第七章平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)法

1、7 平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)法,7.1 概述7.2 時(shí)間序列的自相關(guān)分析7.3 單位根檢驗(yàn)和協(xié)整檢驗(yàn)7.4 ARMA模型的建模,回總目錄,7.1 概 述,時(shí)間序列 取自某一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，則稱(chēng)：,一、平穩(wěn)時(shí)間序列,過(guò)程是平穩(wěn)的——隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)特征不隨時(shí)間變化而變化,過(guò)程是非平穩(wěn)的——隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)特征隨時(shí)間變化而變化,,回總目錄,回本章目錄,寬平穩(wěn)時(shí)間序列的定義：,設(shè)時(shí)間序列,，對(duì)于任意的t,k和m，滿

2、足：,則稱(chēng) 寬平穩(wěn)。,回總目錄,回本章目錄,Box-Jenkins方法是一種理論較為完善的統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法。 他們的工作為實(shí)際工作者提供了對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分析、 預(yù)測(cè)，以及對(duì)ARMA模型識(shí)別、估計(jì)和診斷的系統(tǒng)方 法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正規(guī)、結(jié)構(gòu) 化的建模方法，并且具有統(tǒng)計(jì)上的完善性和牢固的理 論基礎(chǔ)。,ARMA模型是描述平穩(wěn)隨機(jī)序列的最常用的一種模型；,回總目錄,回本章目錄,ARM

3、A模型三種基本形式： 自回歸模型（AR：Auto-regressive）； 移動(dòng)平均模型（MA：Moving-Average）； 混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。,回總目錄,回本章目錄,如果時(shí)間序列 滿足 其中 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且滿足： 則稱(chēng)時(shí)間序列 服從p階自回歸模型。,二、自回歸模型,回總目錄,回本章目錄,自

4、回歸模型的平穩(wěn)條件：,滯后算子多項(xiàng)式,的根均在單位圓外，即,的根大于1。,回總目錄,回本章目錄,如果時(shí)間序列 滿足則稱(chēng)時(shí)間序列 服從q階移動(dòng)平均模型。 或者記為 。平穩(wěn)條件：任何條件下都平穩(wěn)。,,三、移動(dòng)平均模型MA(q),回總目錄,回本章目錄,四、ARMA(p,q)模型,如果時(shí)間序列,滿足：,則稱(chēng)時(shí)間序列 服從(p,q)階自回歸移動(dòng)平均模型。,或者記為

5、：,回總目錄,回本章目錄,q=0，模型即為AR(p)； p=0，模型即為MA(q)。,ARMA(p,q)模型特殊情況：,回總目錄,回本章目錄,例題分析,設(shè),，其中A與B,為兩個(gè)獨(dú)立的零均值隨機(jī)變量，方差為1；,為一常數(shù)。,試證明：,寬平穩(wěn)。,回總目錄,回本章目錄,證明：,均值為0，,只與t-s有關(guān)，所以寬平穩(wěn)。,回總目錄,回本章目錄,7.2 時(shí)間序列的自相關(guān)分析,自相關(guān)分析法是進(jìn)行時(shí)間序列分析的有效方 法，它簡(jiǎn)單易行,

6、較為直觀，根據(jù)繪制的自 相關(guān)分析圖和偏自相關(guān)分析圖，我們可以初 步地識(shí)別平穩(wěn)序列的模型類(lèi)型和模型階數(shù)。 利用自相關(guān)分析法可以測(cè)定時(shí)間序列的隨機(jī)性 和平穩(wěn)性，以及時(shí)間序列的季節(jié)性。,一、自相關(guān)分析,回總目錄,回本章目錄,（1）自相關(guān)函數(shù)的定義,滯后期為k的自協(xié)方差函數(shù)為：,則自相關(guān)函數(shù)為：,其中,回總目錄,回本章目錄,當(dāng)序列平穩(wěn)時(shí)，自相關(guān)函數(shù)可寫(xiě)為：,（2）樣本自相關(guān)函數(shù),其中,回總目錄,回本章目錄,樣本自相關(guān)

7、函數(shù)可以說(shuō)明不同時(shí)期的數(shù) 據(jù)之間的相關(guān)程度，其取值范圍在-1到 1之間，值越接近于1，說(shuō)明時(shí)間序列的 自相關(guān)程度越高。,回總目錄,回本章目錄,（3）樣本的偏自相關(guān)函數(shù),是給定了,的條件下，,與滯后k期時(shí)間序列之間的條件相關(guān)。,定義表示如下：,,其中，,回總目錄,回本章目錄,時(shí)間序列的隨機(jī)性，是指時(shí)間序列各項(xiàng)之間沒(méi)有相關(guān)關(guān)系的特征。使用自相關(guān)分析圖判斷時(shí)間序列的隨機(jī)性，一般給出如下準(zhǔn)則：,若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)基本上都落

8、入 置信區(qū)間，則該時(shí)間序列具有隨機(jī)性； 若較多自相關(guān)函數(shù)落在置信區(qū)間之外， 則認(rèn)為該時(shí)間序列不具有隨機(jī)性。,回總目錄,回本章目錄,判斷時(shí)間序列是否平穩(wěn)，是一項(xiàng)很重要的工作。運(yùn)用自相關(guān)分析圖判定時(shí)間序列平穩(wěn)性的準(zhǔn)則是：,若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)在k>3時(shí)都落入置 信區(qū)間，且逐漸趨于零，則該時(shí)間序列具有平穩(wěn)性；若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)更多地落在置信區(qū) 間外面，則該時(shí)間序列就不具有平穩(wěn)性。

9、,回總目錄,回本章目錄,二、ARMA模型的自相關(guān)分析,AR(p)模型的偏自相關(guān)函數(shù)是以p步截尾的，自 相關(guān)函數(shù)拖尾； MA(q)模型的自相關(guān)函數(shù)具有q步截尾性，偏 自相關(guān)函數(shù)拖尾； （可用以上兩個(gè)性質(zhì)來(lái)識(shí)別AR和MA模型的階數(shù)） ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都 是拖尾的。,回總目錄,回本章目錄,7.3 單位根檢驗(yàn)和協(xié)整檢驗(yàn),一、單位根檢驗(yàn),利用迪基—福勒檢驗(yàn)（ D

10、ickey-Fuller Test）和菲利普斯—佩榮檢驗(yàn)（Philips-Perron Test），也可以測(cè)定時(shí)間序列的隨機(jī)性，這是在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中非常重要的兩種單位根檢驗(yàn)方法，與前者不同的是，后一個(gè)檢驗(yàn)方法主要應(yīng)用于一階自回歸模型的殘差不是白噪聲，而且存在自相關(guān)的情況。,回總目錄,回本章目錄,（1）隨機(jī)游動(dòng),如果在一個(gè)隨機(jī)過(guò)程中， 的每一次變化均來(lái)自于一個(gè)均值為零的獨(dú)立同分布，即,隨機(jī)過(guò)程,滿足：,其中,獨(dú)立同分布，并且：,稱(chēng)這個(gè)隨

11、機(jī)過(guò)程是隨機(jī)游動(dòng)。它是一個(gè)非平穩(wěn)過(guò)程。,回總目錄,回本章目錄,（2）單位根過(guò)程,設(shè)隨機(jī)過(guò)程,滿足：,其中,為一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程并且,回總目錄,回本章目錄,（3） 協(xié)整關(guān)系,如果兩個(gè)或多個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列，其某個(gè) 線性組合后的序列呈平穩(wěn)性，這樣的時(shí)間序 列間就被稱(chēng)為有協(xié)整關(guān)系存在； 這是一個(gè)很重要的概念，我們利用Engle- Granger兩步協(xié)整檢驗(yàn)法和Johansen協(xié)整檢驗(yàn) 法可以測(cè)定時(shí)間序列間

12、的協(xié)整關(guān)系。,回總目錄,回本章目錄,7.4 ARMA模型的建模,一、模型階數(shù)的確定,（1）基于自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的定階方法,對(duì)于ARMA(p,q)模型，可以利用其樣本的自相關(guān)函數(shù)和樣本偏自相關(guān)函數(shù)的截尾性判定模型的階數(shù)。,回總目錄,回本章目錄,具體方法如下：,對(duì)于每一個(gè)q,計(jì)算,….,（M 取,為 或者 ），考察其中滿足,或者,的個(gè)數(shù)是否占M個(gè)的68.3%或者95.5%。如果,， 都明顯地異于零，而,(轉(zhuǎn)下頁(yè)),回

13、總目錄,回本章目錄,….,均近似于零，并且滿足,上述不等式之一的,的個(gè)數(shù)達(dá)到其相應(yīng)的比,例，則可以近似地判定,是 步截尾，平,穩(wěn)時(shí)間序列,為,。,,,,,,,回總目錄,回本章目錄,類(lèi)似，我們可通過(guò)計(jì)算序列,其中滿足,，考察,或者,是否占M個(gè)的68.3%或者95.5%。即可以近似,的個(gè)數(shù),地判定,是 步截尾，平穩(wěn)時(shí)間序列,為,。,回總目錄,回本章目錄,如果對(duì)于序列,和,截尾，即不存在上述的,來(lái)說(shuō)，均不,和,判定平穩(wěn)時(shí)間序列,，則可以,

14、為ARMA模型。,回總目錄,回本章目錄,（2）基于F 檢驗(yàn)確定階數(shù)（3）利用信息準(zhǔn)則法定階（AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則）,此外常用的方法還有：,回總目錄,回本章目錄,二、模型參數(shù)的估計(jì),（1）初估計(jì),AR(p)模型參數(shù)的Yule-Walker估計(jì),特例：一階自回歸模型AR(1)：,二階自回歸模型AR(2)：,回總目錄,回本章目錄,MA(q)模型參數(shù)估計(jì),特例：,一階移動(dòng)平均模型MA(1)：,二階移動(dòng)平均模型MA(2)：,回總目錄,回本章

15、目錄,ARMA(p,q)模型的參數(shù)估計(jì),由于模型結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，比較困難，有幾種方法可以進(jìn)行。一般利用統(tǒng)計(jì)分析軟件包完成。,回總目錄,回本章目錄,（2）精估計(jì),ARMA(p,q)模型參數(shù)的精估計(jì)，一般 采用極大似然估計(jì)，由于模型結(jié)構(gòu)的復(fù) 雜性，無(wú)法直接給出參數(shù)的極大似然估 計(jì)，只能通過(guò)迭代方法來(lái)完成，這時(shí)， 迭代初值常常利用初估計(jì)得到的值。,回總目錄,回本章目錄,三、ARMA(p,q)序列預(yù)報(bào),設(shè)平穩(wěn)時(shí)間序列,是一個(gè)AR

16、MA(p,q),過(guò)程，則其最小二乘預(yù)測(cè)為：,AR(p)模型預(yù)測(cè),回總目錄,回本章目錄,ARMA(p,q)模型預(yù)測(cè),其中：,回總目錄,回本章目錄,預(yù)測(cè)誤差,預(yù)測(cè)誤差為：,步線性最小方差預(yù)測(cè)的方差和預(yù)測(cè)步長(zhǎng) 有關(guān), 而與預(yù)測(cè)的時(shí)間原點(diǎn)t無(wú)關(guān)。預(yù)測(cè)步長(zhǎng)越大，預(yù)測(cè)誤差的方差也越大，因而預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度就會(huì)降低。所以,一般不能用ARMA(p,q)作為長(zhǎng)期預(yù)測(cè)模型。,回總目錄,回本章目錄,預(yù)測(cè)的置信區(qū)間,預(yù)測(cè)的95%置信區(qū)間：,回總目錄,回本章目錄

17、,例題分析,設(shè),為一AR(2)序列，,其中,。,求,的自協(xié)方差函數(shù),。,? 例 1,回總目錄,回本章目錄,解答：,Yule-Walker方程為：,,,,,,,,,即：,,回總目錄,回本章目錄,且：,聯(lián)合上面三個(gè)方程，解出：,,回總目錄,回本章目錄,? 例 2,考慮如下AR(2) 序列：,若已知觀測(cè)值,（1）試預(yù)報(bào),（2）給出（1）預(yù)報(bào)的置信度為95%的預(yù)報(bào)區(qū)間,回總目錄,回本章目錄,解答：,（1）,（2）,預(yù)報(bào)的置信度為95%的預(yù)報(bào)區(qū)間