力學(xué)量與算符

1、第四講力學(xué)量與算符（4課時(shí)）,1.算符的引入,,,位置平均值,位置函數(shù)的平均值,動(dòng)量平均值？,錯(cuò)誤！函數(shù) 沒(méi)有定義，因?yàn)閤處動(dòng)量不確定,1.算符的引入,,,解決：利用動(dòng)量空間態(tài)函數(shù),回到坐標(biāo)空間：,,,,1.算符的引入,,,結(jié)論：動(dòng)量算符引入,推廣：力學(xué)量用算符表示,1.算符的引入,,,力學(xué)量的方差：不確定度,,實(shí)例：一維勢(shì)箱中粒子,,,,,,,2.力學(xué)量算符的性質(zhì),算符的函數(shù),厄米性,線性,,2.力學(xué)量算符的性質(zhì),厄米性

2、的證明,基本事實(shí)：力學(xué)量的平均值必須是實(shí)數(shù),,,3.本征值與本征函數(shù),本征方程,本征值數(shù)目可以有限，本征態(tài)的數(shù)目是無(wú)窮多的,3.本征值與本征函數(shù),本征值為實(shí)數(shù)：,=,厄米性,線性,,證明：,3.本征值與本征函數(shù),本征函數(shù)(系)性質(zhì),正交歸一性,? 不同本征值對(duì)應(yīng)本征態(tài)相互正交,,,可以有一套正交歸一化的本征函數(shù)系,3.本征值與本征函數(shù),完備性,本征函數(shù)(系)性質(zhì),態(tài)疊加原理,4.力學(xué)量的測(cè)量,力學(xué)量測(cè)量可能值是什么？,,,,實(shí)驗(yàn)結(jié)果：多

3、次測(cè)量的平均，表現(xiàn)為平均值,測(cè)量過(guò)程：波函數(shù)“不可逆”塌縮（哥本哈根詮釋）,基本假設(shè)：力學(xué)量測(cè)量可能值只能是本征值之一,4.力學(xué)量的測(cè)量,力學(xué)量F何時(shí)有測(cè)量確定值？,,,,充分性：本征態(tài)F有確定值，即為本征值，前面已證,? 充要條件：體系位于F的本征態(tài),,,為F的本征態(tài)，本征值為,,,體系位于力學(xué)量F，G的共同本征態(tài)時(shí)，二者同時(shí)有測(cè)量確定值,4.力學(xué)量的測(cè)量,力學(xué)量F,G何時(shí)有共同本征態(tài)？,? 充要條件：F和G相互對(duì)易,,力學(xué)量對(duì)易子：

4、對(duì)任意函數(shù) ，,,,,對(duì)任意 均成立?,推廣： ,,,,不同變量微分可交換,4.力學(xué)量的測(cè)量,,若干對(duì)易關(guān)系,,,,,必要條件：若F，G有共同完備本征函數(shù)系，則F,G對(duì)易,對(duì)任意函數(shù) ，可以用該完備系展開， ;,于是,由于 是任意的，因此 ，得證,,,,設(shè)該共同本征函數(shù)系

5、為 ，則 ，,,,,,4.力學(xué)量的測(cè)量,,,,,,,,,,,,,充分條件：若[F,G]=0,則F,G有共同完備本征函數(shù)系,證明如下：,,,4.力學(xué)量的測(cè)量,,,,,,,,,,,,,充分條件：若[F,G]=0,則F,G有共同完備本征函數(shù)系,證明（續(xù)）：,,,引入矩陣R,,,綜合：當(dāng)[F,G]=0時(shí)，F(xiàn)的非簡(jiǎn)并本征態(tài)必是G的本征態(tài)；F的簡(jiǎn)并本征態(tài)中，存在一組函數(shù)集，它們既是F的本征