芝諾悖論

1、第七講 數(shù)學(xué)文化,目錄,一、概論二、數(shù)學(xué)美學(xué)三、數(shù)學(xué)思維四、數(shù)學(xué)哲學(xué)五、數(shù)學(xué)科學(xué)價(jià)值六、數(shù)學(xué)魅力七、數(shù)學(xué)史上的3次危機(jī)八、結(jié)語(yǔ),一、 概論 什么是數(shù)學(xué) （美）R·柯朗（《數(shù)學(xué)是什么》）：“數(shù)學(xué)，作為人類(lèi)智慧的一種表達(dá)形式，反映生動(dòng)活潑的意念，深入細(xì)致的思考，以及完美和諧的愿望，它的基礎(chǔ)是邏輯和直覺(jué)，分析和推理，共性和個(gè)性。”,（英）羅素：“數(shù)學(xué)是所有形如p蘊(yùn)含q的命

2、題的類(lèi)”， 而最前面的命題p是否對(duì)，卻無(wú)法判斷。 因此“數(shù)學(xué)是我們永遠(yuǎn)不知道我們?cè)谡f(shuō)什么，也不知道我們說(shuō)的是否對(duì)的一門(mén)學(xué)科。”,哲學(xué)說(shuō)符號(hào)說(shuō)　科學(xué)說(shuō)　工具說(shuō)　邏輯說(shuō)　創(chuàng)新說(shuō)　直覺(jué)說(shuō) 集合說(shuō),結(jié)構(gòu)說(shuō)（關(guān)系說(shuō)） 模型說(shuō) 活動(dòng)說(shuō) 精神說(shuō) 審美說(shuō) 藝術(shù)說(shuō)　萬(wàn)物皆數(shù)說(shuō),數(shù)學(xué)的15個(gè)“定義”,哲學(xué)說(shuō),亞里士多德：“新的思想家把數(shù)學(xué)和哲學(xué)看作是相同的。” 古希臘，亞里士多德、歐幾里得 等人，《

3、幾何原本》：點(diǎn)是沒(méi)有部分的那種東西； 線是沒(méi)有寬度的長(zhǎng)度。 牛頓在《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》的序言中說(shuō)，他是把這本書(shū)“作為哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理的著作”，“在哲學(xué)范圍內(nèi)盡量把數(shù)學(xué)問(wèn)題呈現(xiàn)出來(lái)”。,數(shù)學(xué)與哲學(xué) 數(shù)學(xué)中“無(wú)限”的概念、“連續(xù)”的概念，一經(jīng)出現(xiàn)，便成了哲學(xué)研究的對(duì)象。 “哲學(xué)從一門(mén)學(xué)科中退出， 意味著這門(mén)學(xué)科的建立；而數(shù)學(xué)進(jìn)入一門(mén)學(xué)科，就意味著這門(mén)學(xué)科的成熟

4、?！?B.Demollins:“沒(méi)有數(shù)學(xué)，我們無(wú)法看透哲學(xué)的深度，沒(méi)有哲學(xué)，人們也無(wú)法看透數(shù)學(xué)的深度，而若沒(méi)有兩者，人們就什么也看不透?！?哲學(xué)系的“邏輯學(xué)”專(zhuān)業(yè)與數(shù)學(xué)系的“數(shù)理邏輯”專(zhuān)業(yè)。,二、 數(shù)學(xué)美學(xué),（一）黃金分割點(diǎn)、完美數(shù)、mersen數(shù)、素?cái)?shù)，無(wú)限數(shù)e與圓周率。 （二）斐波那契數(shù)列（三）對(duì)稱幾何：點(diǎn)對(duì)稱、線對(duì)稱、面對(duì)稱、球?qū)ΨQ。球面被認(rèn)為最完美！古希臘對(duì)圓和球面的

5、美的最求促進(jìn)了科學(xué)研究的發(fā)展。 代數(shù)與函數(shù)論：共軛數(shù)（共軛復(fù)數(shù)、共軛空間）。運(yùn)算：交換律、分配律，函數(shù)與反函數(shù)運(yùn)算。,（四）符號(hào)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔牛頓用數(shù)學(xué)語(yǔ)言展示了他的三大定律；愛(ài)因斯坦用黎曼幾何的語(yǔ)言闡述了他的廣義相對(duì)論；數(shù)學(xué)家用群論的語(yǔ)言解決了晶體分類(lèi)的問(wèn)題；經(jīng)濟(jì)學(xué)家用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述了經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的規(guī)律。物理中的布朗運(yùn)動(dòng)成為概率論中的語(yǔ)言，生物中的遺傳基因DNA，原來(lái)是數(shù)學(xué)中的雙螺旋線，醫(yī)學(xué)上已經(jīng)出現(xiàn)“數(shù)字化人體”的概念。,數(shù)學(xué)

6、語(yǔ)言是人類(lèi)文明的共同語(yǔ)言 地球上不同地域的人們?cè)诓煌瑫r(shí)間各自獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了“圓周長(zhǎng)與直徑的比是一個(gè)常數(shù)”， “直角三角形斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和”等規(guī)律，數(shù)學(xué)語(yǔ)言超越不同語(yǔ)音成為人類(lèi)文明人類(lèi)思維的共同的符合語(yǔ)言。,“ε—δ”語(yǔ)言、集合論語(yǔ)言、公理化語(yǔ)言,“ε—δ”語(yǔ)言、集合論語(yǔ)言、公理化語(yǔ)言都是在不同歷史時(shí)期產(chǎn)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，他們?cè)跀?shù)學(xué)發(fā)展史上都發(fā)揮了很大的作用。特別是集合論語(yǔ)言、公理化語(yǔ)言，現(xiàn)在已經(jīng)

7、成為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的核心部分和公用形式。,,三、數(shù)學(xué)思維 數(shù)學(xué)能提供觀察世界的一般觀念和方法，對(duì)人類(lèi)思維發(fā)展具有不可或缺的作用和價(jià)值。,,邏輯思維：演繹 當(dāng)歸納具有完全性時(shí)，其方法可以說(shuō)屬于邏輯的范疇了。邏輯思維的代表之一是演繹思維。 演繹思維最早來(lái)自幾何學(xué)，其影響之廣泛使得人們特別看重演繹科學(xué)的地位。 數(shù)學(xué)有極強(qiáng)的邏輯性和抽象性。,數(shù)學(xué)家在從事數(shù)學(xué)研究的同時(shí)，受一定哲學(xué)

8、觀念的支配，同時(shí)，研究成果也影響著他們的世界觀。畢達(dá)格拉斯、伽利略、笛卡兒、開(kāi)普勒認(rèn)為世界是數(shù)的體現(xiàn)，世界是按數(shù)學(xué)公式運(yùn)行的，宇宙的書(shū)本是按數(shù)學(xué)寫(xiě)成的。數(shù)與世界密不可分。許多數(shù)學(xué)家都是哲學(xué)家。,四、數(shù)學(xué)與哲學(xué),（一） 有限與無(wú)限數(shù)學(xué)概念的哲學(xué)思想 什么是悖論 悖論：從“正確”的前提出發(fā)，經(jīng)過(guò)“正確”的邏輯推理，得出荒謬的結(jié)論。 例如：“甲是乙”與“甲不是乙”這兩個(gè)命題中總有一個(gè)是

9、錯(cuò)的；但“本句話是七個(gè)字”與“本句話不是七個(gè)字”又均是對(duì)的，這就是悖論。,再如：“萬(wàn)物皆數(shù)”學(xué)說(shuō)認(rèn)為“任何數(shù)都可表為整數(shù)的比”；但以1為邊的正方形的對(duì)角線之長(zhǎng)卻不能表為整數(shù)的比，這也是悖論。,芝諾悖論 芝諾（前490？—前430？）是（南意大利的）愛(ài)利亞學(xué)派創(chuàng)始人巴門(mén)尼德的學(xué)生。他企圖證明該學(xué)派的學(xué)說(shuō)：“多”和“變”是虛幻的，不可分的“一”及“靜止的存在”才是唯一真實(shí)的；運(yùn)動(dòng)只是假象。于是他設(shè)計(jì)了四個(gè)例證，人稱“芝諾悖論

10、”。這些悖論是從哲學(xué)角度提出的。我們從數(shù)學(xué)角度看其中的一個(gè)悖論。,四個(gè)芝諾悖論之一： 阿基里斯追不上烏龜。 癥結(jié)： 無(wú)限段長(zhǎng)度或時(shí)間的和，可能是有限的。 芝諾悖論的意義： 促進(jìn)了嚴(yán)格、求證數(shù)學(xué)的發(fā)展 較早的“反證法”及“無(wú)限”的思想 尖銳地提出離散與連續(xù)的矛盾

11、 空間和時(shí)間有沒(méi)有最小的單位,芝諾的前兩個(gè)悖論是反對(duì)“空間和時(shí)間是連續(xù)的”，后兩個(gè)悖論則是反對(duì)“空間和時(shí)間是離散的”。在芝諾看來(lái)，這兩種理論都有毛病；所以，“運(yùn)動(dòng)只是假象，不動(dòng)不變才是真實(shí)”。 芝諾如此尖銳地提出了空間和時(shí)間是連續(xù)還是離散的問(wèn)題，引起人們長(zhǎng)期的討論，促進(jìn)了認(rèn)識(shí)的發(fā)展，不能不說(shuō)是巨大的貢獻(xiàn)。,無(wú)限與有限： 在無(wú)限集中，“部分可以等于全體”（這是無(wú)限的本質(zhì)）。 在有限的情況下，部分

12、總是小于全體。,當(dāng)初的伽利略悖論，就是因?yàn)闆](méi)有看到 “無(wú)限”的這一個(gè)特點(diǎn)而產(chǎn)生的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n … ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

13、 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 … n2 … [ 該兩集合：有一一對(duì)應(yīng)，于是推出兩集合的元素個(gè)數(shù)相等；但由“部分小于全體”，又推出兩集合的元素個(gè)數(shù)不相等。這就形成悖論。],在“有限”與“無(wú)限”間建立聯(lián)系： 數(shù)學(xué)歸納法 通過(guò)有限的步驟，證明了命題對(duì)無(wú)限個(gè)自然數(shù)均成立。 極限 通過(guò)有限的方法，描寫(xiě)無(wú)限的過(guò)程。

14、,,,,,,無(wú)窮級(jí)數(shù) 通過(guò)有限的步驟，求出無(wú)限次運(yùn)算的結(jié)果，如 遞推公式 , a1 = * 因子鏈條件（抽象代數(shù)中的術(shù)語(yǔ)）,,,意識(shí)無(wú)限與實(shí)無(wú)限 1．意識(shí)無(wú)限與實(shí)無(wú)限 意識(shí)無(wú)限把無(wú)限看成一個(gè)永無(wú)終止的過(guò)程，認(rèn)為無(wú)限只存在于人們的思維中。,從古希臘到康托以前的大多數(shù)哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家都持這種無(wú)限的觀點(diǎn)。他們認(rèn)為“正

15、整數(shù)集是無(wú)限的”來(lái)自我們不能窮舉所有正整數(shù)。例如，可以想象一個(gè)個(gè)正整數(shù)寫(xiě)在一張張小紙條上，從1，2，3，…寫(xiě)起，每寫(xiě)一張，就把該紙條裝進(jìn)一個(gè)大袋子里，那么，這一過(guò)程將永無(wú)終止。 因此，把全體正整數(shù)的袋子看作一個(gè)實(shí)體是不可能的，它只能存在于人們的思維里。,但康托不同意這一觀點(diǎn)，他很愿意把這個(gè)裝有所有正整數(shù)的袋子看作一個(gè)完整的實(shí)體。這就是實(shí)無(wú)限的觀點(diǎn)。 康托的工作是劃時(shí)代的，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響，但當(dāng)時(shí)，康托的老

16、師克羅內(nèi)克爾，卻激烈反對(duì)康托的觀點(diǎn)。所以康托當(dāng)時(shí)的處境和待遇都不太好。,康托Georg Ferdinand Philip Cantor (1845～1918) 德國(guó)數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17歲時(shí)入瑞士蘇黎世大學(xué),翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué),主修數(shù)學(xué)，從學(xué)于E.E.庫(kù)默爾、K.（T.W.）外爾斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克。1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年

17、在庫(kù)默爾指導(dǎo)下以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位。1869年在哈雷大學(xué)通過(guò)講師資格考試，后即在該大學(xué)任講師，1872年任副教授，1879年任教授。,無(wú)限集合也有“大小” ——從“一一對(duì)應(yīng)”說(shuō)起 實(shí)無(wú)限的觀點(diǎn)讓我們知道，同樣是無(wú)限集合，也可能有不同的“大小”。 正整數(shù)集合是最“小”的無(wú)限集合。 實(shí)數(shù)集合比正整數(shù)集“大”。實(shí)數(shù)

18、集合上全體連續(xù)函數(shù)的集合又比實(shí)數(shù)集合更大。 不存在最“大”的無(wú)限集合（即對(duì)于任何無(wú)限集合，都能找到更“大”的無(wú)限集合）。,“一一對(duì)應(yīng)”的觀點(diǎn)： “一一對(duì)應(yīng)”——雙射（單射+滿射） 集合的勢(shì)|A|——集合中元素的多少 |N| =可數(shù)無(wú)窮勢(shì) a ， |Q|= a |R| =不可數(shù)無(wú)窮（稱連續(xù)統(tǒng)勢(shì) c）, ：無(wú)理數(shù)比有理

19、數(shù)多得多。,無(wú)窮集合可能有不同的勢(shì)，其中最小的勢(shì)是 a ；不存在最大的勢(shì)。 “連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”長(zhǎng)期未徹底解決。 康托1882年曾認(rèn)為他證明了這一假設(shè)，后來(lái)發(fā)現(xiàn)證明有錯(cuò)。 直到現(xiàn)在，這一問(wèn)題仍吸引著一些數(shù)學(xué)家的興趣。,,（二）數(shù)學(xué)與宗教,1.科學(xué)與宗教 愛(ài)因斯坦：“沒(méi)有宗教的科學(xué)是瘸子，沒(méi)有科學(xué)的宗教是瞎子?！?,中世紀(jì)后期（公元11世紀(jì)至15世紀(jì)） 理性成為基

20、督神學(xué)的主要支柱，其標(biāo)志就是在11世紀(jì)產(chǎn)生的 “經(jīng)院哲學(xué)” 。 經(jīng)院哲學(xué)是與宗教神學(xué)相結(jié)合的唯心主義哲學(xué)，是天主教教會(huì)用來(lái)訓(xùn)練神職人員，在其所設(shè)經(jīng)院中教授的理論。 安瑟倫（經(jīng)院哲學(xué)的開(kāi)創(chuàng)者）：邏輯三段論、演繹推理 托馬斯.阿奎那（經(jīng)院哲學(xué)的集大成者）：歸納推理 經(jīng)院哲學(xué)運(yùn)用理性形式通過(guò)抽象而煩瑣的辯證方法論證基督教信仰 。他們的論證引出了科

21、學(xué)論證的風(fēng)氣。雖然比較枯燥和晦澀，但客觀上導(dǎo)致了一種方法論。,,文藝復(fù)興時(shí)期（ 17世紀(jì) ） 幾乎17世紀(jì)的科學(xué)家都是自然神論者，沒(méi)有一個(gè)不信奉上帝。 自然神論：上帝是最大的理性，是規(guī)律；大自然是上帝的杰作，體現(xiàn)了上帝的偉大神性，我們認(rèn)識(shí)自然的規(guī)律與和諧性就是對(duì)上帝的信仰和膜拜。牛頓定律掌管世界的運(yùn)行。 自然神論的意義：為科學(xué)爭(zhēng)得一席之地，科學(xué)不再需要宗教的指手畫(huà)腳，

22、只需承認(rèn)世界由上帝創(chuàng)造即可。,,18世紀(jì)法國(guó)崛起的無(wú)神論者徹底把上帝從自然界趕了出去，他們認(rèn)為不存在超理性的東西，無(wú)須在自然界尋求奇跡和奧秘。 他們只要自然，不要上帝，把一切都拉入理性的旗幟下面，理性成為萬(wàn)能的。,,康德把科學(xué)與宗教截然分開(kāi)。一方面：科學(xué)屬于人類(lèi)經(jīng)驗(yàn)范圍，而宗教是超經(jīng)驗(yàn)的。如果我們僭越自身的經(jīng)驗(yàn)去追求不在經(jīng)驗(yàn)范圍內(nèi)的上帝，只會(huì)導(dǎo)致二律背反，這樣康德就徹底而系統(tǒng)地把上帝從自然中驅(qū)逐出去。另一

23、方面：在另外一個(gè)靈魂不朽的世界里，上帝會(huì)按照每個(gè)人的德行對(duì)其進(jìn)行審判。只有這樣才能使科學(xué)不斷的發(fā)展，而同時(shí)社會(huì)的道德水平又可以保持在一個(gè)較高的狀態(tài)。即，宗教可以給人提供道德，而道德將給科學(xué)指明方向。（醫(yī)學(xué)倫理學(xué)、生命倫理學(xué)、環(huán)境倫理學(xué)、宇宙?zhèn)惱韺W(xué)等）,2.中世紀(jì)的數(shù)學(xué),占星術(shù)：中世紀(jì)的早期，數(shù)學(xué)這個(gè)名詞所表示的意義就是占星術(shù)。這是由于想要研究星球的運(yùn)轉(zhuǎn)，豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)是必需的，因此，占星術(shù)的教授就叫做Mathemathici

24、i。 中世紀(jì)的占星術(shù)并沒(méi)有被認(rèn)為是愚蠢及天真的人所沉溺的迷信，相反地，它被認(rèn)為是一種科學(xué)。而且其原理被接受的程度，就如同后來(lái)人們接受哥白尼的天文學(xué)及十九世紀(jì)的萬(wàn)有引力定律一般。培根、卡丹以及開(kāi)普勒也贊同占星術(shù)的理論，同時(shí)用他們豐富的科學(xué)及數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)研究它。甚至伽利略也曾對(duì)醫(yī)學(xué)院的學(xué)生演講天文方面的知識(shí)，以供他們應(yīng)用在占星術(shù)上。,,數(shù)學(xué)與基督教會(huì)之間的關(guān)系 一方面：教會(huì)在編制歷法，特別是在推算

25、復(fù)活節(jié)的日期時(shí)，占星術(shù)、幾何學(xué)以及算學(xué)的知識(shí)是非常重要的。所以在歐洲的每一所修道院內(nèi)，都至少有一位修道士能夠執(zhí)行這項(xiàng)工作。 另一方面：數(shù)學(xué)可用來(lái)當(dāng)作研究神學(xué)的入門(mén)。這是由于在中世紀(jì)后期，從阿拉伯傳入大量被翻譯成拉丁文的希臘抄本，特別是亞里士多德的學(xué)說(shuō)和邏輯，更是為當(dāng)時(shí)人所熟知。因此教會(huì)必須面臨的挑戰(zhàn)就是如何去調(diào)和亞里士多德哲學(xué)和天主教的神學(xué)、形而上學(xué)和啟示錄之間的一致性。此時(shí)以阿奎那為代表的經(jīng)院派學(xué)者對(duì)這些

26、基督教義作出了全然理性的護(hù)衛(wèi)，為神學(xué)提供了一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)，并且融合了天主教義和亞里士多德的哲學(xué)而成為一個(gè)合理的體系，從而為阿奎那贏得了“精神上的歐幾里得”的頭銜。,,印度人:應(yīng)用巴比倫人的位值原理，建立了十進(jìn)位的觀念，并且將巴比倫的分開(kāi)符號(hào)轉(zhuǎn)變成發(fā)展完備的零記號(hào)。據(jù)歷史記載，印度人最先完整地創(chuàng)造了一種非常重要的新概念，那就是負(fù)數(shù)的概念。阿拉伯人:在數(shù)學(xué)上突出成就，主要表現(xiàn)在代數(shù)學(xué)、三角學(xué)方面。更為重要的是，阿拉伯人

27、將古代東方數(shù)學(xué)文化傳播到了歐州，從而為歐洲近代代數(shù)學(xué)的建立作出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。,,《幾何原本》與《圣經(jīng)》 《幾何原本》和《圣經(jīng)》，一個(gè)是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的杰作，一個(gè)是基督教典籍；一個(gè)是嚴(yán)謹(jǐn)精確的，另一個(gè)又是超越理性的。 這兩本書(shū)在結(jié)構(gòu)和根基上以及對(duì)人類(lèi)文明的貢獻(xiàn)上都有著許多相似之處。 直到現(xiàn)在還有很多人由于對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)不了解，以為數(shù)學(xué)是個(gè)奧秘；同樣的，《圣經(jīng)》中的神

28、圣啟示對(duì)于很多人甚至基督徒也是個(gè)深不可測(cè)的奧秘。但是一旦接受開(kāi)啟，這個(gè)奧秘就可以成為人們真實(shí)的經(jīng)歷和享受。,,《幾何原本》是古希臘偉大學(xué)者歐幾里得的一部不朽之作，集整個(gè)古希臘數(shù)學(xué)的成果和精神于一書(shū)。既是一本數(shù)學(xué)巨著，也是一本哲學(xué)巨著，在長(zhǎng)達(dá)兩千多年的時(shí)間里它經(jīng)歷多次翻譯和修訂，自1482年第一個(gè)印刷版本出版，至今已經(jīng)有1000多種不同的版本。除《圣經(jīng)》以外沒(méi)有任何其他著作，其研究、使用和傳播之廣泛能夠與《幾何原本》相比?！?/p>

29、圣經(jīng)》更是一部不朽的著作，歷經(jīng)3400年而不衰（《圣經(jīng)》中最古老的經(jīng)卷約成書(shū)于公元前1400年左右），其包含內(nèi)容之豐富，發(fā)行量之大是任何其他一本著作無(wú)法比擬的。據(jù)統(tǒng)計(jì)1984年共有1634種語(yǔ)言的《圣經(jīng)》譯本已經(jīng)完成，另有1200多種語(yǔ)言在翻譯之中。,,歐幾里得選擇了5條公設(shè)和5條定理，從這些有限的公設(shè)、公理以及最基本的一些定義出發(fā)，以形式邏輯的方法通過(guò)完美、嚴(yán)密的推理、演繹來(lái)論證命題，推演出整個(gè)幾何學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。

30、 《圣經(jīng)》做為基督教神學(xué)系統(tǒng)的唯一一部典籍也有自己的信仰基石或者說(shuō)不證自明的公理，那就是：圣父上帝是宇宙的創(chuàng)造者，死而復(fù)活的圣子耶穌是人類(lèi)的拯救者，圣靈是居住在每一位被造者心中的啟示者，圣父、圣子、圣靈是三位一體的獨(dú)一真神?；叫叛稣哒怯捎跓o(wú)條件接受了這樣的信仰基石，才會(huì)將自己的生命完全的交由上帝來(lái)掌管，遵循《圣經(jīng)》所教導(dǎo)的誡命、律例和典章。,,數(shù)學(xué)的神學(xué)使命 《圣經(jīng)》宣稱宇宙是由上帝創(chuàng)造的，但是沒(méi)有記載

31、他是按照什么法則創(chuàng)造出了如此完美和諧的宇宙，《圣經(jīng)》只是告訴人們上帝在完成了這一切工作之后就將管理世界的任務(wù)交給了人類(lèi)。 而研究始于3000年前的數(shù)學(xué)就是探索空間理性的學(xué)科，是探索上帝存在的學(xué)科，是想找到宇宙“本基”的學(xué)科，是為了研究上帝的本性和做法以及上帝安排宇宙的方案的學(xué)科。文藝復(fù)興時(shí)期的科學(xué)家都相信由上帝所創(chuàng)造的自然是數(shù)學(xué)化的，每一種自然現(xiàn)象都遵從數(shù)學(xué)定律。,,物理世界的性質(zhì)只有用數(shù)學(xué)表示出來(lái)才是真正可知的

32、。世界的結(jié)構(gòu)和行為是數(shù)學(xué)的，自然界按照亙古不變的十分精確的數(shù)學(xué)定律在運(yùn)行。因此，上帝按照和諧的數(shù)學(xué)定律設(shè)計(jì)、創(chuàng)造了這個(gè)世界。人們只有通過(guò)艱苦的努力才能理解、領(lǐng)悟這種 秩序。這也就是為什么牛頓能夠?qū)ζD巨的、有時(shí)甚至是乏味的科學(xué)工作津津樂(lè)道，其原因就在于他認(rèn)為這些工作為揭示上帝的旨意提供了線索。18世紀(jì)末期英國(guó)浪漫主義先驅(qū)威廉·布萊克在他的油畫(huà)《創(chuàng)造者》中，就將上帝描繪為手拿圓規(guī)測(cè)量天地的巨人。,,羅吉爾.培根:

33、大自然是用幾何語(yǔ)言寫(xiě)成的。 笛卡爾：深信整個(gè)自然界就是一個(gè)巨大的幾何體系。 開(kāi)普勒：宣稱世界的實(shí)在性由其數(shù)學(xué)關(guān)系構(gòu)成。 伽利略：數(shù)學(xué)定律是現(xiàn)象的真正起因，數(shù)學(xué)原理是上帝描繪整個(gè)世界的字母，沒(méi)有數(shù)學(xué)原理的幫助，就不可能了解任何一個(gè)現(xiàn)象，人們只能徒勞地在黑暗的迷宮中徘徊。,,神秘的圣經(jīng)數(shù)字153三角數(shù)字：可以排列成如下圖形的數(shù)字

34、 ○ 1 ○ 1 ○ ○ 2

35、○ 1 ○ ○ 2 ○ ○ ○ 3 ○ ＋1 ○ ○ ＋2 ○ ○ ○ ＋3 ○ ○ ○ ○ ＋4 1 3 6

36、 10三角數(shù)字并非尋常。當(dāng)數(shù)目增大時(shí)，這些特別的數(shù)字就變得極為缺少。例如：在兩百萬(wàn)，即 個(gè)自然數(shù)內(nèi)，其中的三角數(shù)還不到 個(gè)，平均只占千分之一。由等差數(shù)列求和公式可知，第 個(gè)三角數(shù)即為 。,,,,,,153的神奇性質(zhì) （三角數(shù)）

37、任取一個(gè)是3的倍數(shù)的自然數(shù)，然后進(jìn)行如下變換：把該自然數(shù)所包含的各位數(shù)字的立方相加，其和再作為變換后的新數(shù)字。反復(fù)進(jìn)行上述變換，經(jīng)過(guò)有限次以后，結(jié)果必然到達(dá)153。例如： 對(duì)24進(jìn)行變換，過(guò)程是：24→72→351→153。 對(duì)123進(jìn)行變換，過(guò)程是： 123→36→243→99→1458→702→351→153,,,,,自我生成數(shù)自我生成數(shù)：任意一個(gè)具有某種性質(zhì)的整數(shù)將它各

38、位上的數(shù)字，如果按照一定規(guī)則對(duì)其進(jìn)行數(shù)次變換，最后落在一個(gè)不變的數(shù)上，這個(gè)不變的數(shù)就被稱作“自我生成數(shù)”，或者叫“自戀數(shù)”。因此，規(guī)則決定了什么樣的數(shù)是一個(gè)自我生成數(shù)。例如：任寫(xiě)一個(gè)數(shù)字不相同的三位數(shù)(數(shù)字相同的111、222、333、……999除外)，將組成這個(gè)數(shù)的三個(gè)數(shù)字重新組合，使它成為由這三個(gè)數(shù)組成的最大數(shù)和最小數(shù)，而后求出這新組成的兩個(gè)數(shù)的差，再對(duì)求得的差重復(fù)上述過(guò)程，最后得到的的自我生成數(shù)是495。,,“圣經(jīng)

39、數(shù)”153的神學(xué)涵義公元5世紀(jì)亞歷山大主教西利爾（Cyril）153＝100＋50＋3，其中100代表外邦人的完全數(shù)，50代表將被聚集的以色列余民，3代表三位一體的真神。      5世紀(jì)前后神學(xué)家?jiàn)W古斯丁由于153＝1＋2＋3＋……＋17；而17＝10＋7，其中10代表（摩西）十誡，7代表恩典，所以17代表借著律法和恩典到耶穌跟前來(lái)的所有人。  &#

40、160;   公元4世紀(jì)偉大圣經(jīng)學(xué)者耶柔米象征萬(wàn)國(guó)萬(wàn)民都要在基督面前聚集。 當(dāng)代圣經(jīng)學(xué)者巴克萊153說(shuō)明了教會(huì)的普世性。所謂“普世性”，簡(jiǎn)單地講就是教會(huì)不僅僅是教徒的教會(huì)，而應(yīng)該是全人類(lèi)的教會(huì)。,圣經(jīng)故事中的“親和數(shù)對(duì)”與“半親和數(shù)對(duì)”,親和數(shù)對(duì)：兩個(gè)數(shù)被稱為親和數(shù)對(duì)，如果其中任意一個(gè)數(shù)的所有約數(shù)之和等于另外一個(gè)數(shù)。如圖，220和284是一對(duì)親和數(shù)。,,“萬(wàn)物皆數(shù)”是古希臘“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”的重要思想，該

41、學(xué)派宣稱人之間講友誼，數(shù)之間也有“相親相愛(ài)”。據(jù)說(shuō)，一個(gè)門(mén)徒向畢達(dá)哥拉斯提出這樣一個(gè)問(wèn)題：“我結(jié)交朋友時(shí)，存在著數(shù)的作用嗎？”畢達(dá)哥拉斯毫不猶豫地回答：“朋友是你的靈魂的倩影，就是你中有我、我中有你，要象220和284一樣親密?！?后來(lái)，人們把220和284叫做“親和數(shù)”或者叫“朋友數(shù)”或叫“相親數(shù)”，這就是關(guān)于“親和數(shù)”這個(gè)名稱來(lái)源的傳說(shuō)。正是由于親和數(shù)對(duì)這種“你中有我，我中有你，水乳交融”的特殊性質(zhì)，教會(huì)初期的幾百

42、年間有一個(gè)習(xí)慣：就是為了表達(dá)兩個(gè)人的友誼，每人各佩戴220和284這兩個(gè)數(shù)字中的一個(gè)。,五、數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值 （一）數(shù)學(xué)對(duì)人類(lèi)文明的貢獻(xiàn),萬(wàn)有引力定律?；陂_(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)的三大定律，牛頓發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律。他把其最重要的著作命名為《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，是因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)新宇宙的思維方式是數(shù)學(xué)的思維方式。在這本書(shū)中，牛頓用了大量“微積分”的知識(shí)和非常復(fù)雜的幾何知識(shí)與技巧。,“,相對(duì)論。愛(ài)因斯坦分別于1905年和1915年提出

43、狹義相對(duì)論，廣義相對(duì)論，這是對(duì)物理學(xué)的重大變革，其核心內(nèi)容是時(shí)空觀的改變。愛(ài)因斯坦的時(shí)空觀認(rèn)為時(shí)間和空間是相互聯(lián)系的。四維空間的洛侖茲變換是這種數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式。,,電磁波的發(fā)現(xiàn)。英國(guó)物理學(xué)家麥克 斯韋概括了由實(shí)驗(yàn)建立起來(lái)的電磁 現(xiàn)象規(guī)律，把這些規(guī)律表述為“方程 的形式”，用純粹數(shù)學(xué)的方法推導(dǎo)出 可能存在著電磁波并且這些電磁波 應(yīng)該以光速傳播者。據(jù)此，他提出 了光的電磁理論。

44、此外，他的結(jié)論 還推動(dòng)了人們?nèi)ふ壹冸娖鹪吹碾?磁波。,,最近，兩位美國(guó)數(shù)學(xué)家解開(kāi)了一個(gè)困擾科學(xué)界長(zhǎng)達(dá)50年的“簡(jiǎn)單”問(wèn)題：啤酒泡和肥皂泡在膨脹、收縮及合并時(shí)的數(shù)學(xué)規(guī)律。該研究成果將對(duì)工程學(xué)的泡沫材料設(shè)計(jì)、生物學(xué)的組織結(jié)構(gòu)研究以及物理學(xué)的晶體顆粒排列探測(cè)產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，相關(guān)論文發(fā)表在2007年4月26日的《自然》雜志上。 （氣泡脹大、收縮或者合并，背后的驅(qū)動(dòng)力都是表面張力，氣泡的變化，取決于表面總曲率

45、）,,神州六號(hào)的升空，宣告了我國(guó)具有制造和發(fā)射航天飛機(jī)的能力。在神舟六號(hào)的研制過(guò)程中，數(shù)學(xué)起了不可替代了作用，尤其是在軌道測(cè)算，時(shí)間測(cè)算等方面。,,1973年，美國(guó)芝加哥大學(xué)學(xué)者f·布萊克與m·肖萊斯提出了布萊克－肖萊斯期權(quán)定價(jià)模型（black-scholes option pricing model），對(duì)股票期權(quán)的定價(jià)作了詳細(xì)的討論。此后，不少學(xué)者（Merton）又對(duì)該模型進(jìn)行了修正、發(fā)展與推廣，極大地推動(dòng)了期權(quán)定

46、價(jià)理論的研究。該模型中用到很多數(shù)學(xué)知識(shí)。他們也因此獲得了1997年的Nobel經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。 （上圖為Merton，哈佛大學(xué)； 下圖為Scholes，芝加哥大學(xué)。）,素?cái)?shù)在密碼學(xué)中的應(yīng)用 圓錐曲線論在行星運(yùn)動(dòng)開(kāi)普勒三定律中的應(yīng)用 黎曼幾何在廣義相對(duì)論中的應(yīng)用 陳省身的纖維叢理論在楊振寧的規(guī)范場(chǎng)理論中的應(yīng)用 正電子、黑洞與電磁

47、場(chǎng)的發(fā)現(xiàn) 諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者溫伯格(S?Weinberg)曾無(wú)可奈何地感嘆：“當(dāng)一個(gè)物理學(xué)家得到一個(gè)時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)在他之前數(shù)學(xué)家已經(jīng)得到了?！?（二）統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值,在工業(yè)上的應(yīng)用Statistical Quality Control (On line)Taguchi Methods (Off-line)6 Sigma Methods Beginner, Black belt, Master bl

48、ack belt, Green belt, Champion, ExecutiveReliability,1986西格瑪方法被引入摩托羅拉公司,1987制定1992 應(yīng)達(dá)到西格瑪目標(biāo),1988 馬科姆·鮑德里奇全美質(zhì)量大獎(jiǎng),1991 引入“黑帶創(chuàng)意”,1992 每?jī)赡隃p少缺陷十倍，運(yùn)作周期每五年降低10倍。,1998 公司重組,1999 行為準(zhǔn)則，追求卓越和平衡的記分卡,2002 西格瑪業(yè)務(wù)改進(jìn),摩托羅拉公

49、司六西格瑪?shù)陌l(fā)展,2003 數(shù)字六西格瑪,Reliability,產(chǎn)品壽命分布及統(tǒng)計(jì)分析 恒進(jìn)應(yīng)力壽命試驗(yàn) 加速應(yīng)力壽命試驗(yàn)截尾數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 定時(shí)截尾 定數(shù)截尾,Design of Experiment,000001010011100101110111,乾、 坤、震、 巽、 坎、 離、 艮、 兌。,這是一個(gè)最基本的正交表,,Design of Experiment,３６軍

50、官問(wèn)題（這是１８世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉提出的） 設(shè)有６種軍銜和來(lái)自６個(gè)團(tuán)的３６名軍官，能不能把他們排成６行６列的方陣，使得每行每列里都有每種軍銜的一名軍官和每個(gè)團(tuán)的一名軍官？ 數(shù)學(xué)問(wèn)題：是否存在6階的正交拉丁方？,SPRT檢驗(yàn),20世紀(jì)40年代，Wilks在普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系工作，并任華盛頓海軍研究局顧問(wèn)，成立了普林斯頓統(tǒng)計(jì)研究小組(SRG-P)。當(dāng)Theodore W. Anderson還是此小組的研究生時(shí)研究了如下課題：由于日

51、本人以隨機(jī)形態(tài)在海岸線上布滿地雷，而進(jìn)攻日本本土日子越來(lái)越近，故美國(guó)需要找出一種毀壞地雷的有效方法。在此之前，歐洲曾嘗試過(guò)從飛機(jī)上丟炸彈來(lái)引爆地雷，但效果不好。于是，Anderson等人設(shè)計(jì)一種新方法，但實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明這種方法并不有效。這樣就導(dǎo)致美國(guó)在日本投下原子彈的原因之一。,SPRT檢驗(yàn),Wilks又在哥倫比亞大學(xué)組建了第二個(gè)統(tǒng)計(jì)研究小組(SRG-Pjr)，這個(gè)小組的成果之一即是提出了與此與此序貫分析（序貫分析當(dāng)時(shí)被列為最高機(jī)密，直至

52、戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束多年后，參加這項(xiàng)研究的專(zhuān)家都不能對(duì)外發(fā)表論文）。后來(lái)，Abraham Wald通過(guò)高度抽象的理論歸納，提出了決策理論。,The Applications In Social Sciences,數(shù)據(jù)：美國(guó)佛羅里達(dá)，1976--1977年兇殺案結(jié)論：白人被判死刑的比例為：19/160=11.9% 黑人被判死刑的比例為：17/166=10.2%,The Applications In Social Scie

53、nces,Contingency Table （列聯(lián)表）,在IT業(yè)中的應(yīng)用,分類(lèi)、搜索圖像或模式識(shí)別網(wǎng)絡(luò)完全（數(shù)字簽名）,統(tǒng)計(jì)在醫(yī)藥衛(wèi)生中的應(yīng)用,Biostatistics 制藥業(yè)（比對(duì)試驗(yàn)） 疾病的診斷（Bayes方法，圖模型等） 病理分析 疾病的控制,The Applications In Bioinformation,六 、數(shù)學(xué)魅力,（一）混沌與分形 1967年法國(guó)數(shù)學(xué)家B.B.Mande

54、lbrot在《科學(xué)》雜志上發(fā)表文章“英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？”,Mandelbrot發(fā)現(xiàn)：當(dāng)測(cè)量單位變小時(shí)，所得的長(zhǎng)度是無(wú)限增大的。,在理論數(shù)學(xué)中，瑞典數(shù)學(xué)家Koch早在1904年就構(gòu)造了如今稱之為“柯赫曲線”(Koch curve)的幾何對(duì)象。,,B.B.Mandelbrot： “1975年，我由描述碎石的拉丁文fractus，創(chuàng)造出分形（fractal）一詞。分形是幾何外形，它與歐幾里得外形相反，是沒(méi)有規(guī)則的。

55、” “首先，它們處處無(wú)規(guī)則可言。其次 ，它們?cè)诟鞣N尺度上都有同樣程度的不規(guī)則性。不論從遠(yuǎn)處觀察，還是從近處觀察，分形看起來(lái)一個(gè)模樣——它是自相似的。,,“整體中的小塊，從遠(yuǎn)處看是不成形的小點(diǎn)，近處看則發(fā)現(xiàn)它變得輪廓分明，其外形大致和以前觀察的整體形狀相似。 ” “自然界提供了許多分形實(shí)例。例如，羊齒植物、菜花和硬花甘蘭，以及許多其他植物，它們的每一分支和嫩枝都與其整體非常相似。其生成規(guī)則保證

56、了小尺度上的特征成長(zhǎng)后就變成大尺度上的特征?！?---- B.B.Mandelbrot,,Mandelbrot集,,1. 混沌的特點(diǎn) 1) 混沌是決定論系統(tǒng)的內(nèi)在隨機(jī)性，這種隨機(jī)性與我們過(guò)去所了解的隨機(jī)性現(xiàn)象，比如拋硬幣等有很大的區(qū)別。 2) 混沌對(duì)初值的敏感依賴性。在線性系統(tǒng)中，小擾動(dòng)只產(chǎn)生結(jié)果的小偏

57、差，但對(duì)混沌系統(tǒng)，則是“失之毫厘，謬以千里”。 3) 混沌不是簡(jiǎn)單的無(wú)序，更不是通常意義下的有序。,,混沌的意義 1) 混沌的發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)史上的數(shù)學(xué)危機(jī)是不同的。數(shù)學(xué)危機(jī)是人們對(duì)于數(shù)學(xué)根基的質(zhì)疑，而混沌則是人們?cè)诳此坪?jiǎn)單的問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)了復(fù)雜的現(xiàn)象。 2) 混沌絕不單單是有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，混沌是比有序更為普遍的現(xiàn)象，它使我們對(duì)物質(zhì)世界有了更深一層的認(rèn)識(shí)

58、，為我們研究自然的復(fù)雜性開(kāi)辟了一條道路，同時(shí)也引出了關(guān)于物質(zhì)世界認(rèn)識(shí)論上的一些哲學(xué)思考。,混沌學(xué)的應(yīng)用,通過(guò)對(duì)生命現(xiàn)象進(jìn)行的考察，發(fā)現(xiàn)各種各樣的生物節(jié)律既非完全周期，又不可能屬于純粹隨機(jī)，它們既有與自然界周期（季節(jié)，晝夜等）協(xié)調(diào)的一面，又有著內(nèi)在的復(fù)雜性質(zhì)。 20世紀(jì)20年代后期已經(jīng)有人用非線性電路模擬過(guò)心臟搏動(dòng)。近幾年更發(fā)現(xiàn)了心律不齊等病癥與混 沌運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系。,,如果考察人類(lèi)腦電波，對(duì)比就更為尖銳。癲癇患者發(fā)病

59、時(shí)的腦電波呈明顯的周期性，而正常人的腦電波近乎隨機(jī)訊號(hào)。 進(jìn)一步測(cè)量表明它們不是隨機(jī)的，而是接近于混沌系統(tǒng)。 雖然距離最終認(rèn)清它們還很遠(yuǎn)，但現(xiàn)在已有人進(jìn)行利用混沌過(guò)程預(yù)測(cè)和控制癲癇，心律不齊等等病癥。,,基于混沌理論的保密通信、信息加密和信息隱藏技術(shù)的研究已成為國(guó)際熱門(mén)前沿課題之一，也是高科技研究的一個(gè)新領(lǐng)域。 盡管已有許多混沌加密方案被提出，但混沌密碼學(xué)的理論還未完全

60、成熟，混沌密碼學(xué)的研究仍然是一個(gè)新的具有挑戰(zhàn)性的前沿課題。,,目前將將混沌理論應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)理論上的研究也十分活躍，但混沌理論最現(xiàn)實(shí)應(yīng)用的應(yīng)屬于美國(guó)一交通工程師小組，他們?cè)?988年把混沌與錯(cuò)綜復(fù)雜的交通圖形聯(lián)系了起來(lái)，若有人被停停走走堵塞在公路上，那他就可以把責(zé)任推給混沌。,（二）漁網(wǎng)的幾何規(guī)律,用數(shù)學(xué)方法可以證明，無(wú)論你用什么繩索織一片網(wǎng)，無(wú)論你織一片多大的網(wǎng)，它的結(jié)點(diǎn)數(shù)(V)，網(wǎng)眼數(shù)(F)，邊數(shù)(E)都必定適合下面的公式：

61、 V + F – E = 1,多面體的歐拉公式,V + F – E = 2,數(shù)學(xué)就有這樣的本領(lǐng)，能夠把看起來(lái)復(fù)雜的事物變得簡(jiǎn)明，把看起來(lái)混亂的事物理出規(guī)律。,（三）四色問(wèn)題,四色問(wèn)題也稱“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英國(guó)大學(xué)生F．古色利提出。他在為一張英國(guó)地圖著色時(shí)發(fā)現(xiàn),為了使任意兩個(gè)具有公共邊界的區(qū)域顏色不同，似乎只需要四種顏色就夠了。但是他證明不了這一猜想。于是寫(xiě)信告訴他的

62、弟弟弗雷德里克。弗雷德里克轉(zhuǎn)而請(qǐng)教他的數(shù)學(xué)老師,杰出的英國(guó)數(shù)學(xué)家德·摩根，希望幫助給出證明。,一百多年來(lái)許多數(shù)學(xué)家對(duì)四色問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究,獲得了一系列成果。1920年弗蘭克林證明了,對(duì)于不超過(guò)25個(gè)國(guó)家的地圖,四色猜想是正確的。1926年雷諾茲將國(guó)家的數(shù)目提高到27個(gè)。1936年弗蘭克林將國(guó)家的數(shù)目提高到31個(gè)。1968年挪威數(shù)學(xué)家?jiàn)W雷證明了,不超過(guò)40個(gè)國(guó)家的地圖可以用四種顏色著色。但是，他們都沒(méi)有最終證明“四

63、色猜想”。,四色問(wèn)題的解決,直到1972年，美國(guó)依利諾大學(xué)的哈肯和阿佩爾在前人給出算法的基礎(chǔ)上，開(kāi)始用計(jì)算機(jī)進(jìn)行證明。到1976年6月,他們終于獲得成功。他們使用了3臺(tái)IBM360型超高速電子計(jì)算機(jī),耗時(shí)1200小時(shí),終于證明了四色猜想。,這是一個(gè)驚人之舉。當(dāng)這項(xiàng)成果在1977年發(fā)表時(shí),當(dāng)?shù)剜]局特地制作了紀(jì)念郵戳"四色足夠"(FOUR COLORS SUFFICE)，加蓋在當(dāng)時(shí)的信件上。,拓展了人們對(duì)“證明”的理解

64、,由于這是第一次用計(jì)算機(jī)證明數(shù)學(xué)定理，所以哈肯和阿佩爾的工作，不僅是解決了一個(gè)難題，而且從根本上拓展了人們對(duì)“證明”的理解，引發(fā)了數(shù)學(xué)家從數(shù)學(xué)及哲學(xué)方面對(duì)“證明”的思考。,（四）“韓信點(diǎn)兵”的故事 韓信閱兵時(shí)，讓一隊(duì)士兵5人一行排隊(duì)從他面前走過(guò)，他記下最后一行士兵的人數(shù)（1人）；再讓這隊(duì)士兵6人一行排隊(duì)從他面前走過(guò)，他記下最后一行士兵的人數(shù)（5人）；再讓這隊(duì)士兵7人一行排隊(duì)從他面前走過(guò)

65、，他記下最后一行士兵的人數(shù)（4人），再讓這隊(duì)士兵11人一行排隊(duì)從他面前走過(guò)，他記下最后一行士兵的人數(shù)（10人）。 韓信就憑這些數(shù)，可以求得這隊(duì)士兵的總?cè)藬?shù)。思考怎樣求出？,（五）哥尼斯堡七橋問(wèn)題,連通的“點(diǎn)線圖”能夠一筆畫(huà)的充要條件：“奇結(jié)點(diǎn)”不多于兩個(gè)。,反觀“七橋問(wèn)題”,94,七、數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)（一）第一次數(shù)學(xué)危機(jī),這一危機(jī)發(fā)生在公元前5世紀(jì)，危機(jī)來(lái)源于：當(dāng)時(shí)認(rèn)為所有的數(shù)都能表示為整數(shù)比，但突

66、然發(fā)現(xiàn) 不能表為整數(shù)比。 其實(shí)質(zhì)是： 是無(wú)理數(shù)，全體整數(shù)之比構(gòu)成的是有理數(shù)系，有理數(shù)系需要擴(kuò)充，需要添加無(wú)理數(shù)。,,,（二）第二次數(shù)學(xué)危機(jī),第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的十七世紀(jì)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)是由牛頓學(xué)派的外部、貝克萊大主教提出的，是對(duì)牛頓 “無(wú)窮小量”說(shuō)法的質(zhì)疑引起。,危機(jī)的引發(fā) 牛頓的“無(wú)窮小” 牛頓的微

67、積分是一項(xiàng)劃時(shí)代的科學(xué)成就，蘊(yùn)含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問(wèn)題。 微積分的一個(gè)來(lái)源，是想求運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。在牛頓之前，只能求一段時(shí)間內(nèi)的平均速度，無(wú)法求某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。,例如，設(shè)自由落體在時(shí)間 下落的距離為 ，有公式 ，其中 是固定的重力加速度。我們要求物體在 的瞬時(shí)速度，先求 。∴

68、 （*）,,,,,,,當(dāng) 變成無(wú)窮小時(shí)，右端的 也變成無(wú)窮小，因而上式右端就可以認(rèn)為是 ，這就是物體在 時(shí)的瞬時(shí)速度，它是兩個(gè)無(wú)窮小之比。 牛頓的這一方法很好用，解決了大量過(guò)去無(wú)法解決的科技問(wèn)題。但是邏輯上不嚴(yán)格，遭到責(zé)難。,,,,,貝克萊的發(fā)難 英國(guó)的貝克萊大主教發(fā)表文章猛烈攻擊牛頓