壓越大。,炮聲：1w/m2 超聲波：109w/m2 數(shù)百個大氣壓。,3.聲強級,人耳對聲波的反應(yīng)： 聲強、頻率。,聽閾——引起人耳聽覺聲強的下限。

19、,痛閾——引起人耳聽覺聲強的上限。均與頻率有關(guān)。,例：1kHz 聽閾：10-12 w/m2 痛閾：1w/m2,100Hz 聽閾：10-9 w/m2 痛閾： 1.4w/m2,人耳的敏感頻率：1000——5000Hz,同一頻率，聽閾與痛閾差別：1kHz：1012 人耳主觀感受（響度）：實驗事實：聲強大十倍，響度大一倍。,用對數(shù)表示聲強的等級——聲強級。,設(shè) I

20、 為聲強，以 I0 = 10-12 w/m2 為基準(zhǔn)。,例：1kHz的痛閾的聲強級。,聲強級與響度：,0—20db 很靜,20—40db 安靜,40—60db 一般,60—80db 吵鬧,80—100db 很吵,100—120db 無法忍受,120db以上 痛苦,4.噪聲：損傷聽覺細(xì)胞，干擾中樞神經(jīng)正常功能，使人神經(jīng)衰弱、頭痛、消化不良等。,二.次聲波與超聲波,1.次聲波

21、：衰減小，在空氣、海洋、地下均能暢通無阻。,可監(jiān)聽核試驗、火箭發(fā)射、火山噴發(fā)、臺風(fēng)、地震的信號，并可用計算機精確測定方位。,對人的影響：干擾神經(jīng)系統(tǒng)正常功能，使人頭暈、惡心、嘔吐、喪失平衡感，并精神沮喪。,更強的次聲波還能使人昏迷、耳聾、精神失常甚至死亡。,動物實驗：狗：172db 呼吸困難，窒息。192db，,頻率 6—9Hz 立即死亡。,2.超聲波,(1)特性：傳播方向性好，易于聚集，衍射作用小，反射強；穿透本領(lǐng)強，

22、在固體、液體中衰減小；可獲取較大功率。,（2）應(yīng)用： 工業(yè)上：探傷，能穿透幾十米的金屬層；切割、鉆孔，加工寶石、石英和超硬金屬；焊接，進行冷焊。,農(nóng)業(yè)上：處理種子，提高發(fā)芽率、抗病性；處理土壤，增加肥力；超聲殺菌；滴蟲類在其作用下細(xì)胞被破壞而死亡；刺激植物生長；加速新酒老化。,§5. 惠更斯原理,一.現(xiàn)象:出現(xiàn)繞射。,,,,,,,,二.原理： 媒質(zhì)中波動傳到的各點，都可看作是發(fā)射子波的波源；在其后的任一時刻，這些子波

23、的抱跡就決定新的波陣面。,可解決波的傳播方向的問題。,也可證明反射定律與折射定律。,§5. 波的疊加原理 波的干涉 駐波,一.疊加原理,1.獨立性：每個波保持原有特性，互不干擾。,2.疊加性：波相遇區(qū)域中質(zhì)點的振動，為各列波在此產(chǎn)生的振動的疊加。,二.干涉,1.現(xiàn)象：兩列波相遇區(qū)域出現(xiàn)某些位置振動始終加強，某些位置振動始終減弱的現(xiàn)象。此兩列波稱為相干波。,2.相干條件：頻率、振動方向相同，位相差恒定。,3.干涉極大

24、與干涉極小的位置,,y10,,y20,,p,r1,,r2,設(shè),p 點的振動：,y = y1 + y2,同頻率、同方向振動的合成。,當(dāng)：,A = A 1 + A2 —— 極大,k = 0,1,2 …,k = 0,1,2 …,——極小,A 的大小取決于 什么？,當(dāng)：φ1=φ2,,,r 2－ r 1 —— 波程差,一般 A 介于 Amin 與 Amax 之間。,三. 駐波,特例：A 相同的相干波，反向傳播疊加而成。,特點

25、：1.振幅,——為 x 的函數(shù)。,x = ± kλ/2,振幅為 2A ，稱為波腹。,x = (2k+1)λ/4,振幅為零，稱為波節(jié)。,2.間距,波腹：,波節(jié)與波腹：,3.傳播情況：x 不同，振幅不同，各質(zhì)點以各自的振幅作諧振，并不重復(fù)前面的振動，狀態(tài)與能量無傳播。,4.半波損失,從波疏到波密（ρu 較大）出現(xiàn)波節(jié)，反射出現(xiàn)振動方向突變，也稱位相突變。,§7. 多普勒效應(yīng),討論波源與觀察者相對與介質(zhì)運動時觀察者接受到

26、的頻率發(fā)生的變化的情況。,頻率：,波源：波源在單位時間內(nèi)的振動次數(shù)或發(fā)出的完整波數(shù)。,觀察者：單位時間內(nèi)接受到的振動次數(shù)或完整波數(shù)。,波的：介質(zhì)內(nèi)的質(zhì)點單位時間內(nèi)的振動次數(shù)或通過的完整波數(shù)。且有：,這三種頻率可以互不相同。,一.觀察者相對介質(zhì)運動速度為v,相向運動：,,u,,v,假設(shè)人不動，波傳播,x1=udt,人運動：,,x2 =vdt,dt時間內(nèi)人觀察到的波數(shù)：,單位時間內(nèi)的波數(shù)：,而：,,波源頻率,所以：,增加,遠(yuǎn)離運動：可以證明

27、,減小,二.波源運動 速度為vs,此時波長會變化,波長：介質(zhì)中位相差為2π的兩個振動質(zhì)點的距離。,設(shè)波源運動vs：,,,s,,s,,u,,,,vsT,頻率增加。,若遠(yuǎn)離運動，則：,減小,三.波源于觀察者同時運動,相向運動：v取正，vs取負(fù),遠(yuǎn)離運動：v取負(fù)，vs取正,即，相向運動，頻率增加，遠(yuǎn)離運動，頻率減小。,例題：   P、Q為兩個以同相位、同頻率、同振幅振動的相干波源，它們在同一媒質(zhì)中。設(shè)頻率為ν，波長為

28、λ   ，P、Q間距離為 λ     ，R為PQ連線上P、Q兩點之外的任一點，試求：（1）自P發(fā)出的波在R點的振動與自Q發(fā)出的波在R點振動的相位差（2）R點的合振動的振幅,,,,,P,Q,R,解：,關(guān)于我們的宇宙究竟是怎樣形成的，目前為大多數(shù)科學(xué)家接受的是大爆炸宇宙學(xué)。它認(rèn)為，我們的宇宙起源于一個溫度極高，體積極小的原始火球，在距今約200億年前，由于我們還不知道的物理原因

29、，這個火球發(fā)生大爆炸，我們的宇宙在大爆炸中誕生，隨著時間的膨脹，溫度降低，物質(zhì)的密度也逐漸減小，原先存在的質(zhì)子、中子等基本粒子結(jié)合成氘、氦、鋰等元素，以后又形成星系、星系團，并逐漸形成恒星。目前我們的宇宙仍在膨脹，它的有力證據(jù)之一就是光譜的紅移。,在電磁波的多普勒效應(yīng)中，當(dāng)光源遠(yuǎn)離接收器運動時，接收到的頻率變小，因而波長變長，這種現(xiàn)象叫紅移。天文學(xué)家將來自星球的光譜與地球上相同元素的光譜比較，發(fā)現(xiàn)星球的光譜幾,乎都發(fā)生紅移，就是整個光譜

30、結(jié)構(gòu)向光譜紅色一端偏移，這現(xiàn)象可以用多普勒效應(yīng)加以解釋為這起源于星系的退行，即離開我們的運動。從紅移的大小還可以算出這種退行速度。根據(jù)這種解釋，絕大多數(shù)星系都以不同的速度離開我們運動著。    1929年哈勃把他所測得的各星系的距離和它們各自的退行速度畫到一張圖上，他發(fā)現(xiàn)在大尺度上，星系的退行速度是和它們離開我們的距離成正比，越遠(yuǎn)的星系退行的越快，這一正比關(guān)系叫做哈勃定律，它的數(shù)學(xué)表達式為：,V = H0