4.三次b樣條曲線

1、,3.1.2 B樣條曲線和曲面,在我們工程中應(yīng)用的擬合曲線，一般　地說可以分為兩種類型：一種是最終　生成的曲線通過所有的給定型值點，　比如拋物樣條曲線和三次參數(shù)樣條曲　線等，這樣的曲線適用于插值放樣；　另一種曲線是，它的最終結(jié)果并不一　定通過給定的型值點，而只是比較好　地接近這些點，這類曲線（或曲面）　比較適合于外形設(shè)計。,因為在外形設(shè)計中(比如汽車、船舶)，　初始給出的數(shù)據(jù)點往往并不精確；并　且有的地方在外觀上考

2、慮是主要的，　因為不是功能的要求，所以為了美觀　而寧可放棄個別數(shù)據(jù)點。因此不須最　終生成的曲線都通過這些數(shù)據(jù)點?！×硪环矫?，考慮到在進(jìn)行外形設(shè)計時　應(yīng)易于實時局部修改，反映直觀，以　便于設(shè)計者交互操作。第一類曲線在　這方面就不能適應(yīng)。,法國的 Bezier 為此提出了一種新的　參數(shù)曲線表示方法，因此稱為Bezier　曲線。后來又經(jīng)過 Gordon、Forrest　和 Riesenfeld等人的拓廣、發(fā)展， 提出了

3、Ｂ樣條曲線。　 這兩種曲線都因能較好地適用于 外形設(shè)計的特殊要求而獲得了廣泛的 應(yīng)用。,一、Bezier曲線　Bezier曲線的形狀是通過一組多邊折　線（特征多邊形）的各頂點唯一地定　義出來的。在這組頂點中：　(1) 只有第一個頂點和最后一個頂點　在曲線上；　(2) 其余的頂點則用于定義曲線的導(dǎo)　數(shù)、階次和形狀；　(3) 第一條邊和最后一條邊則表示了　曲線在兩端點處的切線方向。,１.Bezier曲線的數(shù)

4、學(xué)表達(dá)式　 Bezier曲線是由多項式混合函數(shù)推導(dǎo)　出來的，通常 n+1 個頂點定義一個 n　次多項式。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： (0 ≤ t ≤ 1)　式中：Ｐi：為各頂點的位置向量　　　　Ｂi,n(t)：為伯恩斯坦基函數(shù),伯恩斯坦基函數(shù)的表達(dá)式為：　　　假如規(guī)定：０?＝１，０?。剑?，則　t=0:　i=0 ,Bi,

5、n(t)=1 　　　　i?0 ,Bi,n(t)=0　?P(0)=P0,t=1:　i=n ,Bi,n(t)=1 i?n ,Bi,n(t)=0　?P(1)=Pn 所以說，“只有第一個頂點和最后一個 頂點在曲線上”。即　　Bezier曲線只通過多邊折線的起點　和終點。,下面我們通過對基函數(shù)求導(dǎo)，來分析　兩端切矢的情況?！　　　　〉茫?討論：　　　t=0: i=0: Bi-1

6、,n-1(t)=0； Bi,n-1(t)=1。 i=1: Bi-1,n-1(t)=1； Bi,n-1(t)=0。 i?2: Bi-1,n-1(t)=0； Bi,n-1(t)=0。　　　　　 （均出現(xiàn) 0 的非 0 次冪）,?t=0　　同理可得，當(dāng) t=1 時　這兩個式子說明：Bezier曲線在兩端　點處的切矢方向與特征多邊形的第一　條邊和最后一條邊相一

7、致。,２.二次和三次Bezier曲線　　(1) 三個頂點：P0,P1,P2 可定義一條　二次(n=2) Bezier曲線：　其相應(yīng)的混合函數(shù)為：,所以，根據(jù)式：　　二次 Bezier 曲線的表達(dá)形式為：　P(t)=(1-t)2?P0+2t(1-t)?P1+t 2 ?P2　　　　?。ǎ啊躷 ≤ 1),根據(jù) Bezier 曲線的總體性質(zhì)，可討　論二次 Bezier 曲線的性質(zhì)：　 P(t)=(1-t)2?P0+2t

8、(1-t)?P1+t2 ?P2　 P’(t)=2(t-1)?P0+2(1-2t)?P1+2t?P2　P(1/2)=1/2?[P1+1/2?(P0+P2)]　P?(0)=2(P1-P0)　P?(1)=2(P2-P1)　P?(1/2)=P2-P0,二次 Bezier 曲　線是一條拋物線,(2)　四個頂點 P0、P1、P2、P3 可　定義一條三次 Bezier 曲線：　***,二、B樣條曲線?。?從 Bezi

9、er 曲線到Ｂ樣條曲線　(1) Bezier 曲線在應(yīng)用中的不足： 缺乏靈活性　一旦確定了特征多　邊形的頂點數(shù)(m個)，也就決定了曲　線的階次(m-1次)，無法更改；　 控制性差　當(dāng)頂點數(shù)較多時，曲　線的階次將較高，此時，特征多邊形　對曲線形狀的控制將明顯減弱；,不易修改　由曲線的混合函數(shù)可　看出，其值在開區(qū)間 ( 0 , 1 ) 內(nèi)均不為　零。因此，所定義之曲線在 ( 0 < t < 1)

10、　的區(qū)間內(nèi)的任何一點均要受到全部頂　點的影響，這使得對曲線進(jìn)行局部修　改成為不可能?！。ǘ谕庑卧O(shè)計中，局部修改是隨時要進(jìn)行的）,為了克服 Bezier 曲線存在的問題，　Gordon 等人拓展了 Bezier曲線，就　外形設(shè)計的需求出發(fā)，希望新的曲線　要： 易于進(jìn)行局部修改；　　　 更逼近特征多邊形；　　 是低階次曲線?！∮谑?，用 n次Ｂ樣條基函數(shù)替換了伯　恩斯坦基函數(shù)

11、，構(gòu)造了稱之為Ｂ樣條　曲線的新型曲線。,2.Ｂ樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式　Ｂ樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：　 在上式中，0 ≤ t ≤ 1； i= 0, 1, 2, …, m　所以可以看出：Ｂ樣條曲線是分段定　義的。如果給定 m+n+1 個頂點 Pi ( i=　0, 1, 2,…, m+n)，則可定義 m+1 段 n 　次的參數(shù)曲線。,在以上表達(dá)式中：　F k,n ( t ) 為 n 次B樣條基函數(shù)，也稱Ｂ　樣條分段混合

12、函數(shù)。其表達(dá)式為：　　　式中： 0 ≤ t ≤1 k = 0, 1, 2, …, n,連接全部曲線段所組成的整條曲線稱　為 n 次Ｂ樣條曲線。依次用線段連接　點 Pi+k (k=0,1,…,n)所組成的多邊折　線稱為Ｂ樣條曲線在第i段的Ｂ特征多　邊形。,３.二次Ｂ樣條曲線　在二次Ｂ樣條曲線中，n=2,k=0,1,2　故其基函數(shù)形式為：,有了基函數(shù)，因此可寫出二次Ｂ樣條　曲線的分段

13、表達(dá)式為：　　( i= 0,1,2,…,m )　m+1段,寫成一般的矩陣形式為：　式中，Ｂk為分段曲線的Ｂ特征多邊形　的頂點：B0,B1,B2。對于第i段曲線的　Bk 即為：Pi,Pi+1,Pi+2 連續(xù)的三個頂　點?！　。ㄒ娤聢D）,n=2,二次B樣條曲線m+n+1個頂點，三點一段，共m+1段。,i=0P0,2(t),i=1P1,2(t),二次Ｂ樣條曲線的性質(zhì)　先對 P(t)求導(dǎo)得：　　然后分別將

14、 t=0,t=0.5,t=1 代入 P(t)　和 P’(t)，可得：　P(0)=1/2(B0+B1), P(1)=1/2(B1+B2); P’(0)=B1-B0, P’(1)=B2-B1; P(1/2)=1/2{1/2[P(0)+P(1)]+B1} P’(1/2)=1/2(B2-B0)=P(1)- P(0),與以上這些式子所表達(dá)的性質(zhì)相符的　曲線是何種形狀：（見下圖）,是什么曲線？與Bezier曲線有何差別？,結(jié)論

15、：分段二次B樣條曲線是一條拋　物線；有n個頂點定義的二次B樣條曲　線，其實質(zhì)上是n-2段拋物線（相鄰三　點定義）的連接，并在接點處達(dá)到一　階連續(xù)。（見下圖）,４.三次Ｂ樣條曲線　分段三次Ｂ樣條曲線由相鄰四個頂點　定義，其表達(dá)式為：　P( t )=F0,3(t)?B0+F1,3(t)?B1+F2,3(t)?B2　　　　　+F3,3(t)?B3　　(0? t ?1)　可見，由 n 個頂點定義的完整的三次?。聵訔l曲線是由

16、 n-3 段分段曲線連接　而成的。很容易證明，三次Ｂ樣條曲　線在連接處達(dá)到二階連續(xù)。 ***,Ｂ樣條曲線是一種非常靈活的曲線，　曲線的局部形狀受相應(yīng)頂點的控制很　直觀。這些頂點控制技術(shù)如果運用得　好，可以使整個Ｂ樣條曲線在某些部　位滿足一些特殊的技術(shù)要求。如：　 可以在曲線中構(gòu)造一段直線；　 使曲線與特征多邊形相切；　 使曲線通過指定點；　 指定曲線的端點；　

17、 指定曲線端點的約束條件。,三、B樣條曲面　在數(shù)學(xué)上，可以很容易將參數(shù)曲線段　拓張為參數(shù)曲面片。因為無論是前面　的 Bezier 曲線還是Ｂ樣條曲線，它　們都是由特征多邊形控制的。而曲面　是由兩個方向（比如 u 和 v）的特征　多邊形來決定，這兩個方向的特征多　邊形構(gòu)成特征網(wǎng)格。,雙二次Bezier曲面和Ｂ樣條曲面,１.Bezier 曲面　　給定了(m+1)(n+1)個空間點列 bi,j (i=0,　1,2,…,n

18、; j=0,1,2,…,m)后，可以定義m?　n次 Bezier 曲面如下式所示：　 　式中：(0 ≤ u,v ≤ 1)　;　Bi,n(u) 為 n 次　Bernstein 基函數(shù)；連接點列 bi,j 中相　鄰兩點組成特征網(wǎng)格。,在實際應(yīng)用中，次數(shù) m 和 n 均不宜　超過 5，否則網(wǎng)格對于曲面的控制力　將會減弱，這同 Bezier曲線的情況　是相似的。其中最重要的應(yīng)用是 m=n =3，即雙三次 Bezier曲

19、面?！‰p三次 Bezier曲面的表達(dá)式為：,式中：,２.Ｂ樣條曲面　從Ｂ樣條曲線到Ｂ樣條曲面的拓展完　全類似于從Bezier曲線到Bezier曲面的　拓展?！〗o定了(m+1)(n+1)個空間點列 bi,j (i=0,　1,2,…,n; j=0,1,2,…,m)后，可以定義m?　n次 B樣條曲面片如下式所示：,同樣，式中的 Fi,n(u)稱為n次Ｂ樣條　基函數(shù)族，連結(jié) bi,j組成的空間網(wǎng)格　稱為Ｂ特征網(wǎng)格。　在實際

20、應(yīng)用中，最為重要的一種曲面　是雙三次Ｂ樣條曲面片，此時 m=n=3?！∑浔磉_(dá)式為：,式中：　　　其余的[U]、[V]和[b]同Bezier曲面。,表達(dá)式中的矩陣展開，其實就可以得　到如類似于在曲線中的混合函數(shù)。如　展開[U][N]可得：　　　上面介紹的 Bezier曲面與此相同。,整個Ｂ樣條曲面是由Ｂ樣條曲面片連　接而成的（這正如Ｂ樣條曲線），并　且在連接處達(dá)到了Ｃ²連續(xù)，這一點是　由三