轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的時滯加速度反饋控制【畢業(yè)論文】

1、<p>　　本科畢業(yè)設(shè)計(論文)</p><p>　題 目：轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的時滯加速度反饋控制</p><p>　學 院：</p><p>　學生姓名：</p><p>　專 業(yè)：信息與計算科學</p><p>　班 級：</p><p>　指導(dǎo)教師：</p&g

2、t;<p>　起止日期：</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　磁浮軸承-Jeffcott轉(zhuǎn)子是一種新型軸承類高科技產(chǎn)品, 是利用電磁力使軸承穩(wěn)定懸浮起來且它的控制系統(tǒng)可以控制軸心位置, 具有廣泛的應(yīng)用前景和極高的實用價值. 本文首先介紹了具有一個時滯加速度的磁浮軸承-Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型, 其次, 以時滯為參數(shù)來研究模型

3、的線性穩(wěn)定性. 通過分析系統(tǒng)線性化方程的特征根的分布情況, 得到不同參數(shù)時的平衡點的穩(wěn)定性條件, 進而得到平衡點的穩(wěn)定性區(qū)域. 再次, 當參數(shù)通過某些臨界值時, 得到模型Hopf分支的存在條件及其出現(xiàn)的結(jié)果. 最后, 應(yīng)用軟件進行數(shù)值模擬并畫出波圖和相圖, 得到的結(jié)果與理論結(jié)果一致. </p><p>　　關(guān)鍵詞: 磁浮軸承-Jeffcott轉(zhuǎn)子; 時滯; 加速度; 穩(wěn)定性; Hopf分支</p>

4、<p>　　Delay acceleration feedback control of rotor system</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　The Jeffcott rotor-magnetic bearing is a new type of bearing high-tech product, it

5、is to use the electromagnetic force make bearing suspended and its stability control system can control the axis position with high practical value and broad application prospect. This paper first introduced Jeffcott rot

6、or-magnetic bearing system model with a delay acceleration feedback, secondly, studying the linear stability of the model when delay as the control parameter. Through the distribution of the chara</p><p>　　K

7、eywords: Jeffcott rotor-magnetic bearing; Acceleration; Time delay; Stability; Hopf bifurcation</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要0</b></p><p>　　AbstractII

8、</p><p><b>　　目錄III</b></p><p><b>　　1 前言I</b></p><p>　　2 具時滯的反饋控制設(shè)計IV</p><p>　　2.1 局部穩(wěn)定性和Hopf分支IV</p><p>　　2.2 本章小結(jié)VII</p>

9、;<p><b>　　3 數(shù)值分析IX</b></p><p><b>　　4 結(jié)論XIV</b></p><p><b>　　參考文獻XV</b></p><p><b>　　致謝XVI</b></p><p><b>　

10、　1 前言</b></p><p>　　在主動式磁浮軸承系統(tǒng)的反饋環(huán)中發(fā)生時滯是不可避免的[1-3], 利用時滯的微分方程理論可以證明, 即使時滯很小也會導(dǎo)致一定系統(tǒng)解的不穩(wěn)定性[4], 對于非線性的反饋控制系統(tǒng), 時滯的存在不僅會導(dǎo)致振動的行為而且會導(dǎo)致更為復(fù)雜的行為. 對于磁性裝置的轉(zhuǎn)子, 即使時滯小到可以忽略的情況下[5], 也會對轉(zhuǎn)子的動力學性質(zhì)有很大的影響, 并且會影響反饋控制器的

11、運行. 因此就需要決定時滯的精確長度和由此帶來的對于系統(tǒng)的動力學行為所造成的影響. </p><p>　　圖2.1 磁浮軸承Jeffcott轉(zhuǎn)子運轉(zhuǎn)原理圖</p><p>　　如圖所示的磁浮軸承Jeffcott轉(zhuǎn)子模型, 把圖中固定子的中心假設(shè)為坐標原點, 把圓盤中心位移定義為(x, y), 在這個磁浮軸承系統(tǒng)中磁浮軸承被認為是一個附加的軸承, 它對轉(zhuǎn)子能夠產(chǎn)生非線性的磁場力和. 故這

12、個系統(tǒng)的數(shù)學模型表示為 </p><p><b>　　(2.1)</b></p><p>　　其中為圓盤的質(zhì)量, 為阻尼系數(shù), 為軸的柔韌度, 為偏心率, 為轉(zhuǎn)動速度, 其中點代表的是關(guān)于時間t的微分. </p><p>　　假設(shè)磁浮軸承是由兩組線圈的固定子構(gòu)成, 通電以后就會產(chǎn)生4個極, 那么極與極之間也會產(chǎn)生相互作用力,如果不忽略這個作用

13、力的話, 就會產(chǎn)生一對DOF(degree-of-freedom)的非線性系統(tǒng), 如果還帶有時滯的話, 那么幾乎不可能分析該系統(tǒng)不動點的穩(wěn)定性[6]. 為了討論的方便, 則忽略極與極之間的相互作用力, 那么系統(tǒng)的數(shù)學模型如(2.1)式. 因此, 系統(tǒng)在x和y方向的動力學行為可以分別來研究. 在本文中, 主要針對水平方向即x軸方向進行研究. 事實上, 垂直方向可以類似的進行研究. </p><p>　　對于磁浮軸承

14、-轉(zhuǎn)子系統(tǒng), 采用線性的電磁力形式, 往往不能獲得滿意的結(jié)果, 系統(tǒng)的穩(wěn)定性較差, 考慮非線性的電磁力將對磁浮軸承-轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性和故障的排除具有很大的意義. 因此, 在水平方向的力可以取為[7]</p><p><b>　　(2.2)</b></p><p>　　其中為磁場力常數(shù), 為偏差電流, 為控制電流, 為轉(zhuǎn)子與固定之間微小的空隙. 由于主動式磁浮軸承-轉(zhuǎn)子是利

15、用電磁力把轉(zhuǎn)軸懸浮在軸套中, 使得轉(zhuǎn)軸與軸套之間無接觸, 因而即使轉(zhuǎn)軸在高速轉(zhuǎn)動時也不存在震動和摩擦損耗, 從而達到最佳狀態(tài), 故轉(zhuǎn)子的正常工作范圍保持在附近[8]. 對于如等式(2.2)所示的非線性磁場力利用三階Taloy展開式可以在展開如下</p><p><b>　　(2.3)</b></p><p><b>　　其中. </b></

16、p><p>　　假設(shè)反饋控制系統(tǒng)產(chǎn)生的電流和轉(zhuǎn)子位移及加速度成正比, 即為PD控制器. 將PD控制的電流表表述為</p><p><b>　　(2.4)</b></p><p>　　其中: 是比例增益和導(dǎo)數(shù)增益, 是在反饋控制線圈中的時滯. </p><p>　　把等式(2.3)和(2.4)代入方程(2.1)中, 引入非

17、物理量參數(shù)</p><p>　　則x軸方向的系統(tǒng)方程變形為</p><p><b>　　(2.5)</b></p><p>　　其中, 表示關(guān)于非物理量時間T的微分, </p><p><b>　　, , , , </b></p><p><b>　　, , , &

18、lt;/b></p><p>　　本文將對施加加速度時滯反饋的磁浮軸承Jeffcott轉(zhuǎn)子模型進行討論, 在本文的第二部分, 利用穩(wěn)定性切換分析穩(wěn)定性和Hopf分支, 并得出結(jié)論; 在本文的第三部分我們將給出數(shù)值模擬結(jié)果, 畫出波圖和相圖, 并與理論結(jié)果相比較; 最后是本文的結(jié)論。</p><p>　　2 具時滯的反饋控制設(shè)計</p><p>　　2.1 局部

19、穩(wěn)定性和Hopf分支</p><p>　　在文獻[9]中關(guān)于特征值分布的如下結(jié)論</p><p><b>　　引理2.1令</b></p><p>　　這里, 是常數(shù), 那么當</p><p>　　變化時, 在開右半平面的零點的重數(shù)之和僅在虛軸上出現(xiàn)零點或穿過虛軸時才會發(fā)生變化[10]. </p><

20、p>　　令, 系統(tǒng)(2.5)變形為</p><p><b>　　(2.6)</b></p><p>　　系統(tǒng)(2.6)的線性部分</p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　其特征方程為</b></p><p><b

21、>　　(2.7)</b></p><p>　　當時, 方程(2.7)變?yōu)?lt;/p><p><b>　　且其特征根為</b></p><p><b>　　有如下結(jié)果：</b></p><p>　　結(jié)論2.1 假設(shè), </p><p>　　若, 式（2.7）有

22、一正一負實根;</p><p>　　若且, 式（2.7）有兩個正實部根;</p><p>　　若且式（2.7）有兩個負實部根;</p><p>　　若且, 式（2.7）有一對純虛根;</p><p>　　若, 式（2.7）有為其特征根. </p><p>　　設(shè)是式（2.7）的根, 將代入式（2.7）得</p&g

23、t;<p><b>　　解得：</b></p><p><b>　　得到如下結(jié)果：</b></p><p><b>　　結(jié)論 2.2</b></p><p>　　且時, 式（2.7）有一對純虛根;這里, 其中</p><p><b>　　, </b

24、></p><p>　　. (2.8)</p><p><b>　　且, 滿足. </b></p><p>　　當,且時, 式（2.7）有兩對純虛根, 其中. </p><p>　　這里的這里由式（2.8）定義,且, 滿足. </p><p>　　當,或且,

25、時, 對方程（2.7）至少存在一個正實部的根. </p><p>　　設(shè)是方程的（2.7）根, 滿足, , . </p><p>　　將代入方程（2.7）, 且兩邊對求導(dǎo), </p><p><b>　　得到：</b></p><p><b>　　且. </b></p><p&g

26、t;<b>　　結(jié)論 2.3</b></p><p>　　若,且時, 當, 方程（2.7）所有的特征根都具有嚴格的負實部. 當時, 方程（2.7）至少有一個正實部根. </p><p>　　若且. 對, 方程（2.7）至少有一個正實部根. </p><p>　　若, , , , 對, 方程（2.7）至少有一個正實部根. </p>

27、<p><b>　　若, </b></p><p>　　,且, 則, 當（其中）所有特征根具有嚴格的負實部, 而當時, 方程（2.7）至少有兩個正實部特征根. </p><p><b>　　若, , </b></p><p>　　,且, 則, 當所有特征根具有嚴格的負實部, 而當時（其中）, 方程（2.7）至少有

28、兩個正實部特征根. </p><p><b>　　2.2 本章小結(jié)</b></p><p>　　在這一章中主要討論了具有加速度時滯的磁浮軸承-Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分支情況, 總結(jié)以上結(jié)論再結(jié)合泛微分方程的Hopf分支理論, 對于式（2.6）的穩(wěn)定性和分支情況有：</p><p>　　若且時對于, 平衡點(0, 0)不穩(wěn)定.

29、 </p><p><b>　　若,且時, 當</b></p><p>　　系統(tǒng)（2.6）經(jīng)歷Hopf分支, 且在時, 平衡點(0, 0)是漸近穩(wěn)定的, 當時平衡點(0, 0)是不穩(wěn)定的. </p><p>　　若, 且時, 對平衡(0, 0)不</p><p><b>　　穩(wěn)定的. </b><

30、;/p><p><b>　　若, , </b></p><p>　　且時, 對平衡點 (0, 0)是不穩(wěn)定的. </p><p><b>　　若, , </b></p><p>　　且 且, 則當時系統(tǒng)（2.1）經(jīng)歷Hopf分支, 且</p><p>　　(i) 若, 則, 當

31、時（其中）平衡點(0, 0)是漸進穩(wěn)定的. 而當時平衡點(0, 0)是不穩(wěn)定的. </p><p>　　(ii) 若, 則, 當時平衡點(0, 0)是漸進穩(wěn)定的. 而當時（其中）平衡點(0, 0)是不穩(wěn)定的. </p><p><b>　　3 數(shù)值分析</b></p><p>　　在本節(jié)我們將對磁浮軸承-Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)方程的動力學性質(zhì)

32、進行數(shù)值仿真. 運用軟件進行相應(yīng)的數(shù)值計算和波圖, 相圖描繪. 對系統(tǒng)參數(shù), , , ,和分別取幾組不同的值, 分別給出方程（2.6）的幾組數(shù)值模擬結(jié)果. </p><p>　　設(shè)方程（2.6）變?yōu)?lt;/p><p><b>　　(3.1)</b></p><p>　　例 1 當, , , , 時, 方程(3.1)為</p><

33、;p><b>　　(3.2)</b></p><p>　　在系統(tǒng)(3.2)中：</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　由第二章小結(jié)可得, , 當時（其中）平衡點(0, 0)是漸進穩(wěn)定的, 經(jīng)計算可得,

34、, 分別令, , 得到圖3.1, 3.2, 3.3, 3.4. </p><p>　　圖3.1 當時系統(tǒng)(3.2)的波圖</p><p>　　圖3.2 當時系統(tǒng)(3.2)的相圖</p><p>　　圖3.3 當時系統(tǒng)(3.2)的波圖</p><p>　　圖3.4 當時系統(tǒng)(3.2)的相圖</p><p>　　例 2

35、當, , , ,時, 方程（3.1）為</p><p><b>　　(3.3)</b></p><p>　　在系統(tǒng)(3.3)中：</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　由第三章小結(jié)可得,

36、 當時（其中）平衡點(0, 0)是漸進穩(wěn)定的, 經(jīng)計算可得, , 分別令, , 得到圖3.5, 3.6, 3.7, 3.8. </p><p>　　圖3.5 當時系統(tǒng)(3.3)的波圖</p><p>　　圖3.6 當時系統(tǒng)(3.3)的相圖</p><p>　　圖3.7 當時系統(tǒng)(3.3)的波圖</p><p>　　圖3.8 當時系統(tǒng)(3.

37、3)的相圖</p><p><b>　　4 結(jié)論</b></p><p>　　本文主要對具有時滯的磁浮軸承-Jeffcott轉(zhuǎn)子模型的平衡點的分支性質(zhì)和穩(wěn)定性進行分析. 首先, 詳細地分析了系統(tǒng)的線性穩(wěn)定性. 由于系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子的最佳狀態(tài)為懸浮在磁浮軸承的固定子中心, 所以討論平衡點的局部穩(wěn)定性是有其實際意義的, 并且出于對實際問題的需要, 在反饋的比例項和導(dǎo)出項中的時滯

38、都應(yīng)該考慮. 我們的工作正是以這個時滯為參數(shù), 通過線性化系統(tǒng)的特征值分析, 給出了平衡點的穩(wěn)定性條件. 其次, 利用Hopf分支的存在性理論, 討論了系統(tǒng)存在Hopf分支的條件. 最后, 對幾個具體實例用軟件進行數(shù)值模擬, 將仿真結(jié)果與我們的理論分析結(jié)果相比較, 發(fā)現(xiàn)二者具有一致性. </p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　焦映厚, 陳照

39、波, 夏松波, 黃文虎, 張直明. 轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)非線性動力學行為的研究[J]. 中國機械工程. 2000, 6: 695-700.</p><p>　　李自新, 景敏卿, 羅岷, 虞烈. 非線性電磁力作用下的轉(zhuǎn)子不平衡響和界限碰摩轉(zhuǎn)速[J]. 振動工程學報. 2001, 14(1): 650-666.</p><p>　　蔣衛(wèi)華.時滯微分方程的分支分析. 哈爾濱工業(yè)大學博士學位論文[D]

40、. 2005, 8-29.</p><p>　　K.Cooke, Z.Grossman. Discrete Delay, Distributed Delay and Stability Switches[J]. J.Math.Anal.Appl. 1982, 86:592-627.</p><p>　　W.Wischert, A.Wunderlin, A.Pelster. Delay-in

41、duced Instabilities in Nonlinear Feedback Systems[J]. Phys.Rev. 1994, 49:203-219.</p><p>　　何欽象, 劉穎. 磁浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動態(tài)特性分析. 應(yīng)用力學學報. 2004, 21(3):111-118.</p><p>　　G.Schweitzer, H.Bleule, A.Traxler. A

42、ctive Magnetic Bearings, Basics, Properties and Applications of Active Magnetic Bearings[D]. Verlag der Fachvereine(vdf), ETH-Zurich. 1994, 756-769.</p><p>　　Y.Shen, S.Wang, L.Yu. Identification of the Dyn

43、amic Coefficients on Active Magnetic Bearing. The Eighth International Symposium on Magnetic Bearings, Japan. 2002, 369-374.</p><p>　　S.Ruan, J.Wei. On the Zeros of Transcendental Functions with Applications

44、 to Stability of Delay Differential Equations with Two Delays[J]. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. 2003, 10: 863-874.</p><p>　　J.Hale Theory of Functional Differential Equations[M]. Ne

45、w York:Springer, 1977. </p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　本人在撰寫畢業(yè)論文的過程中, 得到了老師和同學的熱心幫助. 這篇論文的寫作歷程無疑是艱辛的, 但此過程也使我在很多方面都得到了一定的提高, 可以說, 通過這一次畢業(yè)論文的寫作, 不僅汲取了豐富的知識, 也在很大程度上提高了自己的數(shù)學能力. 回想在寫這篇論文過

46、程中的點點滴滴, 酸甜苦辣一應(yīng)俱全, 心里滿腹心酸和感動, 五味雜陳. </p><p>　　很多同學和朋友在這一過程中支持我、鼓勵我, 讓我特別感動, 特別是我的畢業(yè)論文指導(dǎo)老師—李老師. 可以說, 這一系列復(fù)雜的寫作流程得以順利進行應(yīng)該首先歸功于他. 從論文結(jié)構(gòu)框架的設(shè)計, 寫作過程中的指導(dǎo), 再到論文一次又一次的修改, 以及論文其它資料的準備、修改、完善, 都是在他的悉心指導(dǎo)下進行的. 李老師淵博的知識,

47、嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度, 平易近人的品格, 始終激勵著我在寫畢業(yè)論文的道路上不斷開拓進取, 而且也對我以后的學習和工作產(chǎn)生不可磨滅的影響. 李老師每次的諄諄教導(dǎo)都讓我受益頗深. 借此機會, 真誠地向李老師致以衷心的感謝！李老師您辛苦了！</p><p>　　最后, 我也要感謝我的同學, 感謝你們四年的朝夕相處和鼓勵; 更要感謝曾經(jīng)教過我的所有任課老師和班主任劉老師, 正是你們孜孜不倦的教導(dǎo)使我不斷奮發(fā)向上, 勇往直前.