概率論與數(shù)理統(tǒng)計問題的求解

1、第8章 概率論與數(shù)理統(tǒng)計問題的求解,概率分布與偽隨機數(shù)生成統(tǒng)計量分析數(shù)理統(tǒng)計分析方法及計算機實現(xiàn)統(tǒng)計假設檢驗方差分析及計算機求解,8.1概率分布與偽隨機數(shù)生成 8.1.1 概率密度函數(shù)與分布函數(shù)概述,通用函數(shù)計算概率密度函數(shù)值,函數(shù) pdf格式 P=pdf(‘name’，K，A) P=pdf(‘name’，K，A，B) P=pdf(‘name’，K，A，B，C)說明 返

2、回在X=K處、參數(shù)為A、B、C的概率密度值，對于不同的分布，參數(shù)個數(shù)是不同；name為分布函數(shù)名。 例如二項分布：設一次試驗，事件Y發(fā)生的概率為p，那么，在n次獨立重復試驗中，事件Y恰好發(fā)生K次的概率P_K為：P_K=P{X=K}=pdf('bino'，K，n，p),例: 計算正態(tài)分布N（0，1）的隨機變量X在點0.6578的密度函數(shù)值。解： >> pdf('norm',0.6

3、578,0,1) ans = 0.3213例:自由度為8的卡方分布，在點2.18處的密度函數(shù)值。 解： >> pdf('chi2',2.18,8) ans = 0.0363,隨機變量的累積概率值(分布函數(shù)值),通用函數(shù)cdf用來計算隨機變量的概率之和（累積概率值）函數(shù) cdf格式 cdf(‘name’，K，A

4、) cdf(‘name’，K，A，B) cdf(‘name’，K，A，B，C)說明 返回以name為分布、隨機變量X≤K的概率之和的累積概率值，name為分布函數(shù)名.,例: 求標準正態(tài)分布隨機變量X落在區(qū)間(-∞，0.4)內的概率。 解：>> cdf('norm',0.4,0,1) ans = 0.6554例：求自由度為16

5、的卡方分布隨機變量落在[0，6.91]內的概率。 解：>> cdf('chi2',6.91,16) ans = 0.0250,隨機變量的逆累積分布函數(shù),MATLAB中的逆累積分布函數(shù)是已知，求x。命令 icdf 計算逆累積分布函數(shù)格式 icdf(‘name’，K，A) icdf(‘name’，K，A，B) icdf(‘na

6、me’，K，A，B，C) 說明 返回分布為name，參數(shù)為a1,a2,a3，累積概率值為P的臨界值，這里name與前面相同。如果F= cdf(‘name’，X，A，B，C) ，則 X = icdf(‘name’，F(xiàn)，A，B，C),例:在標準正態(tài)分布表中，若已知F=0.6554,求X解： >> icdf('norm',0.6554,0,1) ans =

7、 0.3999例：公共汽車門的高度是按成年男子與車門頂碰頭的機會不超過1%設計的。設男子身高X（單位：cm）服從正態(tài)分布N（175，6），求車門的最低高度。解：設h為車門高度，X為身高。求滿足條件 F{X>h}=0.01故>> h=icdf('norm',0.99, 175, 6)h = 188.9581,8.1.2 常見分布的概率密度函數(shù)與分布函數(shù) 8.1.2.1 Pois

8、son分布,其要求x是正整數(shù)。,其中：x為選定的一組橫坐標向量， y為x各點處的概率密度函數(shù)值。,例：繪制 l =1,2,5,10 時 Poisson 分布的概率密度函數(shù)與概率分布函數(shù)曲線。>> x=[0:15]'; y1=[]; y2=[]; lam1=[1,2,5,10];>> for i=1:length(lam1) y1=[y1,poisspdf(x,lam1(

9、i))]; y2=[y2,poisscdf(x,lam1(i))];end>> plot(x,y1), figure; plot(x,y2),8.1.2.2 正態(tài)分布,正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為:,例：>> x=[-5:.02:5]'; y1=[]; y2=[];>> mu1=[-1,0,0,0,1]; sig1=[1,0.1,1,10,1]; sig1=sqrt(sig1);>

10、;> for i=1:length(mu1) y1=[y1,normpdf(x,mu1(i),sig1(i))]; y2=[y2,normcdf(x,mu1(i),sig1(i))]; end>> plot(x,y1), figure; plot(x,y2),8.1.2.3 分布,例：>> x=[-0.5:.02:5]‘; ％x=[-eps:-0.02:-0.5,0

11、:0.02:5]; x=sort(x’);替代>> y1=[]; y2=[]; a1=[1,1,2,1,3]; lam1=[1,0.5,1,2,1];>> for i=1:length(a1) y1=[y1,gampdf(x,a1(i),lam1(i))]; y2=[y2,gamcdf(x,a1(i),lam1(i))];end>> plot(x,y1), figure; plot(x

12、,y2),8.1.2.4 分布（卡方分布）,其為一特殊的 分布 ，a=k/2, l =1/2。,例：>> x=[-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:2]; x=sort(x');>> k1=[1,2,3,4,5]; y1=[]; y2=[];>> for i=1:length(k1) y1=[y1,chi2pdf(x,k1(i))]; y2=[y2,chi

13、2cdf(x,k1(i))];end>> plot(x,y1), figure; plot(x,y2),8.1.2.5 分布,概率密度函數(shù)為:,其為參數(shù)k的函數(shù)，且k為正整數(shù)。,例：>> x=[-5:0.02:5]'; k1=[1,2,5,10]; y1=[]; y2=[];>> for i=1:length(k1) y1=[y1,tpdf(x,k1(i))]; y2=[

14、y2,tcdf(x,k1(i))]; end>> plot(x,y1), figure; plot(x,y2),8.1.2.6 Rayleigh分布,例：>> x=[-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:5]; x=sort(x');>> b1=[.5,1,3,5]; y1=[]; y2=[];>> for i=1:length(b1) y1=[y1,

15、raylpdf(x,b1(i))]; y2=[y2,raylcdf(x,b1(i))]; end>> plot(x,y1), figure; plot(x,y2),8.1.2.7 F 分布,其為參數(shù)p,q的函數(shù)，且p,q均為正整數(shù)。,例：分別繪制（p,q）為（1,1),(2,1),(3,1)(3,2),(4,1)時F分布的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)曲線。>> x=[-eps:-0.02:-0.5,0:0.02

16、:1]; x=sort(x');>> p1=[1 2 3 3 4]; q1=[1 1 1 2 1]; y1=[]; y2=[];>> for i=1:length(p1) y1=[y1,fpdf(x,p1(i),q1(i))]; y2=[y2,fcdf(x,p1(i),q1(i))]; end>> plot(x,y1), figure; plot(x,y2),8.1.3 概率

17、問題的求解,圖4-9,例：>> b=1; p1=raylcdf(0.2,b); p2=raylcdf(2,b); P1=p2-p1P1 = 0.8449>> p1=raylcdf(1,b); P2=1-p1P2 = 0.6065,例：>> syms x y; f=x^2+x*y/3;>> P=int(int(f,x,0,1/2),y,0,1/2

18、)P =5/192>> syms x y; f=x^2+x*y/3; P=int(int(f,x,0,1),y,0,2)P =1,8.1.4 隨機數(shù)與偽隨機數(shù),例：>> b=1; p=raylrnd(1,30000,1);>> xx=0:.1:4; yy=hist(p,xx); ％ hist()找出隨機數(shù)落入各個子區(qū)間的點個數(shù)，并由之擬合出生成數(shù)據(jù)的概率密度。>>yy=

19、yy/(30000*0.1);>> bar(xx,yy), >> y=raylpdf(xx,1); >> line(xx,y),8.2 統(tǒng)計量分析 8.2.1 隨機變量的均值與方差,例：均值>> syms x; syms a lam positive>> p=lam^a*x^(a-1)/gamma(a)*exp(-lam*x);>> m=int

20、(x*p,x,0,inf) m =1/lam*a 方差>> s=simple(int((x-1/lam*a)^2*p,x,0,inf)) s =a/lam^2,已知一組隨機變量樣本數(shù)據(jù)構成的向量:,求該向量各個元素的均值、方差和標準差、中位數(shù)median,例：生成一組 30000 個正態(tài)分布隨機數(shù)，使其均值為 0.5，標準差為1.5，分析數(shù)據(jù)實際的均值、方差和標準差，如果減小隨機變量個數(shù)，會有什么結果？&g

21、t;> p=normrnd(0.5,1.5,30000,1);[mean(p),var(p),std(p)]ans = 0.4879 2.2748 1.5083300個隨機數(shù)>> p=normrnd(0.5,1.5,300,1);[mean(p),var(p),std(p)]ans = 0.4745 1.9118 1.3827％可見在進行較精確的統(tǒng)計分析時不能選擇太小

22、的樣本點。,例：>> [m,s]=raylstat(0.45)m = 0.5640s = 0.0869,8.2.2 隨機變量的矩,例：求解原點矩>> syms x; syms a lam positive; p=lam^a*x^(a-1)/gamma(a)*exp(-lam*x);>> for n=1:5, m=int(x^n*p,x,0,inf), endm =1

23、/lam*a m =1/lam^2*a*(a+1)m =1/lam^3*a*(a+1)*(a+2)m =1/lam^4*a*(a+1)*(a+2)*(a+3)m =1/lam^5*a*(a+1)*(a+2)*(a+3)*(a+4) ％有規(guī)律,>> syms n; m=simple(int((x)^n*p,x,0,inf)) ％直接求出m =lam^(-n)*gamma(n+a)/gamma(a)

24、>> for n=1:6, s=simple(int((x-1/lam*a)^n*p,x,0,inf)), end ％中心距s =0s =a/lam^2 s =2*a/lam^3s =3*a*(a+2)/lam^4s =4*a*(5*a+6)/lam^5s =5*a*(3*a^2+26*a+24)/lam^6 ％好像無規(guī)律,例：考慮前面的隨機數(shù)，可以用下面的語句得出隨機數(shù)的各階矩。>>

25、 A=[]; B=[]; p=normrnd(0.5,1.5,30000,1); n=1:5;>> for r=n, A=[A, sum(p.^r)/length(p)]; B=[B,moment(p,r)]; end>> A,BA = 0.5066 2.4972 3.5562 18.7530 41.5506B = 0 2.2405 0.

26、0212 15.1944 0.0643,求各階距的理論值：>> syms x; A1=[]; B1=[]; p=1/(sqrt(2*pi)*1.5)*exp(-(x-0.5)^2/(2*1.5^2));>> for i=1:5 A1=[A1,vpa(int(x^i*p,x,-inf,inf),12)]; B1=[B1,vpa(int((x-0.5)^i*p,x,-inf,inf),12

27、)]; end>> A1, B1A1 =[ .500000000001, 2.50000000000, 3.50000000001, 18.6250000000, 40.8125000000] B1 =[ 0, 2.25000000000, 0, 15.1875000000, 0],8.2.3 多變量隨機數(shù)的協(xié)方

28、差分析,例：>> p=randn(30000,4); cov(p)ans = 1.0033 0.0131 0.0036 0.0020 0.0131 1.0110 0.0061 -0.0154 0.0036 0.0061 1.0055 -0.0004 0.0020 -0.0154 -0.0004 0.9881,8.2.4

29、 多變量正態(tài)分布的聯(lián)合概率密度即分布函數(shù),例：>> mu1=[-1,2]; Sigma2=[1 1; 1 3]; % 輸入均值向量和協(xié)方差矩陣>> [X,Y]=meshgrid(-3:0.1:1,-2:0.1:4); xy=[X(:) Y(:)]; % 產生網(wǎng)格數(shù)據(jù)并處理(兩列2501*2 ）>> p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2); % 求取聯(lián)合概率密度>>

30、; P=reshape(p,size(X)); ％Change size(2501*1—61*41)>> surf(X,Y,P),對協(xié)方差矩陣進行處理，可計算出新的聯(lián)合概率密度函數(shù)。>> Sigma2=diag(diag(Sigma2)); % 消除協(xié)方差矩陣的非對角元素>> p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2); P=reshape(p,size(X)); surf(X

31、,Y,P),R為m行n列。,例：>> mu1=[-1,2]; Sigma2=[1 1; 1 3];>> R1=mvnrnd(mu1,Sigma2,2000); plot(R1(:,1),R1(:,2),'o')>> Sigma2=diag(diag(Sigma2)); figure;>> R2=mvnrnd(mu1,Sigma2,2000); plot(R2(

32、:,1),R2(:,2),'o'),8.3數(shù)理統(tǒng)計分析方法及計算機實現(xiàn) 8.3.1 參數(shù)估計與區(qū)間估計,無論總體X的分布函數(shù)F（x； ）的類型已知或未知，我們總是需要去估計某些未知參數(shù)或數(shù)字特征，這就是參數(shù)估計問題.即參數(shù)估計就是從樣本（X1，X2，…，Xn）出發(fā)，構造一些統(tǒng)計量 X1，X2，…，Xn）（i=1，2，…，k）去估計總體X中的某些參數(shù)（或數(shù)字特征） （i=1，2，…，k）.這

33、樣的統(tǒng)計量稱為估計量.,1、點估計：構造（X1，X2，…，Xn）的函數(shù) (X1，X2，…，Xn） 作為參數(shù) 的點估計量，稱統(tǒng)計量 為總體X參數(shù) 的點估計量.2.   區(qū)間估計：構造兩個函數(shù) (X1，X2，…，Xn）和 (X1，X2，…， Xn）做成區(qū)間，把這 （ ）作為參數(shù) 的區(qū)間估計.,,區(qū)間估計的

34、求法,設總體X的分布中含有未知參數(shù) ，若對于給定的概率 ，存在兩個統(tǒng)計量 (X1，X2，…，Xn）和 (X1，X2，…，Xn）,使得 則稱隨機區(qū)間 為參數(shù) 的置信水平為 的置信區(qū)間,稱 為置信下限,稱 為置信上限.,,,,,由極大擬然法估

35、計出該分布的均值、方差 及其置信區(qū)間。置信度越大，得出的置信區(qū)間越小，即得出的結果越接近于真值。 還有gamfit(), raylfit(), poissfit() ，unifit()（均勻分布） 等參數(shù)估計函數(shù),例：>> p=gamrnd(1.5,3,30000,1); Pv=[0.9,0.92,0.95,0.98]; A=[];>> for i=1:length(Pv

36、) [a,b]=gamfit(p,Pv(i)); A=[A; Pv(i),a(1),b(:,1)',a(2),b(:,2)']end>> AA = 0.9000 1.5137 1.5123 1.5152 2.9825 2.9791 2.9858 0.9200 1.5137 1.5126 1.5149 2.9825

37、2.9798 2.9851 0.9500 1.5137 1.5130 1.5144 2.9825 2.9808 2.9841 0.9800 1.5137 1.5135 1.5140 2.9825 2.9818 2.9831,>> num=[300,3000,30000,300000,3000000]; A=[];>>

38、for i=1:length(num) p=gamrnd(1.5,3,num(i),1); [a,b]=gamfit(p,0.95); A=[A;num(i),a(1),b(:,1)',a(2),b(:,2)']; end >> A(:,[2,3,4,5,6,7])ans = 1.4795 1.4725 1.4865 2.9129 2.8960 2

39、.9299 1.4218 1.4198 1.4238 3.1676 3.1623 3.1729 1.4898 1.4891 1.4904 3.0425 3.0409 3.0442 1.4998 1.4996 1.5000 3.0054 3.0049 3.0059 1.5006 1.5005 1.5007

40、 2.9968 2.9966 2.9969 要達到參數(shù)估計效果良好，隨機數(shù)不能選得太少，也不能選得太多，此例中為30000為好。,8.3.2 多元線性回歸與區(qū)間估計,例：>> a=[1 -1.232 2.23 2 4 3.792]'; X=randn(120,6); y=X*a; >> a1=inv(X'*X)*X'*y;a1'an

41、s = 1.0000 -1.2320 2.2300 2.0000 4.0000 3.7920>> [a,aint]=regress(y,X,0.02);a',aint'ans = 1.0000 -1.2320 2.2300 2.0000 4.0000 3.7920ans = 1.0000 -1.2320 2.230

42、0 2.0000 4.0000 3.7920 1.0000 -1.2320 2.2300 2.0000 4.0000 3.7920,>> yhat=y+sqrt(0.5)*randn(120,1); >> [a,aint]=regress(yhat,X,0.02);>> a',aint‘ ％ a=[1 -1.232 2.23 2 4

43、 3.792]'ans = 1.0576 -1.3280 2.1832 2.0151 4.0531 3.7749ans = 0.8800 -1.5107 2.0284 1.8544 3.8788 3.6221 1.2353 -1.1453 2.3379 2.1757 4.2274 3.9276,>> err

44、orbar(1:6, a, aint(:,1)-a, aint(:,2)-a)％ errorbar()用圖形繪制參數(shù)估計的置信區(qū)間。>> yhat=y+sqrt(0.1)*randn(120,1);>>[a,aint]=regress(yhat,X,0.02);>> errorbar(1:6, a, aint(:,1)-a, aint(:,2)-a),8.3.3 非線性函數(shù)的最小二乘參數(shù)

45、估計與區(qū)間估計,r為參數(shù)下的殘差構成的向量。J為各個Jacobi行向量構成的矩陣。,例：>> f=inline('a(1)*exp(-a(2)*x)+a(3)*exp(-a(4)*x).*sin(a(5)*x)','a','x');>> x=0:0.1:10; y=f([0.12,0.213,0.54,0.17,1.23],x);>

46、> [a,r,j]=nlinfit(x,y,f,[1;1;1;1;1]); a,ans = 0.11999999763418 0.21299999458274 0.54000000196818 0.17000000068705 1.22999999996315>> ci=nlparci(a,r,j) ％ [0.12,0.213,0.54,0.17,1.

47、23]ci = 0.11999999712512 0.11999999814323 0.21299999340801 0.21299999575747 0.54000000124534 0.54000000269101 0.17000000036077 0.17000000101332 1.22999999978603 1.23000000014028,>> y=f([0.

48、12,0.213,0.54,0.17,1.23],x)+0.02*rand(size(x));>> [a,r,j]=nlinfit(x,y,f,[1;1;1;1;1]); a'ans = 0.12655784086874 0.17576593556541 0.54363873794463 0.17129712329146 1.23139632101927>> ci=nlparc

49、i(a,r,j)ci =0.12240417108574 0.130711510651740.16754837168468 0.183983499446140.53737093469422 0.549906541195040.16845014477426 0.174144101808661.22983289563708 1.23295974640145>> errorbar(1:5,a,ci

50、(:,1)-a,ci(:,2)-a),例：>> a=[1;1;1;1;1;1]';>> f=inline(['(a(1)*x(:,1).^3+a(2)).*sin(a(3)*x(:,2) ' ，...'.*x(:,3))+(a(4)*x(:,3).^3+a(5)*x(:,3)+a(6))'],'a','x');>>

51、X=randn(120,3); y=f(a,X)+sqrt(0.2)*randn(120,1);>> [ahat,r,j]=nlinfit(X,y,f,[0;2;3;2;1;2]); ahatahat = 0.99166464884539 1.04776526972943 0.97668595800756 1.02022345889541 0.88639528713563 1.0931

52、7291667891,>> ci=nlparci(ahat,r,j); ci ％置信區(qū)間ci = 0.89133624667624 1.09199305101455 0.86664749663205 1.22888304282680 0.83628948119418 1.11708243482094 0.98466523279168 1.05578168499914 0.73

53、055684224143 1.04223373202984 0.99932407018303 1.18702176317478>> errorbar(1:6,ahat,ci(:,1)-ahat,ci(:,2)-ahat)>> y1=f(ahat,X);plot([y y1]) ％繪制曲線,8.4 統(tǒng)計假設檢驗8.4.1 正態(tài)分布的均值假設檢驗,H為假設檢驗的結論，當H＝0時表示不拒絕

54、H0假設，否則表示拒絕該假設。 s為接受假設的概率值， 為其均值的置信區(qū)間。 若未知正態(tài)分布的標準差時，可用此函數(shù)。,例：設某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖，包得的袋裝糖重量是一個隨機數(shù)，它服從正態(tài)分布。當機器正常時，其均值為0.5公斤，標準差為0.015。某日開工后檢驗包裝機是否正常，隨機地抽取它所包裝的的糖9袋，稱得凈重為（公斤）0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.4

55、98, 0.511, 0.52, 0.515, 0.512,問機器是否正常？解： （分析）總體均值、標準差已知，則可設樣本的標準差為0.015，于是 問題就化為根據(jù)樣本值來判斷 還是 。為此提出假設：,>> x=[0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.52, 0.515,

56、 0.512];>> [H,p,ci]=ztest(x,0.5,0.015,0.05)H = 1p = 0.0248 %樣本觀察值的概率 ci = 0.5014 0.5210 %置信區(qū)間，均值0.5在此區(qū)間之外 結果H＝1，說明在0.05的水平下，拒絕原假設，即認為這天包裝機工作不正常。,例：某種電子元件的壽命X（以小時計）服從正態(tài)分布，均值、方差均未知。

57、現(xiàn)測得16只元件的壽命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 262 168 250 149 260 485 170 , 問是否有理由認為元件的平均壽命大于225（小時）：解：按題意需做如下假設： 取,>> x=[159 280 101 212 224 379 179 264 222 262 168 250 14

58、9 260 485 170];>> [H,p,ci]=ttest(x,225,0.05)H = 0p = 0.6677ci = 185.3622 285.1378 %均值225在該置信區(qū)間內 結果表明，H＝0，即在顯著水平為0.05的情況下，不能拒絕原假設。即認為元件的平均壽命不大于225小時。,8.4.2 正態(tài)分布假設檢驗,由隨機樣本判定分布是否為正態(tài)分布，可

59、用下面兩個假設算法的函數(shù)。 s為接受假設的概率值，s越接近于0，則可以拒絕是正態(tài)分布的原假設.,例：>> X=[216,203,197,208,206,209,206,208,202,203,206,213,218,207,208,... 202,194,203,213,211,193,213,208,208,204,206,204,206,208,209,... 213,203,2

60、06,207,196,201,208,207,213,208,210,208,211,211,214,... 220,211,203,216,224,211,209,218,214,219,211,208,221,211,218,... 218,190,219,211,208,199,214,207,207,214,206,217,214,201,212,... 213,211,212,216,206,210,2

61、16,204,221,208,209,214,214,199,204,... 211,201,216,211,209,208,209,202,211,207,202,205,206,216,206,... 213,206,207,200,198,200,202,203,208,216,206,222,213,209,219];>> [H,p]=jbtest(X,0.05) %P為接受假設的概率值，P越接近于

62、0，則可以拒絕是正態(tài)分布的原假設；H = 0 p = 0.7281,>> [mu1,sig1,mu_ci,sig_ci]=normfit(X,0.05); mu=[mu1,mu_ci']mu = 208.8167 207.6737 209.9596％該分布的均值及置信區(qū)間>> sig=[sig1, sig_ci']sig = 6.3232 5.

63、6118 7.2428％該分布的方差及置信區(qū)間,例：>> r=gamrnd(1,3,400,1); [H,p,c,d]=jbtest(r,0.05)H = 1p = 0c = 504.2641d = 5.9915%P為接受假設的概率值，P越接近于0，則可以拒絕是正態(tài)分布的原假設；c為測試統(tǒng)計量的值，d為是否拒絕原假設的臨界值,c>d, 故拒絕。,8.4.3 其它分

64、布的Kolmogorov-Smirnov 檢驗,此函數(shù)（ Kolmogorov-Smirnov 算法）可對任意已知分布函數(shù)進行有效的假設檢驗。 其中cdffun為兩列的值，第一列為自變量，第二列為對應的分布函數(shù)的值。,例：>> r=gamrnd(1,3,400,1); alam=gamfit(r)alam = 0.9708 3.1513檢驗：>> r=sort(r)

65、;>> [H0,p]=kstest(r,[r gamcdf(r,alam(1),alam(2))],0.05)H0 = 0p = 0.6067,8.5方差分析及計算機求解 8.5.1 單因子方差分析,對一些觀察來說，只有一個外界因素可能對觀測的現(xiàn)象產生影響。 單因素方差分析是比較兩組或多組數(shù)據(jù)的均值，它返回原假設—均值相等的概率,若p值接近于0，則原假設受到懷

66、疑，說明至少有一列均值與其余列均值有明顯不同。 X為需要分析的數(shù)據(jù)，每一列對應于隨機分配的一個組的測試數(shù)據(jù)，這樣會返回概率p，tab為方差分析表 。stats為統(tǒng)計結果量，為結構變量，包括每組均值等。,單因子方差分析表,例：,建立A矩陣，并求各列的均值。>> A=[5,4,6,7,9; 8,6,4,4,3; 7,6,4,6,5; 7,3,5,6,7; 10,5,4,3,7; 8,6,3,5,6];&

67、gt;> mean(A)ans = 7.5000 5.0000 4.3333 5.1667 6.1667>> [p,tbl,stats]=anova1(A) %單因子方差分析p = 0.0136 %F' 'Columns' [36.4667] [ 4] [9.1167] [3.8960] [

68、0.0136] 'Error' [58.5000] [25] [2.3400] [] [] 'Total' [94.9667] [29] [] [] [],stats = gnames: [5x1 char]

69、n: [6 6 6 6 6] source: 'anova1' means: [7.5000 5 4.3333 5.1667 6.1667] df: 25 s: 1.5297單因子方差表 盒式圖,例：設有3臺機器，用來生產規(guī)格相同的鋁合金薄板。取樣測量薄板的厚度，精確至‰厘米。得結果如

70、下：機器1：0.236 0.238 0.248 0.245 0.243機器2：0.257 0.253 0.255 0.254 0.261機器3：0.258 0.264 0.259 0.267 0.262檢驗各臺機器所生產的薄板的厚度有無顯著的差異？>> X=[0.236 0.238 0.248 0.245 0.243; 0.257 0.253 0.255 0.254 0.2

71、61 ；0.258 0.264 0.259 0.267 0.262];>> P=anova1(X')P = 1.3431e-005,8.5.2 雙因子方差分析,如果有兩種因子可能影響到某現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，則應該引入雙因子方差分析的概念。這時觀察值可表示為一個三維數(shù)組。 根據(jù)雙因子的特點，可以引入3個假設,,雙因素方差表,表中記號的定義,求解雙因子方差分析問題:,例：比較 3 種松樹在4 個不同

72、地區(qū)的生長情況有無差別,在每個地區(qū)對每種松樹隨機地選擇 5 株，測量它們的胸徑，對它們進行雙因子方差分析。,>> B=[23,15,26,13,21,25,20,21,16,18,21,17,16,24,27,14,17,19,20,24; 28,22,25,19,26,30,26,26,20,28,19,24,19,25,29,17,21,18,26,23; 18,10,12,22,13,15,21,22,