車燈線光源最優(yōu)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模論文

1、<p><b>　　一．問(wèn)題重述</b></p><p>　　汽車頭部車燈的線光源的設(shè)計(jì)對(duì)車燈的照明光強(qiáng)有重要影響。一種可能的設(shè)計(jì)規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)為，在焦點(diǎn)F正前方25米處的A點(diǎn)放置一測(cè)試屏，屏與FA垂直，用以測(cè)試車燈的反射光。在屏上過(guò)A點(diǎn)引出一條與地面相平行的直線，在該直線A點(diǎn)的同側(cè)取B點(diǎn)和C點(diǎn)，使AC=2AB=2.6米。要求C點(diǎn)的光強(qiáng)度不小于某一額定值（可取為1個(gè)單位），B點(diǎn)的光強(qiáng)度不

2、小于該額定值的兩倍（只須考慮一次反射）。</p><p>　　假設(shè)車燈的反射面是旋轉(zhuǎn)拋物面。車燈的對(duì)稱軸水平地指向正前方, 其開(kāi)口半徑36毫米，深度21.6毫米。線光源對(duì)稱地一定長(zhǎng)度的均勻放置在經(jīng)過(guò)車燈的焦點(diǎn)，在與對(duì)稱軸相垂直的水平方向。旋轉(zhuǎn)拋物面及其內(nèi)部線光源的空間位置如圖1.1</p><p>　　圖1.1 旋轉(zhuǎn)拋物面及其內(nèi)部線光源的空間位置 </p><p>

3、;　　在滿足該設(shè)計(jì)規(guī)范的條件下，線光源的功率存在一個(gè)極小值，此時(shí)線光源長(zhǎng)度最短。</p><p><b>　　二．基本假設(shè)</b></p><p>　　線光源沒(méi)有寬度，發(fā)光功率均勻分布。</p><p>　　線光源上任意一點(diǎn)發(fā)出的光的波陣面為球形。</p><p>　　光線在被反射時(shí)沒(méi)有能量損失，也就是說(shuō)，光線被全反射。

4、</p><p>　　光線在空氣中傳播時(shí)沒(méi)有能量損失，也不會(huì)遇到障礙物。</p><p>　　不考慮二次反射的情況。</p><p>　　光線被測(cè)試屏完全吸收，即在測(cè)試屏處檢測(cè)的光強(qiáng)就是照射到此處的光強(qiáng)。</p><p><b>　　三．符號(hào)說(shuō)明</b></p><p>　　r

5、 旋轉(zhuǎn)拋物面的開(kāi)口半徑</p><p>　　h 旋轉(zhuǎn)拋物面的開(kāi)口深度</p><p>　　f 焦距</p><p>　　I 光強(qiáng)度（單位面積的光功率）</p><p>　　P 光功率</p><p>

6、<b>　　四．問(wèn)題分析和解答</b></p><p>　　4.1模型中基本的數(shù)學(xué)推導(dǎo)</p><p>　　4.1.1旋轉(zhuǎn)拋物面的焦距</p><p>　　根據(jù)題意，（本文中所有長(zhǎng)度單位為mm），。根據(jù)公式：</p><p>　　焦點(diǎn)附近的線光源可看成許多點(diǎn)光源的線性疊加。一個(gè)基本的結(jié)論是若點(diǎn)光源在焦點(diǎn)位置，它發(fā)出的光經(jīng)

7、過(guò)拋物面的反射形成平行光。</p><p>　　4.1.2測(cè)試屏反射點(diǎn)坐標(biāo)公式</p><p>　　給定線光源上一個(gè)點(diǎn)光源,它與焦點(diǎn)的距離為d,它發(fā)出的光線經(jīng)旋轉(zhuǎn)拋物面上的一點(diǎn)的反射,反射光線與測(cè)試屏的交點(diǎn)為,下面的工作是建立與和的關(guān)系。</p><p>　　本文中，旋轉(zhuǎn)拋物面的對(duì)稱軸設(shè)為z軸正向，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，水平面為zy面。則其方程為：</p>&l

8、t;p><b>　?。?）</b></p><p>　　顯然, 坐標(biāo)為。設(shè)，則坐標(biāo)滿足方程（1）</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　根據(jù)空間解析幾何，曲面在點(diǎn)的法線l的法向量為</p><p>　　= （3）</p><

9、;p><b>　　則過(guò)點(diǎn)的法線方程為</b></p><p><b>　　（4）</b></p><p>　　設(shè)關(guān)于法線l的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則和P連線的中點(diǎn)在法線上，得：</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　另外：</

10、b></p><p><b>　　顯然，故</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　聯(lián)立（5）（6）兩式，解得</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　其中</b>

11、;</p><p>　　過(guò)和兩點(diǎn)的反射光線的方程為</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　它與測(cè)試屏的交點(diǎn)為。</p><p>　　在測(cè)試屏上，，將（7）帶入（8），得交點(diǎn)坐標(biāo)</p><p><b>　　（9）</b></p><

12、;p><b>　　其中</b></p><p>　　由（9）式可見(jiàn)，如果（即問(wèn)題1中B點(diǎn)和C點(diǎn)的情況），則</p><p><b>　　或</b></p><p>　　這說(shuō)明對(duì)線光源上的任一點(diǎn)光源，對(duì)測(cè)試屏上過(guò)軸與屏的交點(diǎn)并與線光源平行的直線上的點(diǎn)的光強(qiáng)有貢獻(xiàn)的拋物曲面上的反射點(diǎn)分兩部分：一是線光源與軸線所確定的平面

13、與曲面的交點(diǎn)，即；一是由空間點(diǎn)，滿足 。</p><p><b>　　4.2問(wèn)題一</b></p><p><b>　　4.2.1逆向模型</b></p><p><b>　　點(diǎn)光源模型</b></p><p>　　點(diǎn)光源可以看作一個(gè)沒(méi)有大小的發(fā)光點(diǎn)。發(fā)出的光線均勻的向各個(gè)方向

14、發(fā)散。</p><p><b>　　點(diǎn)光源的能量模型</b></p><p>　　a) 經(jīng)過(guò)以點(diǎn)光源為球心的任意一個(gè)球面的光的總能量相等；</p><p>　　b) 由a)和球面積公式可得，點(diǎn)光源照射到任意一點(diǎn)的光強(qiáng)度，與該點(diǎn)到點(diǎn)光源的距離平方成反比。</p><p>　　c) 本問(wèn)題中，可以假設(shè)單位長(zhǎng)度的線光源功率為P

15、，則點(diǎn)光源的功率大小也為常數(shù)P；</p><p><b>　　光強(qiáng)度函數(shù)</b></p><p>　　光的強(qiáng)度在物理學(xué)中有具體的定義。但是在本問(wèn)題中，并沒(méi)有要求、也無(wú)法求出光強(qiáng)度的具體數(shù)值。又由于點(diǎn)光源的功率已假定為一常數(shù)P，于是某點(diǎn)的光強(qiáng)度僅與該點(diǎn)到點(diǎn)光源的距離d的平方成反比，因此，在本文中，可以定義光強(qiáng)度函數(shù)I為：</p><p><

16、b>　　(10)</b></p><p><b>　　線光源模型</b></p><p>　　線光源可以看作是無(wú)數(shù)點(diǎn)光源緊密排列在一起組成的。</p><p>　　以下的討論中，可以先討論點(diǎn)光源對(duì)B、C點(diǎn)光強(qiáng)度的影響，然后對(duì)光強(qiáng)度函數(shù)在線光源所在的直線上進(jìn)行積分，就可以得到線光源在B、C點(diǎn)產(chǎn)生的光強(qiáng)度函數(shù)I</p>

17、;<p><b>　　(11)</b></p><p><b>　　旋轉(zhuǎn)拋物面模型</b></p><p>　　旋轉(zhuǎn)拋物面可以看作一條拋物線沿著它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)180度所得的曲面。其中任意一條拋物線都可以起到反射鏡的作用。</p><p>　　6) 坐標(biāo)系的建立與各物體的位置關(guān)系</p><

18、p>　　坐標(biāo)系與旋轉(zhuǎn)拋物面如圖4.2.1所示。</p><p>　　圖4.2.2.1 坐標(biāo)系與旋轉(zhuǎn)拋物面位置</p><p>　　7) B、C點(diǎn)光強(qiáng)度的粗略模型</p><p>　　顯然，照射到B、C點(diǎn)的光線來(lái)自兩部分，一部分是線光源的直接照射，另一部分經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)拋物面的反射后照到B、C點(diǎn)。于是，B、C點(diǎn)光強(qiáng)度應(yīng)該是兩部分分別在兩點(diǎn)引起的光強(qiáng)度的疊加。<

19、/p><p>　　8) 直射光線在B點(diǎn)引起的光亮度大小</p><p>　　很容易證明，線光源上每一個(gè)點(diǎn)光源都可以照射到B點(diǎn)。</p><p>　　設(shè)線光源兩端點(diǎn)分別為：和。某點(diǎn)光源坐標(biāo)，到B點(diǎn)的距離d(x)，則線光源在B點(diǎn)引起的光亮度大小為：</p><p><b>　　(12)</b></p><p&

20、gt;　　同理可以得到該段線光源在C點(diǎn)的光亮度大小。</p><p>　　9) 反射光線在B的點(diǎn)引起的光亮度大小</p><p><b>　　a)一些基本關(guān)系式</b></p><p>　　線光源上任取一點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)拋物面上任取一點(diǎn)，兩點(diǎn)確定一條入射光線：</p><p><b>　　方向向量</b>&

21、lt;/p><p>　　B點(diǎn)坐標(biāo)，與旋轉(zhuǎn)拋物面上一點(diǎn)確定一條反射光線：</p><p><b>　　方向向量：</b></p><p>　　過(guò)拋物面上一點(diǎn)的法線方程：</p><p><b>　　方向向量：</b></p><p>　　由于入射光線、反射光線和法線滿足如下兩個(gè)條件

22、：</p><p><b>　?、偃€共面；</b></p><p>　?、诜ň€平分入射光線與反射光線的夾角。</p><p>　　由以上兩點(diǎn)可以得到如下關(guān)系式：</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p><b>　?、?lt;/b></p

23、><p>　　因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)分別為線光源和旋轉(zhuǎn)拋物面上的點(diǎn)，所以還要滿足如下約束條件：</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p><b>　?、?lt;/b></p><p><b>　　b) 反射的討論</b></p><p>　　由入射光線、反射光線

24、和法線滿足的兩個(gè)條件可知，a、b向量歸一化后的和向量與法線同向。于是得到如下關(guān)系式：</p><p><b>　　其中：</b></p><p>　　分別為向量a、b的模；</p><p>　　與關(guān)系式③、④聯(lián)立并討論得：</p><p>　　1. 當(dāng)時(shí)，立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題。即由點(diǎn)光源發(fā)出的光線只經(jīng)過(guò)水平拋物線鏡面反

25、射到達(dá)B點(diǎn)。</p><p>　　2. 當(dāng)，用x1，z1表示出y1代入，并舍掉數(shù)值較小的項(xiàng)，對(duì)得到的方程式討論得到：對(duì)于與之間的點(diǎn)光源，總有兩個(gè)解。也就是說(shuō)，這兩個(gè)點(diǎn)之間的點(diǎn)光源經(jīng)過(guò)除水平拋物線鏡面之外的拋物面反射（我們可以稱之為立體反射）可以照射到B點(diǎn)，而且有兩條光線可以到達(dá)B點(diǎn)。我們稱起反射作用的點(diǎn)為反射點(diǎn)。</p><p>　　同樣的原理可以得到，對(duì)于C點(diǎn)，這樣的臨界點(diǎn)為：(-1.5

26、6,0,15)和。</p><p>　　3. 水平拋物線鏡面反射光線的討論</p><p>　　由光的可逆性原理，當(dāng)線光源上某一點(diǎn)光源發(fā)出的光經(jīng)過(guò)水平拋物線鏡面的反射，可以到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，由B點(diǎn)出發(fā)射向旋轉(zhuǎn)拋物面的光線經(jīng)過(guò)反射也會(huì)到達(dá)該點(diǎn)光源。</p><p>　　如圖4.2.2所示建立平面坐標(biāo)系：</p><p><b>　　圖4.2

27、.2.2</b></p><p>　　則水平拋物線鏡面的方程：</p><p>　　旋轉(zhuǎn)拋物面的開(kāi)口直徑為72毫米，而測(cè)試屏與旋轉(zhuǎn)拋物面的焦點(diǎn)的距離為25米，在B點(diǎn)看旋轉(zhuǎn)拋物面，張角θ<0.072/25＝0.0029；所以，可以作如下近似：由B點(diǎn)出發(fā)射向旋轉(zhuǎn)拋物面的光線可以看作一束平行光線。</p><p>　　如圖4.2.3所示為一束平行光束經(jīng)平

28、面反射后的光線：</p><p><b>　　圖4.2.2.3</b></p><p>　　設(shè)入射光線的斜率為k，則k的近似取值為</p><p>　　其中，P點(diǎn)為水平拋物線的焦點(diǎn)，(XB,YB)，(XP,YP)分別為B，P點(diǎn)的坐標(biāo)。</p><p>　　入射光線經(jīng)平面拋物線鏡面反射后，將與線光源所在直線產(chǎn)生一系列交點(diǎn)，

29、這些交點(diǎn)就是能夠照射到B點(diǎn)的點(diǎn)光源。</p><p>　　計(jì)算每個(gè)點(diǎn)光源在B點(diǎn)產(chǎn)生的光亮度大小，再對(duì)這一系列點(diǎn)光源進(jìn)行積分，就得到了線光源經(jīng)平面拋物線鏡面反射后在B點(diǎn)產(chǎn)生的光亮度大小I2。</p><p>　　4. 立體反射光線的討論</p><p>　　我們已經(jīng)得到，對(duì)于B、C點(diǎn)，經(jīng)立體反射可以到達(dá)的臨界點(diǎn)分別為：與、與。</p><p>

30、　　由于B或C距離到旋轉(zhuǎn)拋物面上某點(diǎn)的距離與旋轉(zhuǎn)拋物面的線度相比，旋轉(zhuǎn)拋物面的線度很小，可以忽略。因此，我們用B點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離來(lái)近似表示B點(diǎn)到拋物面上反射點(diǎn)的距離。設(shè)為dB，用d0表示某點(diǎn)光源到反射點(diǎn)的距離，于是可以近似得到這樣的結(jié)論：</p><p>　　于是，某點(diǎn)光源到B點(diǎn)光程為：</p><p>　　由此，立體反射在B點(diǎn)引起的光亮度函數(shù)也就隨之確定了。在前述區(qū)間和線光源長(zhǎng)度區(qū)間的公共

31、區(qū)間上積分，就可得到該段線光源經(jīng)立體反射在B點(diǎn)產(chǎn)生的光亮度I3。</p><p>　　10) B點(diǎn)的光亮度由直射，水平拋物線鏡面反射和立體反射三部分疊加而成。即B點(diǎn)的光亮度：</p><p><b>　　C點(diǎn)同理。</b></p><p>　　11) 搜索模型的確立</p><p>　　由此,對(duì)于一個(gè)給定的燈絲長(zhǎng)度，我們

32、已經(jīng)確定出了B點(diǎn)和C點(diǎn)的光的亮度.在此基礎(chǔ)上,用計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)從一個(gè)較小的燈絲長(zhǎng)度開(kāi)始遍歷,知道找到一個(gè)燈絲長(zhǎng)度滿足B點(diǎn)光的亮度是C點(diǎn)光的亮度的兩倍.</p><p><b>　　12) 搜索結(jié)果</b></p><p>　　利用程序搜索的結(jié)果為滿足條件的最小燈絲長(zhǎng)度為3.15毫米.</p><p>　　4.2.2 面積模型</p>

33、<p>　　4.2.2.1模型分析</p><p>　　通過(guò)測(cè)試屏坐標(biāo)點(diǎn)公式的計(jì)算,我們可得到以下結(jié)論:</p><p>　　(1) 對(duì)于線光源上的某一點(diǎn)光源發(fā)出的光線經(jīng)旋轉(zhuǎn)拋物面上任意一個(gè)交線圓上的或部分的半圓反射,在測(cè)試屏上的曲線近似為一個(gè)圓。</p><p>　　圖4.2.3.1是取的交線圓的部分曲線作為反射點(diǎn),取作為點(diǎn)光源得到的測(cè)試屏上的軌跡。

34、</p><p><b>　　圖4.2.3.1</b></p><p>　?。?）線光源上的某點(diǎn)光源在拋物曲面上反射后在測(cè)試屏上形成的點(diǎn)集， 的交線圓的部分曲線作為反射點(diǎn)得到的測(cè)試屏上的軌跡圓（其半徑最大）及其內(nèi)部的平均光強(qiáng)是其余部分的一半（如圖4.2.3.2）</p><p><b>　　圖4.2.3.2</b><

35、/p><p>　　設(shè)圖示的圓內(nèi)面積為S1，其光強(qiáng)為，其余面積為S2，光強(qiáng)為，點(diǎn)光源的反射光功率為P，則下式成立：</p><p>　?。?）線光源上的兩個(gè)不同的點(diǎn)光源（除焦點(diǎn)外）在測(cè)試屏上形成的光斑圖形相似，其面積比等于最大軌跡圓半徑的比的平方。</p><p>　?。?）根據(jù)測(cè)試屏坐標(biāo)點(diǎn)公式，可計(jì)算出只有當(dāng)線光源長(zhǎng)度大于3.12時(shí)才有反射光線經(jīng)過(guò)C點(diǎn)；大于1.56時(shí)才

36、有反射光線經(jīng)過(guò)B點(diǎn)。</p><p>　　綜合上述結(jié)論，當(dāng)線光源長(zhǎng)度為某一個(gè)值2d時(shí)，取線光源在x點(diǎn)附近的微小長(zhǎng)度dx。反射光在C點(diǎn)的光強(qiáng)和B點(diǎn)的光強(qiáng)如下</p><p>　　其中，q表示單位長(zhǎng)度線光源的功率，k為反射部分所占的比例，在d很小時(shí)近似為常數(shù)，即</p><p><b>　　由結(jié)論（3）得</b></p><p&

37、gt;　　其中c為系數(shù)常數(shù)，為給定位置為x的點(diǎn)光源產(chǎn)生的最大軌跡圓的半徑。</p><p>　　由此C點(diǎn)和B點(diǎn)的光強(qiáng)分別表示為：</p><p><b>　　其中.</b></p><p>　　下面確定函數(shù)。的解析解不可能用初等函數(shù)表示，故用數(shù)值積分的方法。</p><p>　　如圖4.2.3.3，距焦點(diǎn)為x的點(diǎn)光源經(jīng)過(guò)

38、的交線圓上的點(diǎn)A映射到測(cè)試面上的點(diǎn),點(diǎn)B映射到測(cè)試面上的點(diǎn)，點(diǎn)D映射到測(cè)試面上的點(diǎn)（根據(jù)對(duì)稱性，和重合）</p><p>　　圖4.2.3.3 </p><p>　　通過(guò)計(jì)算和兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可確定軌跡圓半徑。</p><p>　　由數(shù)值計(jì)算可知，當(dāng)時(shí)，恒有，所以問(wèn)題一的解為1.56*2=3

39、.12。</p><p><b>　　4.3 問(wèn)題二</b></p><p>　　4.3.1 遍歷搜索法</p><p>　　根據(jù)4.1的推導(dǎo)，只要給定P以及拋物面上的任意一點(diǎn)就可以確定在測(cè)試面上相應(yīng)的反射點(diǎn)，遍歷拋物面上的所有點(diǎn)，求出測(cè)試面上的點(diǎn)，即可畫出這一點(diǎn)的反射輪廓圖，如下圖所示：（a=1.65）</p><p>

40、;<b>　　圖4.3.1.1</b></p><p>　　在問(wèn)題一得到的線光源的每點(diǎn)處，都畫出反射輪廓圖，迭加在一起邊得到總的輪廓圖如圖4.3.2</p><p><b>　　圖4.3.1.2</b></p><p>　　對(duì)所得亮區(qū)輪廓圖的幾點(diǎn)分析：</p><p>　　1) 如下圖為在光源點(diǎn)(1

41、.56,0,15)處的反射測(cè)試圖，其中“＊”所標(biāo)為光源點(diǎn)通過(guò)橢球面的邊沿反射后的點(diǎn)軌跡，可以發(fā)現(xiàn)，“＊”所圍部分每一處都有兩個(gè)重復(fù)的反射點(diǎn)，而“＊”外面則有四個(gè)重復(fù)的反射點(diǎn)，可見(jiàn)，外部光強(qiáng)是內(nèi)部光強(qiáng)的兩倍，同時(shí)可以看出“＊”軌跡是一個(gè)圓。</p><p>　　2) 參看圖4.3.3可以發(fā)現(xiàn)，整個(gè)輪廓完全由x坐標(biāo)最大的光源點(diǎn)決定，即光源點(diǎn)偏離焦點(diǎn)越遠(yuǎn)，反射后的輪廓越大。</p><p>&l

42、t;b>　　圖4.3.1.3</b></p><p>　　4.3.2切片疊加法</p><p>　　為了畫出測(cè)試屏上反射光的亮區(qū)，需要對(duì)光源經(jīng)拋物面反射進(jìn)行模擬。這里涉及到對(duì)整個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面的搜索。按怎樣的方式來(lái)遍歷拋物面成了求解模型的關(guān)鍵。</p><p>　　對(duì)于遍歷球，我們不難想到有三種方式：</p><p>　　1)

43、以線光源為軸旋轉(zhuǎn)切面，如圖（1）。但存在問(wèn)題是在I區(qū)域重復(fù)切。我們不作考慮。</p><p><b>　　圖4.3.2.1</b></p><p>　　圖（2），沿FA軸，垂直FA切拋物面，所得為一個(gè)個(gè)交線圓。我們給出模型具體求解過(guò)程。</p><p>　　求解前，先給出以下定義：</p><p>　　定義 交線圓：垂

44、直于Z軸的一個(gè)面與旋轉(zhuǎn)拋物面的交線形成的圓</p><p>　　入射光線、法線、反射光線在同一平面，于是我們?cè)谠撈矫嫔嫌^察，化簡(jiǎn)成“求已知一直線關(guān)于另一直線對(duì)稱的直線方程”的一個(gè)的數(shù)學(xué)模型。</p><p>　　設(shè)線光源上任一點(diǎn)的空間坐標(biāo)為（x0,y0,z0）,記為P0；在某一切面上的任意點(diǎn)坐標(biāo)為（x1,y1,z1），記為P1；反射到檢測(cè)屏上的點(diǎn)為（x2,y2,z2），記為P2。</

45、p><p>　　見(jiàn)下圖4.3.2.2:</p><p><b>　　圖4.3.2.2</b></p><p>　　空間直線P1P0向量： =（x0-x1,y0-y1,z0-z1），</p><p>　　空間直線P1P2向量：＝（x2-x1,y2-y1,z2-z1），</p><p>　　旋轉(zhuǎn)拋物面方程

46、 ：，</p><p><b>　　記 ；</b></p><p>　　過(guò)拋物面上P1點(diǎn)的法向量記為。由二次曲面法向量求解公式：</p><p>　?。剑?，，）｜（x1,y1,z1）=（2x1,2y1,-60）。</p><p>　　歸一化：向量、模分別記為M1，M2。</p><p>　　M1=

47、|| P1P0||=，</p><p>　　M2=||P1P2||=。</p><p>　　歸一化后的向量分別為：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　可得出方程式：</b><

48、/p><p>　　利用Mathetatica強(qiáng)大的計(jì)算功能，可得出關(guān)于x2,y2一個(gè)表達(dá)式：</p><p>　　當(dāng)線光源上任一點(diǎn)P0向面鏡照射，在經(jīng)面上任一點(diǎn)P1反射后在測(cè)試屏上的位置p2可確定，記錄該點(diǎn)。然后先在交線圓上遍歷，再對(duì)不同半徑的交線圓遍歷的疊加、記錄，最終可得出反射光的區(qū)域，明暗程度也可得出。（主要編程算法見(jiàn)模型分析）。</p><p><b>

49、;　　模型分析：</b></p><p>　　圓切片模型的優(yōu)點(diǎn)是直觀上理容易解，理論上也容易推導(dǎo)出表達(dá)式（見(jiàn)上）。</p><p>　　在Matlab 的編程中，通過(guò)對(duì)Z1值的控制，即步長(zhǎng)的設(shè)定，一層層地遍歷整個(gè)拋物面，相應(yīng)的精度便可以控制。</p><p>　　當(dāng)Z1值知道，切面與旋轉(zhuǎn)拋物面的交線為一確定圓：。</p><p>

50、　　那么，圓方程可表示為極坐標(biāo)方程：</p><p><b>　　， （，）</b></p><p>　　通過(guò)對(duì)的控制，遍歷整個(gè)交線圓。</p><p>　　在對(duì)旋轉(zhuǎn)拋物面遍歷、線光源遍歷時(shí)，本質(zhì)上同對(duì)交線圓的遍歷原理相同，也是通過(guò)設(shè)置步長(zhǎng)來(lái)記錄各個(gè)反射點(diǎn)。</p><p>　　整個(gè)模型是個(gè)離散模型。理論上當(dāng)步長(zhǎng)趨于

51、無(wú)窮小時(shí)，便可等效為連續(xù)模型。實(shí)際中并不可行。因?yàn)榍蠼饽Ｐ偷乃惴ǜ爬椋狐c(diǎn)對(duì)點(diǎn)—→點(diǎn)對(duì)某一交線圓—→交線圓疊加成面—→點(diǎn)到線光源。所編程序?yàn)橐粋€(gè)三重循環(huán)。為追求精度，步長(zhǎng)設(shè)得愈小，精度愈高，實(shí)際操作性能也就越低。舉個(gè)例子，當(dāng)三個(gè)步長(zhǎng)均設(shè)為0.1，循環(huán)次數(shù)達(dá)到（720×216×36）。就是說(shuō)時(shí)間復(fù)雜度相當(dāng)高，為。這在實(shí)際中并不可行，建議這個(gè)模型做理論上的分析。</p><p>　　為驗(yàn)證正確性，

52、我們有選擇的遍歷了兩個(gè)交線圓。</p><p><b>　　交線圓半徑=</b></p><p>　　如圖4.3.2.3，是線光源上在X0=1.83的點(diǎn)在經(jīng)Z1=21.6,Z1=10處，即開(kāi)口半徑分別為36, 24.4949的兩個(gè)交線圓反射后在測(cè)試屏上所得的點(diǎn)。</p><p>　　圖4.3.2.4是利用模型一中所畫出的圖。結(jié)果符合地相當(dāng)好。&

53、lt;/p><p><b>　　圖4.3.2.3</b></p><p><b>　　圖4.3.2.4</b></p><p>　　3) 平行于軸且垂直于屏地切，即在圖4.3.2.1中的圖（1）上下平行切。這個(gè)算法其實(shí)跟方法2) 原理相同，通過(guò)層層遍歷得到線光源在整個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面的反射光在檢測(cè)屏上的亮區(qū)。這里不再重復(fù)。</

54、p><p><b>　　五．設(shè)計(jì)規(guī)范的討論</b></p><p><b>　　設(shè)計(jì)規(guī)范的合理性：</b></p><p>　　測(cè)試屏放在25米處的合理性討論</p><p>　　首先討論作為遠(yuǎn)光燈的測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)時(shí)的合理性。</p><p>　　人的平均反應(yīng)時(shí)間t約為0.5秒，汽車在

55、普通公路上行使的速度如果按照45千米/時(shí)計(jì)算。汽車緊急剎車的加速度為-5.0米/平方秒。當(dāng)司機(jī)在夜間駕駛，突然發(fā)現(xiàn)前方有緊急情況，經(jīng)過(guò)0.5秒后反應(yīng)過(guò)來(lái)采取緊急剎車措施，直到汽車完全停止前進(jìn)。整個(gè)過(guò)程汽車的前進(jìn)路程為21米。測(cè)試屏放在25米處，保證此處的亮度，以便司機(jī)及時(shí)發(fā)現(xiàn)情況，并有足夠時(shí)間和空間采取措施，這樣考慮還是合理的。但是隨著公里的發(fā)展，路況越來(lái)越好，車速也可以越來(lái)越快。尤其是在高速公路上，車速一般可達(dá)80千米/小時(shí)，轎車可以

56、達(dá)到100-120千米/小時(shí)。在這種情況下，在25米處測(cè)試顯然已經(jīng)不夠了。按照80千米/小時(shí)計(jì)算，測(cè)試距離應(yīng)該大于60米，而且對(duì)光強(qiáng)的要求也就相應(yīng)的增加了。還有，如果仍然以AC=2AB=2.6米來(lái)測(cè)試，顯然視角也變得太小，不利于司機(jī)發(fā)現(xiàn)情況。從這些角度考慮，這個(gè)方案的不合理性也就顯現(xiàn)出來(lái)了。</p><p>　　然而，如果這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)作為汽車的近光燈的測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)，還是比較合理的。近光燈的作用主要是照亮近處的路面狀況以及

57、路牌等,還有一個(gè)重要的作用就是照亮前面的車輛,以便司機(jī)在駕駛時(shí)能夠保持適合的車距.由于車輛在同方向行使時(shí),相對(duì)車速比較小,因此,25米的距離已經(jīng)足夠.</p><p>　　B、C兩點(diǎn)的位置關(guān)系與光強(qiáng)度的意義。</p><p>　　由問(wèn)題二的結(jié)論得，在25米處，反射光亮區(qū)在水平方向的臨界點(diǎn)在離對(duì)稱軸大約2.6米處。視角約為12度。每輛車一般都有左右兩個(gè)這種燈.所以,實(shí)際的視角還與車的寬度有關(guān)

58、.車寬按照2米來(lái)計(jì)算,則這個(gè)視角實(shí)際上是大約52度.這個(gè)角度對(duì)于司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方路面的狀況已經(jīng)足夠了。按照單車道的寬度為7米計(jì)算,總共7.2米的亮區(qū)寬度剛好照亮本車道的區(qū)域.而且，這個(gè)寬度還有一個(gè)很好的性質(zhì)就是不會(huì)影響到沿相對(duì)方向開(kāi)過(guò)來(lái)的車輛的司機(jī)的視線這也就是為什么在夜間有車輛對(duì)開(kāi)時(shí),司機(jī)一般要關(guān)掉遠(yuǎn)光燈,而只留下近光燈照明的原因..</p><p>　　對(duì)于測(cè)試中要求C點(diǎn)的光強(qiáng)度不小于某一額定值,目的顯然是為了保

59、證司機(jī)能夠看得足夠清楚.</p><p>　　本文建立的模型基于非常理想的情況：旋轉(zhuǎn)拋物面發(fā)生全反射；光在空氣中傳播沒(méi)有能量損失。事實(shí)上，當(dāng)考慮損失因子時(shí)，燈絲的長(zhǎng)度將增加。</p><p>　　真正設(shè)計(jì)時(shí)，在考慮鏡面介質(zhì)材料、燈罩等影響時(shí)，得到損失因子ki(i，代表不同情況下的損失權(quán)重)。本題的情況，若要更高的精確度，可設(shè)兩個(gè)權(quán)重系數(shù)，分別記k1 ,k2。k1：反射光的能量損失因子； k

60、2：直射光的能量損失因子。根據(jù)一二問(wèn)中建立的模型，我們只要分別在各自的總光強(qiáng)前乘以（1-ki）（ i=1,2）的系數(shù)即可。</p><p><b>　　六．參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　大學(xué)物理學(xué) 華金龍 王少杰 馮偉國(guó) 同濟(jì)大學(xué)出版社</p><p>　　應(yīng)用光學(xué) 張以謨

61、 機(jī)械工業(yè)出版社</p><p>　　工科數(shù)學(xué)分析 張傳義 包革軍 張彪 哈爾濱工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系</p><p>　　近代物理與高新技術(shù)物理基礎(chǔ) 陳澤民 清華大學(xué)出版社</p><p>　　線形代數(shù)與空間解析幾何 俞南雁 韓瑞珠 周建華 科學(xué)出版社</