投資聯(lián)結(jié)型人壽保單定價(jià)的蒙特卡羅方法研究

1、<p>　　投資聯(lián)結(jié)型人壽保單定價(jià)的蒙特卡羅方法研究</p><p>　　【摘要】文章主要在投資賬戶價(jià)值服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)、利率為常數(shù)、沒(méi)有交易費(fèi)用及市場(chǎng)無(wú)套利假定條件下，研究投資聯(lián)結(jié)型保單定價(jià)的蒙特卡羅方法。首先說(shuō)明在給定生命表?xiàng)l件下，此類(lèi)保單實(shí)際是一系列特殊的歐式期權(quán)組合，其次給出期權(quán)價(jià)格的表達(dá)形式，隨后給出運(yùn)用蒙特卡羅模擬方法求數(shù)值解具體步驟?？蓳?jù)此編寫(xiě)程序，用于實(shí)例計(jì)算。這為未來(lái)更深入的研究提供了

2、基礎(chǔ)。 </p><p>　　【關(guān)鍵詞】投資聯(lián)結(jié)型 人壽保險(xiǎn) 常數(shù)利率 蒙特卡羅 </p><p><b>　　一、引言 </b></p><p>　　隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，我國(guó)的保險(xiǎn)市場(chǎng)也取得了巨大的成就，保險(xiǎn)產(chǎn)品的合理定價(jià)對(duì)于保險(xiǎn)市場(chǎng)的進(jìn)一步發(fā)展有著尤為重要的意義。在此，我們以投資聯(lián)結(jié)型人壽保單為例，對(duì)其定價(jià)進(jìn)行研究。由于保單價(jià)值依賴于投資賬戶的

3、價(jià)值，且保險(xiǎn)實(shí)際上是一種期權(quán)，故在本文中，我們基于期權(quán)定價(jià)理論和蒙特卡羅模擬方法來(lái)研究此種保險(xiǎn)產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題。通過(guò)對(duì)投資賬戶價(jià)值建模，在此基礎(chǔ)上模擬出其價(jià)值路徑，就可計(jì)算出不同路徑下不同到期日的期權(quán)在初始時(shí)刻的價(jià)值，然后查生命表獲得被保險(xiǎn)人活到某時(shí)期的概率，以此求得期權(quán)價(jià)值的加權(quán)平均值，便得其公平保費(fèi)。最后加上保險(xiǎn)公司要求的利潤(rùn)，就得到躉繳保費(fèi)額。 </p><p><b>　　二、模型 </b&

4、gt;</p><p><b>　　（一）前提假設(shè) </b></p><p>　?。?）連續(xù)復(fù)利計(jì)息。設(shè)短期利率為常數(shù)r。投資賬戶在t時(shí)刻的價(jià)值記為St，且它服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)：dSt=μStdt+σStdwt；其中，μ、σ分別為投資賬戶的期望收益率和波動(dòng)率，且為正常數(shù)，通過(guò)歷史數(shù)據(jù)計(jì)算出；Wt為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，是投資賬戶價(jià)值的波動(dòng)來(lái)源。 </p>&l

5、t;p>　?。?）給定生命表以及被保險(xiǎn)人的年齡，記投保時(shí)為時(shí)刻0，則可通過(guò)查生命表獲得該被保險(xiǎn)人在投保后的第m年死亡（即他在m-1年末仍活著，而m年末死亡）的概率為Pm，且與St相互獨(dú)立。 </p><p>　?。?）記保單期限為T(mén)。若被保險(xiǎn)人在投保后，在某一年意外身亡，則保險(xiǎn)公司在該年末進(jìn)行賠付，賠付額為此時(shí)投資賬戶的價(jià)值。若保單到期時(shí)，被保險(xiǎn)人仍然健在，則不進(jìn)行賠付。即在m年末的賠付為 </p&g

6、t;<p>　　fm=Sm，若投保人在該年度死亡（概率為Pm）0，若投保人不在該年度死亡（概率為1-Pm） </p><p>　　（4）保險(xiǎn)公司要求的利潤(rùn)率為θ。市場(chǎng)是完備的。 </p><p><b>　?。ǘ┣蠼?</b></p><p>　　首先，我們說(shuō)明，此種投資聯(lián)結(jié)型人壽保單可視為一系列到期日不同的歐式期權(quán)的某種組合。

7、我們先看如下更簡(jiǎn)單的保單，它規(guī)定如果被保險(xiǎn)人在投保后的第m年死亡，則保險(xiǎn)公司賠付金額Sm，否則不進(jìn)行賠付。顯然，這是一個(gè)特殊的歐式期權(quán)（說(shuō)特殊，是因?yàn)樗膱?zhí)行有條件，即/被保險(xiǎn)人在第m年死亡0；且其執(zhí)行價(jià)格為0，這使得B-S公式無(wú)效）。通過(guò)模擬，我們可以獲得該期權(quán)在投保時(shí)的價(jià)值Vm。又由于Pm已知，因此，該保單可視為Pm份到期日為m（其中，m=1， 2， 3，，T）的上述期權(quán)的組合，從而，對(duì)各Vm以Pm做加權(quán)平均，即可得該保單的公平保費(fèi)

8、。其次，期權(quán)價(jià)格是到期日償付的貼現(xiàn)值的期望，且一般是在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度2下計(jì)算的。此測(cè)度通過(guò)如下變換可以得到：記真實(shí)測(cè)度為P，并以%P記一個(gè)新的概率測(cè)度。定義二者的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)為 =pt-exp[- λdwt- λ2ds]=exp[-λdwt- λ2t]；并定義wt=wt+λt，其中，λ=（μ-γ/σ），為投資賬戶價(jià)值的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。從而在測(cè)度%P下wt為布朗運(yùn)動(dòng)，而St滿足dSt=μstdt+σStdwt，即在此測(cè)度下，投資

9、賬戶的期望收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，從而p</p><p>　?。?）保險(xiǎn)期限通常為整數(shù)個(gè)年度，記為T(mén)。以一年為一個(gè)區(qū)間，將保險(xiǎn)期限離散化。 </p><p>　?。?）模擬St的路徑。由St在%P下服從漂移率為r的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，根據(jù)隨機(jī)微分方程的理論，可得：St=exp[rt- σ2t+σwt]。 </p><p>　　故在節(jié)點(diǎn)m（m=1，2，，，T）有：Sm=Sm-

10、1exp[r- σ2+σ（wt-wt-1）]；其中（wt-wt-1）為測(cè)度%P下，%wt 在區(qū)間[m-1，m]的變化，可知它服從均值為0、方差為1的正態(tài)分布，故文獻(xiàn)[1]可知，可通過(guò)生成相互獨(dú)立的T個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)來(lái)模擬此序列。從而給定投資賬戶的初始價(jià)值S0后，可通過(guò)上述遞推關(guān)系，生成St的路徑。 </p><p>　?。?）依照生成的St的路徑，以及假設(shè)4中fm的表達(dá)式，我們可得在該路徑下，到期日依次為1、

11、2、，、T的上述類(lèi)型期權(quán)在初始時(shí)刻的價(jià)值。 </p><p>　?。?）重復(fù)上述三個(gè)步驟，我們模擬M次（M為一個(gè)正整數(shù)），則我們可獲得M組到期日依次為1、2、…、T的期權(quán)的初始價(jià)值。求其期望，便可得上述期權(quán)的初始價(jià)值Vm（m=1，2，，，T）的一個(gè)數(shù)值解。再以概率pm做加權(quán)平均，即求V=ETm=1vmpm，便得到保單的公平保費(fèi)V。最后，將V乘以（1+θ），即得其定價(jià)。 </p><p>　

12、　依照此步驟，可以編寫(xiě)相應(yīng)的程序，用于現(xiàn)實(shí)計(jì)算。 </p><p><b>　　三、結(jié)語(yǔ) </b></p><p>　　本文中，我們?cè)谝幌盗屑俣l件下，研究了應(yīng)用蒙特卡羅模擬方法對(duì)投資聯(lián)結(jié)型人壽保單定價(jià)的問(wèn)題，我們首先說(shuō)明了此類(lèi)保單實(shí)質(zhì)上是一系列特殊歐式期權(quán)的組合，然后展示了應(yīng)用蒙特卡羅方法求其數(shù)值解的步驟。 </p><p>　　需要說(shuō)明的是

13、，在研究中，我們做出了許多假定，以突出我們想重點(diǎn)表達(dá)的思想。這樣的處理，無(wú)疑會(huì)導(dǎo)致一定的誤差。在未來(lái)的進(jìn)一步研究中，可以考慮對(duì)假定條件的如下放松。首先，可以假定利率也為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程；其次，可以加入交易成本；此外，還可以考慮參數(shù)和也為隨機(jī)過(guò)程的更真實(shí)的情形。希望本文為未來(lái)的進(jìn)一步研究奠定了一個(gè)基本框架。 </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)： </b></p><p>