第四章根軌跡

1、第四章 根軌跡,已知開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)，當(dāng)增益變化的時候，閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)變化的軌跡。,4.1 閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡,4.1.1 根軌跡的定義這一章考慮如下的反饋系統(tǒng)。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為（zi,pj可能復(fù)數(shù)）：其中的Kr稱為根軌跡增益。,,注意：與開環(huán)增益不同！,4.1 閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為根軌跡就是當(dāng)Kr變化時（通常是零變到正無窮大），閉環(huán)極點(diǎn)的軌跡。設(shè)分子和分母的次數(shù)分別為m和n，通常n≥m，由

2、于上述方程是n次的，故根軌跡有n根分支。上式等價于：,4.1.2 幅值條件和相角條件,其中第一個式子稱為根軌跡的相角條件，第二個式子稱為根軌跡的幅值條件。注意到s+z就是-z到s的向量，因此點(diǎn)s在根軌跡上的充要條件是：（所有開環(huán)零點(diǎn)到s的幅角之和）-（所有開環(huán)極點(diǎn)到s的幅角之和）=?的奇數(shù)倍。,例：,作下圖的根軌跡,,,開環(huán)只有極點(diǎn)，極點(diǎn)到s的幅角之和為?奇數(shù)倍。,例,如果開環(huán)傳遞函數(shù)為

3、，求它的根軌跡。實(shí)軸上的根軌跡。復(fù)平面上的根軌跡。設(shè) 在根軌跡上，于是,4．2 繪制根軌跡的基本規(guī)則,根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)由于 當(dāng)Kr=0時， 根軌跡起源于開環(huán)的極點(diǎn)（正好n個）。當(dāng)Kr=?時，,根軌跡終止于開環(huán)的零點(diǎn)。（多余的n-m支奔向何方？）,4．2 繪制根軌跡的基本規(guī)則,實(shí)軸上的根軌跡 復(fù)數(shù)零極點(diǎn)對實(shí)軸上的根軌跡沒有影響，所以實(shí)軸上的

4、根軌跡由實(shí)數(shù)零極點(diǎn)確定。 一個實(shí)數(shù)在根軌跡上，如果它的右面有奇數(shù)個零極點(diǎn)。復(fù)平面上的根軌跡 因?yàn)檫@是實(shí)數(shù)多項(xiàng)式，復(fù)根成對出現(xiàn)，所以復(fù)平面上的根軌跡關(guān)于實(shí)軸對稱。,復(fù)習(xí),根軌跡的定義當(dāng)K變化的時候，閉環(huán)特征根的軌跡，即 的根的軌跡作根軌跡的幅角條件和幅值條件：,復(fù)習(xí),根軌跡的特征根軌跡起點(diǎn)和終點(diǎn)：根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)。當(dāng)零點(diǎn)個數(shù)小于極點(diǎn)個數(shù)的時候，剩余的趨向無窮。實(shí)軸

5、上的根軌跡： 實(shí)軸上的點(diǎn)的右面有奇數(shù)個零極點(diǎn)，則它在根軌跡上。復(fù)平面上的根軌跡： 復(fù)平面上的根軌跡關(guān)于實(shí)軸對稱。,4．2 繪制根軌跡的基本規(guī)則,無窮遠(yuǎn)的根軌跡 有n-m支根軌跡趨向無窮大，它們與實(shí)軸的夾角分別為 與實(shí)軸交點(diǎn)為 這是因?yàn)?4．2 繪制根軌跡的基本規(guī)則,實(shí)軸上根軌跡的分離和匯合 兩支實(shí)軸上的根軌跡必定要分離或者匯合，分離和匯合

6、點(diǎn)是重根?？捎们笾馗霓k法求出這類點(diǎn)。 或者 對應(yīng)正的Kr。,4．2 繪制根軌跡的基本規(guī)則,根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 利用Routh表可以求出臨界穩(wěn)定的Kr，和對應(yīng)的虛軸上的極點(diǎn)。,列出Routh陣列,使s行為零,得對應(yīng)虛極點(diǎn)。出射角和入射角 出射角是根軌跡離開開環(huán)極點(diǎn)的角度，入射角是進(jìn)入開環(huán)零點(diǎn)的角度。計算公式為：,,,入射角出射角,4．2 繪制根軌跡的基本規(guī)

7、則,例：求的根軌跡,1。在復(fù)平面上作出起點(diǎn)與終點(diǎn) 起點(diǎn)：0，-1，-2±j2 終點(diǎn)：-4 2。實(shí)軸上的根軌跡（-?，-4]，[-1，0]3。實(shí)軸上的分離點(diǎn)和匯合點(diǎn)解方程得到s=-5.12(匯合點(diǎn)), s=-0.48（分離點(diǎn)）,,,,4．2 繪制根軌跡的基本規(guī)則,例：求的根軌跡,4。無窮遠(yuǎn)性質(zhì)： 漸近線夾角：±60，180。實(shí)軸交點(diǎn) （-5+4）/3 5。與虛軸交點(diǎn)：