橢球面上的測(cè)量計(jì)算

1、第七章 橢球面上的測(cè)量計(jì)算,,[本章提要],7.1 地球橢球的基本幾何參數(shù)及相互關(guān)系 7.2 橢球面上的常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系 7.3 橢球面上的幾種曲率半徑 7.4 橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算 7.5 大地線 7.6 將地面觀測(cè)的方向值歸算到橢球面 7.7 將地面觀測(cè)的長(zhǎng)度歸算到橢球面7.8 橢球面上三角形的解算7.9 大地主題解算的高斯平均引數(shù)公式,[習(xí)題],本章提要,本章介紹了地球橢球，橢球體的基本幾何參數(shù)，基本坐標(biāo)系及

2、其相互關(guān)系，橢球面上的曲率半徑及弧長(zhǎng)，大地線的定義及微分方程，并且在后面介紹了橢球面同地面之間的關(guān)系以及兩者間坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換問(wèn)題。,,[要求]在對(duì)本章的學(xué)習(xí)中，首先要理解相關(guān)的概念了解相關(guān)的內(nèi)容即可，對(duì)推導(dǎo)的過(guò)程的掌握不做要求。,7.1地球橢球的基本幾何參數(shù)及相互關(guān)系,7.1.1地球橢球的基本幾何參數(shù)地球橢球 用來(lái)代表地球的橢球參考橢球 具有一定的幾何參數(shù)、定位及定向的用以代表某一地區(qū)大地水準(zhǔn)面的地球橢球叫做參考橢球。地面上一切觀測(cè)

3、元素都應(yīng)歸算到參考橢球面上，并在該面上進(jìn)行計(jì)算，它是大地測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面，同時(shí)又是研究地球形狀和地圖投影的參考面。有關(guān)元素O為橢球中心；NS為旋轉(zhuǎn)軸；a為長(zhǎng)半軸；b為短半軸；子午圈（或徑圈或子午橢圓）；平行圈（或緯圈）；赤道。旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小是由子午橢圓的五個(gè)基本幾何參數(shù)（元素）來(lái)決定的，即：橢圓的長(zhǎng)半軸： a 橢圓的短半軸： b,橢圓的扁率：

4、 橢圓的第一偏心率： 橢圓的第二偏心率： 其中：a、b稱(chēng)為長(zhǎng)度元素；扁率反映了橢球體的扁平程度，如α=0時(shí)，橢球變?yōu)榍蝮w；α=1時(shí)，則為平面。e和e/是子午橢圓的焦點(diǎn)離開(kāi)中心的距離與橢圓半徑之比，它們也反映了橢球體的扁平程度，偏心率越大，橢球愈扁。,,,,五個(gè)參數(shù)中，若知道其中的兩個(gè)參數(shù)就

5、可決定橢球的形狀和大小，但其中至少應(yīng)已知一個(gè)長(zhǎng)度元素（如a或b），人們習(xí)慣于用a和 表示橢球的形狀和大小，便于級(jí)數(shù)展開(kāi)。引入下列符號(hào)：式中B為大地緯度，c為極曲率半徑（極點(diǎn)處的子午線曲率半徑）， 兩個(gè)常用的輔助函數(shù)，W第一基本緯度函數(shù)，V第二基本緯度函數(shù)，,,,,,,傳統(tǒng)大地測(cè)量利用天文大地測(cè)量和重力測(cè)量資料推求地球橢球的幾何參數(shù)，自1738年（法國(guó)）布格推算出第一個(gè)橢球參數(shù)以來(lái)，200多年間各國(guó)大地測(cè)量工作者根據(jù)某一國(guó)或某

6、一地區(qū)的資料，求出了數(shù)目繁多，數(shù)值各異的橢球參數(shù)。由于衛(wèi)星大地測(cè)量的發(fā)展，使推求總地球橢球體參數(shù)成為可能，自1970年以后的橢球參數(shù)都采用了衛(wèi)星大地測(cè)量資料。長(zhǎng)半經(jīng)變化于6378135m～6378145m之間，扁率分母變化于298.25～298.26之間，可見(jiàn)精度已很高。比較著名的有30個(gè)橢球參數(shù)，其中涉及我國(guó)的有：,我國(guó)1954年北京坐標(biāo)系應(yīng)用的是克拉索夫斯基橢球參數(shù)，1980年西安坐標(biāo)系應(yīng)用的是1975年國(guó)際橢球參數(shù)，而GPS應(yīng)用的

7、是WGS-84系橢球參數(shù)。,7.1.2地球橢球參數(shù)間的相互關(guān)系,,,,,,并且得到：,,,,,,,,7.2橢球面上的常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系,7.2.1各種坐標(biāo)系的建立 大地坐標(biāo)系：P點(diǎn)的子午面NPS與起始子午面NGS所構(gòu)成的二面角叫做P點(diǎn)大地經(jīng)度，P點(diǎn)的法線Pn與赤道面的夾角B叫P點(diǎn)的大地緯度，P點(diǎn)的位置用L、B表示。若點(diǎn)不在橢球面上，還要附加另一參數(shù)大地高H，它與正常高及正高的關(guān)系為：,,若點(diǎn)在橢球面上，H=0,大地坐標(biāo)系是大地測(cè)

8、量的基本坐標(biāo)系，其優(yōu)點(diǎn)為：⑴它是整個(gè)橢球體上統(tǒng)一的坐標(biāo)系，是全世界公用的最方便的坐標(biāo)系統(tǒng)。⑵它與同一點(diǎn)的天文坐標(biāo)（天文經(jīng)緯度）比較，可以確定該點(diǎn)的垂線偏差的大小.,空間直角坐標(biāo)系:以橢球中心O為原點(diǎn)，起始子午面與赤道面交線為X軸，在赤道面上與X軸正交的方向?yàn)閅軸，橢球體的旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，構(gòu)成右手坐標(biāo)系O-XYZ，在該坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的位置用X、Y、Z表示。 子午面直角坐標(biāo)系:設(shè)P點(diǎn)的大地經(jīng)度為L(zhǎng)，在過(guò)P點(diǎn)的子午面上，以子午圈橢圓中心為

9、原點(diǎn)，建立x，y平面直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的位置用L，x，y表示。 大地極坐標(biāo)系: M為橢圓體面上任意一點(diǎn)，MN為過(guò)M點(diǎn)的子午線，S為連結(jié)MP的大地線長(zhǎng)，A為大地線在M點(diǎn)的大地方位角。以M為極點(diǎn)、MN為極軸、S為極徑、A為極角，就構(gòu)成了大地極坐標(biāo)系。P點(diǎn)位置用S、A表示。 橢球面上的極坐標(biāo)（S、A）與大地坐標(biāo)（L、B）可以互相換算，這種換算叫大地主題解算。,7.2.2各種坐標(biāo)系間的關(guān)系,子午面直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的

10、關(guān)系,過(guò)P點(diǎn)作法線Pn，與x軸之夾角為B，過(guò)P點(diǎn)作子午圈的切線TP，與x軸的夾角為（90+B）。該夾角的正切值為曲線在P點(diǎn)處之斜率，它等于曲線在該點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)。,,,兩式即為子午面直角坐標(biāo)x、y同大地緯度B的關(guān)系式。,7.2.2各種坐標(biāo)系間的關(guān)系,空間直角坐標(biāo)系與子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系,注意到圖7-3與圖7-4，空間直角坐標(biāo)系中的相當(dāng)于子午平面直角坐標(biāo)系中的y，相當(dāng)于x，且兩者之經(jīng)度相同，于是可得：,,,,7.3橢球面上的幾種曲率半徑,

11、法截面：過(guò)橢球面上任意一點(diǎn)做一條垂直與橢球面的法線，包含這條法線的平面叫法截面。法截面同橢球面的交線叫法截線 子午圈曲率半徑： 或者,,,,結(jié)論：M隨著B(niǎo)的增大而增大。,卯酉圈曲率半徑：,,,卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸之間的距離，即卯酉圈的曲率中心在橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。,任意法截弧的曲率半徑：,,平均曲率半徑：一定范圍內(nèi)，把橢球面當(dāng)作是平面處理。,,7.4橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算,在研究與橢球有關(guān)的一些測(cè)量計(jì)算時(shí)，例如研究高

12、斯投影計(jì)算，往往要用到子午線弧長(zhǎng)及平行圈弧長(zhǎng)。,7.4.1子午線弧長(zhǎng)計(jì)算公式,我們知道，子午橢圓的一半，其端點(diǎn)與極點(diǎn)相重合。而赤道又把子午線分成對(duì)稱(chēng)的兩部分，因此，我們只推導(dǎo)從赤道開(kāi)始到已知緯度B子午線弧長(zhǎng)的計(jì)算公式 。取子午線上某微分弧 令P點(diǎn)緯度為B,P/點(diǎn)緯度為 點(diǎn)的子午圈曲率半徑為M,于是有,,,,要計(jì)算從赤道開(kāi)始到任意緯度B的子午線弧長(zhǎng),必須求出下列積分值: 將積分因子按二項(xiàng)式定理展開(kāi)為級(jí)數(shù)形式 為積分方便,將正

13、弦的指數(shù)函數(shù)化為余弦的倍數(shù)函數(shù).則由于:,,,,于是有:,,令常系數(shù):,將其代入積分式中：,,B=,,C=,,,積分后得由赤道至子午線上某點(diǎn)的子午弧長(zhǎng)公式:,,7.4.2平行圈弧長(zhǎng)公式旋轉(zhuǎn)橢球體的平行圈是一個(gè)圓，其半徑就是圓上任意一點(diǎn)的子午面直角坐標(biāo)x,如果平行圈上有兩點(diǎn)，其經(jīng)差 可寫(xiě)出平行圈弧長(zhǎng)公式：,,,7.4.3子午線弧長(zhǎng)和平行圈弧長(zhǎng)變化的比較從表中可以看出，單位緯差的子午線弧長(zhǎng)隨B的增大而

14、緩慢地增大；而單位經(jīng)差的平行圈弧長(zhǎng)則隨B的增大而急劇縮短。同時(shí)還知，子午弧長(zhǎng)10約為110KM，1/約為1.8KM，1//約為30M；而平行圈弧長(zhǎng)僅在赤道附近才與子午線弧長(zhǎng)大體相當(dāng)，隨著B(niǎo)的增大它們的差值愈來(lái)愈大。,,,7.5大地線,7.5.1相對(duì)法截線設(shè)在橢球面上任取兩點(diǎn)A、B，其緯度分別為 。過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作法線與短軸交于 點(diǎn)，與赤道面分別交于 ?，F(xiàn)證明 將不重合

15、。,,,,,,,顧及,,,,上式寫(xiě)成：,相對(duì)法截線 ：法線 互不相交，故 和 這兩條法截線不重合。我們把 和 叫做A、B兩點(diǎn)的相對(duì)法截線。,,,,,,當(dāng)A、B兩點(diǎn)位于同一子午圈或同一平行圈上時(shí)，正反法截線則合二為一，這是一種特殊情況。而通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在橢球面上A、B、C三點(diǎn)處所測(cè)得的角度（各點(diǎn)上正法截線之夾角）將不能構(gòu)成閉合三角形。為克服這個(gè)矛盾，在兩點(diǎn)間另選一

16、條單一的大地線代替相對(duì)法截線，從而得到由大地線構(gòu)成的單一的三角形。,7.5.2大地線的定義和性質(zhì)橢球面上兩點(diǎn)間的最短曲線叫做大地線。在微分幾何中，大地線（又稱(chēng)測(cè)地線）另有這樣的定義“大地線上每點(diǎn)的密切面（無(wú)限接近三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的平面）都包含該點(diǎn)的曲線法線”亦即“大地線上各點(diǎn)的主法線與該點(diǎn)的曲面法線重合”。因曲面法線互不相交，故大地線是一條空間的曲面曲線。,假如在橢球模型表面A、B兩點(diǎn)之間，畫(huà)出相對(duì)法截線，然后在A、B兩點(diǎn)上各插一個(gè)大頭針，

17、并緊貼著橢球面在大頭針中間拉緊一條細(xì)橡皮筋，并設(shè)橡皮筋和橢球面之間沒(méi)有磨擦力。則橡皮筋形成一條曲線，恰好位于相對(duì)法截線之間，這就是一條大地線，由于橡皮筋處于拉力之下，故它實(shí)際上是兩點(diǎn)的最短線。不在同一子午圈或不在同一平行圈上的兩點(diǎn)的正反法截線是不重合的，它們之間的夾角 ，在一等三角測(cè)量中可達(dá)千分之四秒，可見(jiàn)此時(shí)是不容忽視的。大地線是兩點(diǎn)間唯一最短線，而且位于相對(duì)法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角為,,,在一等三角測(cè)量

18、中，數(shù)值可達(dá)千分之一二秒，可見(jiàn)在一等或相當(dāng)于一等三角測(cè)量精度的工程三角測(cè)量中是不可忽視的。大地線與法截線長(zhǎng)度之差只有百萬(wàn)分之一毫米，所以在實(shí)際計(jì)算中，這種長(zhǎng)度差異可以忽略不計(jì)。但是，根據(jù)大地線的性質(zhì)可知，在橢球面上進(jìn)行測(cè)量計(jì)算時(shí)，應(yīng)以?xún)牲c(diǎn)間的大地線為依據(jù)。在地面上測(cè)得的方向、距離等應(yīng)歸算到相應(yīng)大地線的方向、距離。,7.5.3大地線的微分方程和克萊洛(克萊勞)方程設(shè)P為大地線上任一點(diǎn)，其經(jīng)度為L(zhǎng)，緯度為B，大地方位角為A,當(dāng)大地線增長(zhǎng)

19、dS到P1點(diǎn)時(shí)，則上述各量相應(yīng)變化L+dl,B+dB,A+dA。對(duì)應(yīng)于PP1的過(guò)P點(diǎn)的平行圈變化為PP2,PP1P2為一橢球面直角三角形，由于該三角形無(wú)限小，可視為平面三角形，,,,再過(guò)P和P1分別作子午線的切線，由于P和P1無(wú)限接近，故可視為兩者的切線同交于短軸的延長(zhǎng)線上的T點(diǎn)。由PT和P1T所決定的平面可視為通過(guò)P和P1點(diǎn)切平面，同時(shí)由于P2也無(wú)限接近于P1，所以可視為在切平面上，因此由小扇形TPP2可得,,又：,,,,克萊洛方程,

20、式中C也叫大地線常數(shù)，該式即為著名的克萊洛方程，也叫克萊洛定理。它表明：在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點(diǎn)的平行圈半徑與大地線在該點(diǎn)的大地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)。克萊洛方程在橢球大地測(cè)量學(xué)中有重要意義，它是經(jīng)典的大地主題解算的基礎(chǔ)。由克萊洛方程可以寫(xiě)出：,,利用這個(gè)關(guān)系式可以檢查緯度與方位角計(jì)算的正確性,7.6將地面觀測(cè)的方向值歸算到橢球面,我們知道，參考橢球面是測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面，而野外的各種測(cè)量工作都是在地面上進(jìn)行的，測(cè)站點(diǎn)和照準(zhǔn)點(diǎn)一般都

21、超過(guò)參考橢球面一定高度，觀測(cè)的基準(zhǔn)線不是各點(diǎn)相應(yīng)的橢球面的法線，而是各點(diǎn)的垂線，各點(diǎn)的垂線與法線間存在著垂線偏差，因此，也就不能直接在地面上處理觀測(cè)成果，而應(yīng)將地面觀測(cè)的元素（方向和距離等）歸算至橢球面上。在歸算中有兩條基本要求：（1）以橢球面的法線為基準(zhǔn)；（2）將地面觀測(cè)元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素。本節(jié)主要研究方向值的歸算,7.6.1將地面觀測(cè)的水平方向歸算至橢球面----三差改正,垂線偏差改正地面上所有水平方向的觀測(cè)都是以垂

22、線為根據(jù)的，而在橢球面上則要求以該點(diǎn)的法線為依據(jù)。因此在每三角點(diǎn)上，把以垂線為依據(jù)的地面觀測(cè)的水平方向值歸算到以法線為依據(jù)的方向值而應(yīng)加的改正定義為垂線偏差改正。垂線偏差改正同經(jīng)緯儀垂直軸改正相似，以測(cè)站A為中心作出單位半徑的輔助球，u是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別為 ，M是地面觀測(cè)目標(biāo)m在球面上的投影。,將水平方向歸算至橢球面，包括垂線偏差改正、標(biāo)高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱(chēng)此三項(xiàng)為三差改正。,,垂線偏差的計(jì)算公

23、式為：,式中 是測(cè)站點(diǎn)上的垂線偏差在子午圈和卯酉圈上的分量，它們可在測(cè)區(qū)的垂線偏差分量圖中內(nèi)差取得，從式中可以看出，垂線偏差改正的數(shù)值主要與測(cè)站點(diǎn)的垂線偏差和觀測(cè)方向的天頂距（或垂直角）有關(guān)。標(biāo)高差改正標(biāo)高差改正又稱(chēng)由照準(zhǔn)點(diǎn)高度引起的改正。我們知道，不在同一子午面或不在同一平行圈上的兩點(diǎn)的法線是不共面的。因此，當(dāng)進(jìn)行水平方向觀測(cè)時(shí)，如果照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面某一高度，則照準(zhǔn)面就不能通過(guò)照準(zhǔn)點(diǎn)的法線同橢球面的交點(diǎn)，由此引起的方向偏

24、差的改正稱(chēng)標(biāo)高差改正以 表示。,,,,,A為測(cè)站點(diǎn)，若測(cè)站點(diǎn)觀測(cè)值已加垂線偏差改正，則可認(rèn)為垂線與法線一致。這時(shí)測(cè)站點(diǎn)在橢球面上或者高出橢球面某一高度，對(duì)水平方向是沒(méi)有影響的。這是因?yàn)闇y(cè)站點(diǎn)法線不變，則通過(guò)某一照準(zhǔn)點(diǎn)只能有一個(gè)法截面，為此我們?cè)O(shè)A在橢球面上。設(shè)照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面的高程為 分別為A點(diǎn)及B點(diǎn)的法線，B點(diǎn)法線與橢球面的交點(diǎn)為b。因?yàn)橥ǔ?不在同一平面內(nèi)，故在A點(diǎn)照

25、準(zhǔn)B點(diǎn)得出的法截線是Ab/而不是Ab，因而產(chǎn)生了Ab同Ab/方向的差異。按歸算的要求，地面各點(diǎn)都應(yīng)沿自己法線方向投影到橢球面上，即需要的是Ab方向值而不是Ab/方向值，因此需加入標(biāo)高差改正數(shù) 以便將Ab/方向改到Ab方向。 標(biāo)高差改正的計(jì)算公式為 :,,,,,經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn),由上可知，標(biāo)高差改正主要與照準(zhǔn)點(diǎn)的高程有關(guān)。經(jīng)此項(xiàng)改正后，便將地面觀測(cè)的水平方向值歸化為橢球面上相應(yīng)的法截弧方向。,,截面差改正在橢球面上

26、，緯度不同的兩點(diǎn)由于其法線不共面，所以在對(duì)向觀測(cè)時(shí)相對(duì)法截弧不重合，應(yīng)當(dāng)用兩點(diǎn)間的大地線代替相對(duì)法截弧。這樣將法截弧方向化為大地線方向應(yīng)加的改正叫截面差改正。截面差改正計(jì)算公式為 ：,,化簡(jiǎn),,截面差改正主要與測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)間的距離S有關(guān)。,7.6.2將天文方位角歸化為大地方位角---起始方位角,在布設(shè)國(guó)家天文大地網(wǎng)時(shí)，為了控制三角網(wǎng)中方位角傳算誤差的積累，要求在一等三角鎖的兩端和中央，以及二等網(wǎng)的中間等處，都要在起始邊的兩個(gè)端點(diǎn)上，

27、用天文觀測(cè)的方法測(cè)定它們的天文經(jīng)度 、天文緯度 和該邊的天文方位角 。在特種工程測(cè)量控制網(wǎng)中，有時(shí)也有這樣的要求。天文方位角 是以測(cè)站的垂線為依據(jù)的，因此必須將它歸算至橢球面以測(cè)站點(diǎn)相應(yīng)的法線為依據(jù)的大地方位角A，這種歸算又稱(chēng)起始方位角的歸算。將天文方位角歸化為大地方位角的計(jì)算公式是：,,,,,,式中A為測(cè)站點(diǎn)到照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角，α為測(cè)站點(diǎn)處相應(yīng)方向的天文方位角；L為測(cè)站點(diǎn)的大地經(jīng)度； 為垂線偏差改正數(shù)。當(dāng)照準(zhǔn)點(diǎn)

28、目標(biāo)高度不大時(shí)，天頂距Z接近于900時(shí)，可勿略不計(jì)，因此上式可寫(xiě)為：,,,該式又稱(chēng)為拉普拉斯方程式，大地方位角又叫拉普拉斯方位角，在三角點(diǎn)上觀測(cè)天文經(jīng)度、天文緯度時(shí)，該點(diǎn)叫拉普拉斯點(diǎn)。,7.6.3觀測(cè)天頂距受垂線偏差影響的改正用三角高程方法測(cè)定相鄰三角點(diǎn)的大地高差時(shí)，在三角點(diǎn)P1和P2上必須進(jìn)行天頂距的觀測(cè)，設(shè)觀測(cè)值分別為 。但在地面上觀測(cè)天頂距是以垂線為依據(jù)的，而計(jì)算兩點(diǎn)間的大地高差是以法線為依據(jù)，即這時(shí)要用歸化后的

29、天頂距 計(jì)算大地高差，因此對(duì)觀測(cè)天頂距應(yīng)加垂線偏差改正數(shù)。垂線偏差在測(cè)線的分量為,,,,大地天頂距 的計(jì)算公式為,式中A為測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角。利用上式公式計(jì)算出的大地天頂距Z可用于計(jì)算高差，此高差稱(chēng)為大地高差。但三角高程測(cè)量的精度是有限的，若提高其計(jì)算精度，必須設(shè)法克服大氣折光的影響，同時(shí)要在天頂觀測(cè)值中引入垂線偏差改正數(shù)。,,,,7.7將地面觀測(cè)的長(zhǎng)度歸算到橢球面

30、,7.7.1基線尺量距的歸算將基線尺測(cè)量求得的長(zhǎng)度加入尺段傾斜改正后，可認(rèn)為它是基線平均水準(zhǔn)面上的長(zhǎng)度值，用 表示。而我們所求的是橢球面上的大地線的長(zhǎng)度s，因此產(chǎn)生了長(zhǎng)度歸算問(wèn)題。垂線偏差對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響由于垂線偏差的存在，使得垂線和法線不一致，水準(zhǔn)面不平行于橢球面。為此在長(zhǎng)度歸算中應(yīng)首先消除這種影響。假設(shè)垂線偏差沿基線是線性變化的，則垂線偏差u對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響式是：,根據(jù)測(cè)邊使用儀器的不同，地面長(zhǎng)度的歸算可分為兩種：一是基線

31、尺量距的歸算；二是電磁波測(cè)距的歸算，現(xiàn)分別進(jìn)行研究。,,,從式中可以看出，垂線偏差對(duì)基線長(zhǎng)度歸算的影響，主要與垂線偏差分量u及基線端點(diǎn)的大地高差 有關(guān)，其數(shù)值一般比較小，此項(xiàng)改正是否需要應(yīng)結(jié)合測(cè)區(qū)及計(jì)算精度要求的實(shí)際情況進(jìn)行具體分析。,,高程對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響假設(shè)基線兩端點(diǎn)已經(jīng)過(guò)垂線偏差改正，則基線平均水準(zhǔn)面平行于橢球體面。此時(shí)由于水準(zhǔn)面離開(kāi)橢球體面一定距離，也引起長(zhǎng)度歸算的改正。AB為平均高程水準(zhǔn)面上的基線長(zhǎng)度，以

32、 表示，現(xiàn)要計(jì)算其在橢球面上的長(zhǎng)度S，由圖可知,由此得橢球面上的長(zhǎng)度為,,,,式中， 即基線端點(diǎn)平均大地高程；R為基線方向法截線曲率半徑，如果將上式展開(kāi)級(jí)數(shù),取至二次項(xiàng)，則有,,,由此式可得由高程引起的基線歸化改正數(shù)公式,可見(jiàn)此項(xiàng)改正數(shù)主要與基線的平均高程 及長(zhǎng)度有關(guān)。顧及以上兩式，則有地面基線長(zhǎng)度歸算到橢球面上長(zhǎng)度的公式為：,,,,7.7.2電磁波測(cè)距的歸算,我們知道：1) 在橢球面上兩點(diǎn)

33、間大地線長(zhǎng)度與相應(yīng)法截線長(zhǎng)度之差是極微小的，故可忽略不計(jì)，這樣可將兩點(diǎn)間的法截線長(zhǎng)度認(rèn)為是該兩點(diǎn)間的大地線長(zhǎng)度；2) 兩點(diǎn)間的法截線長(zhǎng)度與半徑等于其起始點(diǎn)曲率半徑的圓弧長(zhǎng)相差也很微小(如當(dāng)S=640KM時(shí)，之差等于0.3米；S=200KM時(shí)，之差等于0.005m)。由于工程測(cè)量中邊長(zhǎng)一般為幾公里，最長(zhǎng)也不過(guò)十幾公里，因而，這種差異又可忽略不計(jì)。因此所求的大地線長(zhǎng)度可以認(rèn)為是半徑,上式即為電磁波測(cè)距的歸算公式。式中大地高H由兩項(xiàng)組成：一是

34、正常高，一是高程異常。為保證S的計(jì)算精度不低于 級(jí)，當(dāng)D10KM時(shí)， 必達(dá)1m。大地高H本身的精度應(yīng)達(dá)5m級(jí)，而平均曲率半徑 達(dá)1公里即可?，F(xiàn)對(duì)(7-103)式進(jìn)一步簡(jiǎn)化如下,,相應(yīng)的圓弧長(zhǎng),,,,,式中 。顯然，上式右端第二項(xiàng)是由于控制點(diǎn)之高差引起的傾斜改正的主項(xiàng)。經(jīng)過(guò)此項(xiàng)改正，測(cè)線已變成平距；第三項(xiàng)是由于平均測(cè)線高出參考橢球面而引起的投影改正，經(jīng)過(guò)此項(xiàng)改正后，測(cè)線已變?yōu)橄揖€；第四

35、項(xiàng)則是由弦長(zhǎng)改化為弧長(zhǎng)的改正項(xiàng)。歸算公式也可用下式表達(dá)：式中第一項(xiàng)顯然是經(jīng)高差改化后的平距。我們便得兩點(diǎn)間的弦長(zhǎng)為,,,,,7.8橢球面上三角形的解算,7.8.1用勒讓德?tīng)柖ɡ斫馑闱蛎嫒切螜E球面上的三角形是由大地線組成的，而大地線是一條空間曲線，該曲線上每一點(diǎn)處的曲率半徑各不相同，因此三角形解算就變得十分復(fù)雜了。經(jīng)研究表明：半徑為140KM范圍內(nèi)的橢球面可當(dāng)作球面上的一部分看待，球的半徑可選擇為三個(gè)曲面接觸點(diǎn)的平均曲率半徑。

36、若在半徑為140KM的圓內(nèi)繪一內(nèi)接等邊三角形，則每邊的長(zhǎng)度為240KM。這就是說(shuō)，當(dāng)三角形邊長(zhǎng)小于240KM時(shí)，就可把它當(dāng)作球面三角形解算，兩者對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)相等，對(duì)應(yīng)角之差小于0.001//。國(guó)家一等三角形的平均邊長(zhǎng)在25KM左右，所以將其當(dāng)作球面三角形來(lái)解算精度完全可以保證。勒讓德?tīng)柖ɡ?如果平面三角形和球面三角形對(duì)應(yīng)邊相等，則平面角等于對(duì)應(yīng)球面角減去三分之一球面角超。,但它們的角度與球面三角形的對(duì)應(yīng)角度有如下關(guān)系：,,,,即如果球

37、面三角形的各角減去三分之一球面角超，就可得到一個(gè)對(duì)應(yīng)邊相等的平面三角形，從而達(dá)到解算球面三角形的目的。,7.8.2球面角超計(jì)算,,F為平面三角形的面積。,7.9大地主題解算的高斯平均引數(shù)公式,7.9.1大地主題解算的一般概念 橢球面上點(diǎn)的大地經(jīng)度L、大地緯度B、兩點(diǎn)間的大地線長(zhǎng)度S及其正、反大地方位角 ，通稱(chēng)為大地元素。如果知道某些大地元素推求另一些大地元素，這樣的問(wèn)題就叫大地主題解算（有正算和反算）。,,如圖所示

38、，已知P1點(diǎn)的大地坐標(biāo)（ ），P1至P2點(diǎn)的大地線長(zhǎng)S及其大地方位角 ，計(jì)算P2點(diǎn)的大地坐標(biāo)（ ）和大地線S在P2點(diǎn)的反方位角 ，這類(lèi)問(wèn)題叫做大地主題正解。如果已知P1和P2點(diǎn)的大地坐標(biāo)（ ）和（ ），計(jì)算P1至P2點(diǎn)的大地線長(zhǎng)S及其正、反大地方位角 和 ，這類(lèi)問(wèn)題叫做大地主題反解。,,,,,,,,,大地主題正解和反解（大地測(cè)量主題），從解析意義來(lái)講，就是研究大地極坐標(biāo)與

39、大地坐標(biāo)間的相互變換。,大地測(cè)量主題的用途：天文大地測(cè)量中計(jì)算一等點(diǎn)的經(jīng)緯度；空間技術(shù)和航空、航海、國(guó)防等科學(xué)技術(shù)。大地測(cè)量主題分類(lèi)：①以解算距離分為-----短距離（400KM以?xún)?nèi)）、中距離（400--1000KM）、長(zhǎng)距離（1000KM以上）；②以解算方法分為-----直接解法和間接解法兩種。,直接解法的基本思想：直接解算極三角形P1NP2，如正算問(wèn)題時(shí)，已知數(shù)據(jù)是邊長(zhǎng)S、 及角 ，由三角形解算可得到另外的元素

40、 ，進(jìn)而直接求出未知端點(diǎn)的經(jīng)緯度與方位角,,,,,常用的方法是白塞爾(Bessel)法。,間接解法的基本思想：利用橢球面上的大地線微分方程，解出經(jīng)緯度差 以及方位角之差 （不是直接求出未知端點(diǎn)的經(jīng)緯度與方位角）,,,,,,再求出未知量,常用的方法為高斯平均引數(shù)公式。一百多所來(lái)，許多測(cè)量學(xué)者提出了種類(lèi)繁多的解算公式和方法（70余種），本節(jié)只介紹大地主題解算的典型公式——高斯平均引數(shù)公式。,,,,7.

41、9.2勒讓德?tīng)柤?jí)數(shù)式,1806年法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德?tīng)枺↙egendre）提出。在過(guò)已知點(diǎn) 且在該點(diǎn)處大地方位角為 的大地線S上，任意一點(diǎn) 的大地坐標(biāo) 及其方位角 必是大地線長(zhǎng)度S的函數(shù)，,,,,,,,,,則得出勒讓德?tīng)柤?jí)數(shù)式如下：,,,,,勒讓德?tīng)柤?jí)數(shù)是大地主題正算的一組基本公式，僅適用于邊長(zhǎng)短于30公里的情況。因?yàn)檫呴L(zhǎng)較長(zhǎng)的話級(jí)數(shù)收斂很慢，且計(jì)

42、算工作復(fù)雜。后來(lái)博爾茨(H.Boltz)對(duì)級(jí)數(shù)中u、v及它們各次冪之積的系數(shù)作了改化，并編制了計(jì)算作表，使勒讓德?tīng)柤?jí)數(shù)成為手算實(shí)用公式。為解算大地主題，高斯于1846年對(duì)勒讓德?tīng)柤?jí)數(shù)也進(jìn)行了改化，提出了以大地線兩端點(diǎn)平均緯度及平均方位角為依據(jù)的高斯平均引數(shù)公式，它具有級(jí)數(shù)收斂快、公式項(xiàng)數(shù)少、精度高、計(jì)算較為簡(jiǎn)便、使用范圍廣等優(yōu)點(diǎn)。,,,7.9.3高斯平均引數(shù)正算公式,推導(dǎo)的基本思想：首先把勒讓德?tīng)柤?jí)數(shù)在P1點(diǎn)展開(kāi)改在大地線長(zhǎng)度中點(diǎn)M展開(kāi)

43、，以使級(jí)數(shù)公式項(xiàng)數(shù)減少、收斂快、精度高；其次考慮到求定中點(diǎn)M的復(fù)雜性，將M點(diǎn)用大地線兩端點(diǎn)平均緯度及平均方位角相對(duì)應(yīng)的m點(diǎn)來(lái)代替，并借助迭代計(jì)算，便可順利地實(shí)現(xiàn)大地主題正解。,經(jīng)整理得高斯平均引數(shù)正算公式,,,,,以上三式保證了四次項(xiàng)的精度，可解算120公里主題問(wèn)題。當(dāng)距離小于70公里時(shí)，上述各式中的 項(xiàng)可略去，若設(shè)主項(xiàng),,,,,,,簡(jiǎn)化公式,,高斯平均引數(shù)公式，結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單、精度較高。從公式可知,欲求

44、 ，必先有 。但由于 未知，故精確值尚不知，為此須用逐次趨近的迭代方法進(jìn)行公式的計(jì)算。一般主項(xiàng)趨近3次，改正項(xiàng)趨近1～2次就可滿(mǎn)足要求。,,,,,,7.9.4高斯平均引數(shù)反算公式,大地主題反算是已知兩端點(diǎn)的經(jīng)、緯度 ，反求兩點(diǎn)間的大地線長(zhǎng)度S及正、反大地方位角 。這時(shí)由于經(jīng)差 、緯差 及平均緯度 均為已知，故可依正算公式很容易導(dǎo)出反算公式。,,,,,