商高方程及其應(yīng)用[畢業(yè)論文]

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p><b>　　商高方程及其應(yīng)用</b></p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級

2、 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：商高方程是個(gè)古老的數(shù)學(xué)問題．是

3、二次不定方程的一個(gè)特殊形式．本文對商高方程的歷史背景、它的解的形式探索及應(yīng)用、推廣并在費(fèi)馬大定理中所處的重要地位進(jìn)行初步的介紹和研究．對其解的形式的部分結(jié)果給出證明．為學(xué)習(xí)和探究更復(fù)雜的二次及高次不定方程打下扎實(shí)基礎(chǔ)．</p><p>　　關(guān)鍵詞：商高定理；商高方程；費(fèi)馬大定理；二次不定方程</p><p>　　Pythagoras-equation And Its Application

4、s</p><p>　　Abstract:Pythagoras-theorem is the ancient mathematics question. This is a quadratic diophantine equation special form. This article to Pythagoras-theorem's historical perspective, its solutio

5、n's form explores and applies, the promotion and the important position which locates in the Fermat's last theorem carries on the preliminary introduction and the research. Gives the proof to its solution's f

6、orm's partial results. In order to study and inquire into that more complex two and the higher mode </p><p>　　Key words: Pythagoras theorem; Pythagoras-equation; Fermat's last theorem; quadratic diop

7、hantine equations</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p><p><b>　　1.1 概論1</b></p><p>　　1.2 商高定理及費(fèi)馬大定理的歷史背景1</p><

8、;p>　　1.2.1 商高定理的歷史背景1</p><p>　　1.2.2 費(fèi)馬大定理的歷史背景2</p><p>　　1.3 商高方程和費(fèi)馬猜想的研究過程、現(xiàn)狀以及發(fā)展方向3</p><p><b>　　2 商高方程4</b></p><p>　　2.1 一次不定方程簡介4</p><

9、;p>　　2.2 商高方程解的形式5</p><p>　　2.3 商高方程求解舉例7</p><p>　　3 商高方程應(yīng)用之推廣9</p><p>　　4 費(fèi)馬猜想的部分證明13</p><p>　　4.1 兩個(gè)引理13</p><p>　　4.2 費(fèi)馬猜想當(dāng)時(shí)的證明15</p><

10、;p><b>　　5 總結(jié)22</b></p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)22</b></p><p><b>　　引言</b></p><p><b>　　概論</b></p>&l

11、t;p>　　初等數(shù)論研究的是整數(shù)最基本的性質(zhì)，是一門十分重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課．其內(nèi)容豐富而又充滿魅力．就如潘承彪教授說的那樣：好像沒有一門學(xué)科像“初等數(shù)論”那樣，它的最基本的內(nèi)容可以同時(shí)作為中小學(xué)生、大學(xué)生以及研究生的一門課程，當(dāng)然在內(nèi)容的深淺難易上各有不同．直到現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家們?nèi)詷反瞬黄５闹鴶?shù)論中那些看似簡單，但仍未找到其證明方法的問題．就如眾說周知但至今尚未解決的“哥德巴赫猜想”，幾百年來挑戰(zhàn)了眾多數(shù)學(xué)家的智慧，也得到了不少著名結(jié)果

12、，卻依舊是那樣的神秘．足以可見這門課程的獨(dú)特魅力所在．而中國在初等數(shù)論的研究有著悠久的歷史和杰出的貢獻(xiàn)．如：商高定理、中國剩余定理等．初等數(shù)論中一個(gè)重要分支就是不定方程．其中最著名的二次不定方程商高方程的求解問題是本文研究的焦點(diǎn)．它的解的形式多樣，其內(nèi)容豐富多彩．只有弄清商高方程，才能對不定方程有更深入的把握，才能繼續(xù)研究形式更復(fù)雜的不定方程解的情況，并對著名的費(fèi)馬大定理（解的存在性）有更清楚的認(rèn)識．</p><p&

13、gt;　　商高定理及費(fèi)馬大定理的歷史背景</p><p><b>　　商高定理的歷史背景</b></p><p>　　商高定理是個(gè)歷史悠久的著名定理，我國古人在這方面的研究留下了一系列寶貴的著作．《周髀算經(jīng)》就是我國流傳下來的一部重要的數(shù)學(xué)著作，該書原名《周髀》，大約成書于公元2世紀(jì)．它包含了相當(dāng)深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)容，其主要成就包括分?jǐn)?shù)運(yùn)算、商高定理（勾股定理）及其在天文學(xué)

14、測量的應(yīng)用．</p><p>　　該書卷首記述了一段精彩的對話：</p><p>　　昔者周公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？”</p><p>　　商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一．故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五．既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五．兩

15、矩共長二十有五，是謂積矩．故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也．”［１］由于此定理是商高發(fā)現(xiàn)的，所以稱為“商高定理”．</p><p>　　《周髀算經(jīng)》里還這樣記載：周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸．髀者，股也，正晷者，勾也．正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸．日益表南，晷日益長．候勾六尺, 即取竹，空經(jīng)一寸，長八尺，捕影而觀之，室正掩日，而日應(yīng)空之孔．由此觀之, 率八十寸而得徑寸，故此勾為首，以髀為股，從髀至

16、日下六萬里而髀無影，從此以上至日，則八萬里．［１］這段文字描述了中國古代人民如何利用商高定理在科學(xué)上進(jìn)行實(shí)踐．</p><p>　　基于上述淵源，所以我們把這一定理叫做“勾股定理”或“商高定理”．這是中國最早關(guān)于勾股定理書面記載．</p><p>　　在稍后一點(diǎn)的《九章算術(shù)》一書中，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)．書中的《勾股章》說:“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進(jìn)行開方

17、，便可以得到弦．”把這段話列成算式，即為:，即：．</p><p>　　文［３］指出：中國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進(jìn)行證明的，是三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽．趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明．由此可見，我國在商高定理的研究上有悠久的歷史和杰出的貢獻(xiàn)．</p><p>　　文［２］指

18、出：西方勾股定理又稱畢達(dá)哥拉斯定理．在西方的文獻(xiàn)中，勾股定理一直以古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的名字來命名．據(jù)說畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理后斬了百頭牛慶祝，因此又稱“百牛定理”．但迄今為止并沒有畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理的直接證據(jù)．希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾里德(Euclid,公元前三百年左右的人)在編著《幾何原本》時(shí)，認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個(gè)定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，以后就流傳開了． </p><p&

19、gt;　　值得說明的是，由于《幾何原本》的廣泛流傳，歐幾里得的證明是勾股定理所有證明中最為著名的，為此，希臘人稱之為“已婚婦女的定理”；法國人稱之為“驢橋問題”；阿拉伯人稱之為“新娘圖”、“新娘的坐椅”；在歐洲，又有人稱之為“孔雀的尾巴”或“大風(fēng)車”等，這些可能是從其幾何圖形得到的靈感吧！</p><p>　　費(fèi)馬大定理的歷史背景</p><p>　　費(fèi)馬達(dá)定理的發(fā)現(xiàn)者是費(fèi)馬，他是法國著名

20、數(shù)學(xué)家．被稱為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”．</p><p>　　公元1637年，費(fèi)馬在研究丟番圖的《算術(shù)》一書時(shí)，想到了畢達(dá)哥拉斯問題的推廣．費(fèi)馬在《算術(shù)》一書的空白處寫到:“不可能將一個(gè)高于2次的冪寫成兩個(gè)同樣冪次的和”．即當(dāng)整數(shù)時(shí)，無正整數(shù)解．同時(shí)，還寫下批注:“我有一個(gè)對這個(gè)命題的十分美妙的證明，很可惜這里空白太小寫不下了！”［１］費(fèi)馬沒有想到，他隨手寫下這句話，竟成了幾個(gè)世紀(jì)以來，一代又一代無數(shù)的世界級的優(yōu)秀數(shù)學(xué)

21、家，經(jīng)過艱難曲折的奮斗，都未能證明這有名的費(fèi)爾馬大定理．直到1993年，英國數(shù)學(xué)家懷爾斯證明了這個(gè)猜想，最終解決了困惑世間智者長達(dá)358年的迷．</p><p>　　商高方程和費(fèi)馬猜想的研究過程、現(xiàn)狀以及發(fā)展方向</p><p>　　如今，當(dāng)我們談到商高定理時(shí)，更多的是它在不定方程中的特殊地位．即商高不定方程方程的求解．對于商高方程的解，所研究的是非顯然解中的本原解，即滿足以下條件的解：．

22、在這方面的研究成果已有很多，形式也是多樣．從古代的畢達(dá)哥拉斯、柏拉圖到當(dāng)代我國的柯召、孫琦都各自不同的研究方法和結(jié)論．不僅如此，還引發(fā)各類不同的猜想．如：Teriai猜想、Tesmanowicz猜想、werner猜想等等．有些問題至今仍未解決．由此可見，商高不定方程的后續(xù)研究都是建立在對商高方程解的深刻研究的基礎(chǔ)之上．其中，最著名的要數(shù)是商高定理的一個(gè)推廣：費(fèi)馬大定理．300百多年來已證實(shí)它是向人類智慧挑戰(zhàn)的一個(gè)數(shù)學(xué)難題．有人曾悲觀地說

23、：“在我們這個(gè)星球上的人的智慧，還沒有達(dá)到那樣高的水平，能解決費(fèi)爾馬大定理”．文［16］指出費(fèi)馬大定理的證明經(jīng)歷了風(fēng)風(fēng)雨雨：1753年，大數(shù)學(xué)家歐拉作出了突出貢獻(xiàn)，他證明時(shí)，費(fèi)爾馬大定理成立，實(shí)際上他證明了時(shí)，費(fèi)爾馬大定理成立．1825年，解析幾何的創(chuàng)始人、大數(shù)學(xué)家高斯證明了時(shí)，費(fèi)爾馬大定理成立．1837年，大數(shù)學(xué)家柯西、庫默爾與女?dāng)?shù)學(xué)家熱爾曼同時(shí)證明了時(shí)，費(fèi)爾馬大定理成立．1847年德國數(shù)學(xué)家土爾</p><p&g

24、t;　　而現(xiàn)在，人們則利用前人的研究成果進(jìn)一步進(jìn)行開拓，以用來探索那些歷史遺留下來的尚未解決的數(shù)論難題，并對更高次更高元的不定方程的求解方法不斷的嘗試，得出一些著名的結(jié)論．</p><p><b>　　商高方程</b></p><p><b>　　一次不定方程簡介</b></p><p>　　商高是方程是特殊形式的二次不定

25、方程．為了清楚地理解商高方程，在討論它之前，我們先來認(rèn)識一下什么是不定方程以及它的最簡單的形式：一次不定方程．</p><p>　　我們知道變數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，且取整數(shù)值的方程（或方程組）稱為不定方程（或不定方程組）．</p><p>　　定義2.1［5］ 設(shè)整數(shù)，c, ,,都不等于零，以及,,是整數(shù)變數(shù)．方程</p><p><b>　　(2.1.1)

26、</b></p><p>　　稱為k元一次不定方程，,,稱為它的系數(shù)．</p><p>　　先來了解一下二元一次不定方程的一些性質(zhì)：</p><p>　　定理2.1［5］ 不定方程有解的充要條件是．進(jìn)而，不定方程（2.1.1）有解時(shí)，它的解和不定方程</p><p><b>　?。?.1.2）</b><

27、/p><p>　　的解相同，這里g=．</p><p>　　證：必要性顯然．若，設(shè)．則必有整數(shù)使得</p><p><b>　?。?.1.3）</b></p><p>　　因此即為（2.1.1）的一組解，這就證明了充分性．由于（2.1.1）有解時(shí)必有，而這使不定方程（2.1.1）和（2.1.2）是同一個(gè)方程的，這就證明了后一

28、個(gè)結(jié)論．</p><p>　　定理2.2［8］ 設(shè)二元一次不定方程</p><p><b>　　(2.1.4）</b></p><p>　　有解，是它的一組解．那么它的所有解為</p><p>　　其中． （2.1.5）</p><p>　　證：容易直接驗(yàn)證由式（2.1

29、.5）給出的，對所有整數(shù)都滿足不定方程（2.1.4）.反之，設(shè)是不定方程（2.1.4）的一組解，我們有</p><p><b>　　所以有</b></p><p>　　因?yàn)?，故可得，進(jìn)而由以上兩式得．這就證明了可表示為（2.1.5）的形式．證畢．</p><p>　　這樣我們就得到了二元一次不定方程的一般解．</p><p&

30、gt;　　通過一些例子我們來了解二元一次不定方程一般解的應(yīng)用．</p><p>　　例2.1 求的全部解．</p><p>　　解：由于，,所以方程有解．由觀察法得,是一組特解．因此全部解是</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　例 2.2 求的解．</p><p>　　解：

31、由知不定方程無解．</p><p><b>　　商高方程解的形式</b></p><p>　　商高方程是二次不定方程的一種特殊的形式，本節(jié)要深入研究其一般解．</p><p>　　我們知道二次不定方程</p><p><b>　?。?.2.1）</b></p><p>　　稱

32、為商高方程． 方程（2.2.1）滿足的解稱為顯然解，的解稱為非顯然解．</p><p>　　文［５］指出：全體顯然解是</p><p>　?。?，， （2.2.2）</p><p>　　這里正負(fù)號任意選?。魓，y，z是（2.2.1）的非顯然解，那么對于任意正整數(shù)k，（正負(fù)號任選）也是（2.2.1）的非顯然解；以及對x,y,z的

33、任意的正公約數(shù)，（正負(fù)號任選）也是（2.2.1）的非顯然解．因此，為了求出全部非顯然解，只要求方程（2.2.1）滿足一下條件的解</p><p><b>　　（2.2.3）</b></p><p>　　即既約正解x，y，z，這樣的解稱為方程（2.2.1）的本原解．</p><p>　　在我們討論商高方程的本原解之前先來了解一個(gè)引理．</p

34、><p>　　引理2.3 不定方程（2.2.1）的本原解x，y，z必滿足條件：</p><p><b>　?。?.2.4）</b></p><p><b>　?。?.2.5）</b></p><p>　　證：假設(shè)x，y不既約，既有素?cái)?shù)，由（1）知．由此可知．于是，但這與矛盾．同理可證．由知，x，y也不能

35、同時(shí)為奇數(shù)．因?yàn)槿敉瑸槠鏀?shù)，則可得及z為偶數(shù)．而由（2.2.1）知矛盾．所以x,y必為一奇一偶，即式（2.2.5）成立．</p><p>　　定理2.4［7］ 不定方程（2.2.1）滿足條件的全體本原解滿足以下公式：</p><p><b>　?。?.2.6）</b></p><p>　　其中r，s為滿足一下條件的任意整數(shù)：</p>

36、<p><b>　　（2.2.7）</b></p><p>　　證［7］：先證由（2.2.6），（2.2.7）給出的x，y，z一定是本原解且．容易驗(yàn)證：對任意的r，s（不一定滿足（2.2.7）），由式（2.2.6）給出的x，y，z一定是（2.2.1）的解且．由知，是正解．由式（2.2.6）知．故可得，而，因而．由條件知，所以必有．這就證明了所要的結(jié)論．</p>&

37、lt;p>　　下證：方程（2.2.1）的每一組本原解一定為（2.2.6）的形式，且r，s滿足（2.2.7）.由引理2.3知，由此及得知．因而有</p><p><b>　?。?.2.8）</b></p><p><b>　　而，由此及</b></p><p><b>　　推出</b></p

38、><p>　　由上式以及式（2.2.8）得</p><p>　　這里r，s是兩個(gè)正整數(shù)，且．從上式及式（2.2.8）立即推出式（2.2.6）成立．進(jìn)而由知．這就證明了所要的結(jié)論．證畢．[5]</p><p>　　從定理2.4及一開始的討論就可以得到（2.2.1）的全部解：顯然解由式（2.2.2）給出，非顯然解是</p><p><b>

39、　?。?.2.9）</b></p><p><b>　　及</b></p><p><b>　?。?.2.10）</b></p><p>　　其中r，s滿足式（2.2.7），k是任意的正整數(shù)，正負(fù)號任意?。@見，全去正號及k=1，就給出了全部本原解．</p><p>　　求商高方程解形式

40、的方法稱為無窮遞降法．</p><p><b>　　商高方程求解舉例</b></p><p>　　文［５］給出了求商高方程全部解的具體例子：</p><p>　　例2.3 求的不定方程的全部解．</p><p>　　解：顯然解是．為求非顯然解，由式（2.2.9）和（2.2.10）知，先要把65表示為</p>

41、<p>　　其中r，s滿足2.2式（7），．可取1，5，13．但時(shí)，</p><p><b>　　即，相應(yīng)的解為</b></p><p><b>　　及</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，</b></p><p><b>　　即,相應(yīng)的解為<

42、/b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，</b></p><p><b>　　即，相應(yīng)的解為</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　這就求出了全部解，本原解有</p><p>　　63，16，65；33，56，65&

43、lt;/p><p><b>　　及</b></p><p>　　16，63，65；56，33，65</p><p>　　這就給出了解商高方程的一種方法．依次方法就能找到其所有解．</p><p><b>　　商高方程應(yīng)用之推廣</b></p><p>　　接下來要研究的是運(yùn)用商高

44、方程解的形式及無窮遞降法來解決類似于此形式的高次不定方程解的情況，從而逐步的逼近費(fèi)馬大定理．</p><p>　　定理3.1［5］ 不定方程</p><p><b>　?。?.1）</b></p><p><b>　　無的解．</b></p><p>　　證（無窮遞降法）［5］：只要證明方程為（3.

45、1）無正整數(shù)解．用反證法．假若（3.1）有正整數(shù)解，那么在全體正整數(shù)解中，必有一組解，使得取最小值．要找出一組正整數(shù)解，滿足，得出矛盾．</p><p>　?。╥）必有．若不然，就有素?cái)?shù)．故此可得．因此，也是（3.1）的正整數(shù)解，這和的最小性矛盾．所以是方程（3.1）的本原解．由引理2.3知必為一奇一偶，不妨設(shè)，以及．</p><p>　　(ii)．由于，由此及得．由此得出</p&g

46、t;<p><b>　　所以</b></p><p><b>　　這里．進(jìn)而與</b></p><p><b>　?。?.2）</b></p><p>　　(iii)．因?yàn)椋煽赏瞥觯虼耍玫?lt;/p><p><b>　?。?.3）</b>

47、</p><p><b>　　這里及．</b></p><p>　?。╥v）由u，v滿足的條件及（3.3）推出</p><p>　　及u，a，v是方程的本原解且．因此由定理2.4知：必有r，s滿足式（2.2.7）使得</p><p>　　由式（3.3）的第二式得</p><p>　　這表明r，s，

48、b是方程（3.1）的正整數(shù)解，且有，這和的最小性矛盾，所以（3.1）無正整數(shù)解．證畢．</p><p>　　從本質(zhì)上講，無窮遞降法是一種用反證法表現(xiàn)的特殊形式的數(shù)學(xué)歸納法，他是由費(fèi)馬創(chuàng)立的．我們可以總結(jié)其步驟：假設(shè)存在一組整數(shù)解，設(shè)法構(gòu)造出這個(gè)方程的另一組整數(shù)解，而新的解比原來的解“嚴(yán)格地小”．由上面過程可以無限制地進(jìn)行下去．也可以假設(shè)整數(shù)解中的一組“最小”的解，通過遞降得到一組新的“更小”的解，由此產(chǎn)生矛盾．&

49、lt;/p><p>　　定理3.1的幾何意義是：不存在直角邊長均為平方數(shù)的商高三角形．由上定理即可得： </p><p>　　由定理定理3.1的結(jié)論我們不難得到一下結(jié)果：</p><p><b>　　不定方程</b></p><p><b>　?。?.4）</b></p><p>

50、;<b>　　無的解</b></p><p>　　證：可把上式看成．根據(jù)定理1可知其沒有的解．故可得（3.4）無解．證畢．</p><p>　　定理3.2［11］ 不定方程</p><p><b>　　（3.5）</b></p><p>　　的滿足條件的全部正整數(shù)解是</p><

51、p><b>　　(3.6)</b></p><p><b>　　及</b></p><p><b>　　(3.7)</b></p><p>　　其中a,b為滿足一下條件的任意整數(shù)：</p><p>　　a >b>0, (a,b)=1,

52、 (3.8)</p><p>　　證：設(shè)x,y,z是（3.4）的正整數(shù)解，滿足（x,y）=1．因此，是方程（2.2.1）的本原解。由引理2.3知，x,y為一奇一偶，不妨設(shè)．由定理2.4知，必有</p><p><b>　　（3.9）</b></p><p>　　其中r,s滿足式（2.27）．因而r,s,z也是方程（1）的本

53、原解．若，則由定理2.4知</p><p><b>　?。?.10）</b></p><p><b>　　其中a,b滿足</b></p><p><b>　?。?.11）</b></p><p>　　由式（3.9），（3.10）得</p><p><

54、;b>　?。?.12）</b></p><p><b>　　由式（3.11）得</b></p><p><b>　　（3.13）</b></p><p>　　若，則由定理2.4知</p><p><b>　?。?.14）</b></p><

55、p><b>　　其中a,b滿足</b></p><p><b>　　（3.15）</b></p><p>　　由式（3.9），（3.14）得</p><p><b>　　（3.16）</b></p><p><b>　　由式（3.15）得</b>&l

56、t;/p><p><b>　?。?.17）</b></p><p>　　由式（3.12），（3.16）及式（3.13），（3.17）推出：當(dāng)時(shí)，解由式（3.6），（3.8）給出．由對稱性推出，當(dāng)時(shí)，解由式（3.7），（3.8）給出．此外，容易直接驗(yàn)證：由式（3.6），（3.7），（3.8）給出的x,y,z一定是方程（3.5）滿足的解．定理證畢．</p>&l

57、t;p><b>　　費(fèi)馬猜想的部分證明</b></p><p>　　本節(jié)我們要由以上結(jié)論從商高方程解的形式簡單地討論費(fèi)馬猜想：</p><p>　　當(dāng)時(shí)無解．最后要證明當(dāng)時(shí)，費(fèi)馬猜想成立．其中p為素?cái)?shù)．</p><p><b>　　兩個(gè)引理</b></p><p>　　我們先來看由文［17］給

58、出的兩個(gè)定理：</p><p>　　引理4.1 在y為奇數(shù)，x，y，z彼此互素時(shí)，方程</p><p><b>　　（4.4.1）</b></p><p><b>　　的解為</b></p><p><b>　?。?.1.2）</b></p><p>&

59、lt;b>　　（4.1.3）</b></p><p><b>　?。?.1.4）</b></p><p>　　這里，，為偶數(shù)；；；</p><p><b>　　（4.1.5）</b></p><p><b>　?。?.1.6）</b></p>&

60、lt;p><b>　?。?.1.7）</b></p><p><b>　?。?.1.8）</b></p><p>　　其中，式子中的各項(xiàng)是分別把式子中的各項(xiàng)顛倒寫．證明方法同定理2.4.</p><p>　　引理4.2 在且是素?cái)?shù)，彼此互素時(shí)，設(shè)方程</p><p><b>　　(4

61、.1.9)</b></p><p><b>　　的解為．于是，可有</b></p><p>　?。?）在z為偶數(shù)時(shí)，設(shè)．由式（4.1.9）可得</p><p><b>　?。?.1.10）</b></p><p>　　這里為偶數(shù)，為奇數(shù)；．</p><p>　?。?/p>

62、i）在p不整除時(shí)，因?yàn)?，則可有</p><p><b>　?。?.1.11）</b></p><p><b>　?。?.1.12）</b></p><p>　　（ii）在p不整除，p整除時(shí)，因?yàn)椋瑒t可有</p><p><b>　?。?.1.13）</b></p>

63、<p><b>　?。?.1.14）</b></p><p>　　（iii）在p整除，p不整除時(shí)，因?yàn)?，則可有</p><p><b>　?。?.1.15）</b></p><p><b>　　（4.1.16）</b></p><p>　?。?）在x為偶數(shù)時(shí)，設(shè)．由

64、式（4.1.9）可得</p><p><b>　?。?.1.17）</b></p><p>　　這里為奇數(shù)，為偶數(shù)；．</p><p>　?。╥）在p不整除時(shí)，因?yàn)?，則可有</p><p><b>　?。?.1.18）</b></p><p><b>　　（4.1.

65、19）</b></p><p>　　（ii）在p整除，p不整除時(shí)，因?yàn)?，則可有</p><p><b>　?。?.1.20）</b></p><p><b>　?。?.1.21）</b></p><p>　?。╥ii）在p不整除，p整除時(shí)，因?yàn)?，則可有</p><p&

66、gt;<b>　　（4.1.22）</b></p><p><b>　?。?.1.23）</b></p><p><b>　　費(fèi)馬猜想當(dāng)時(shí)的證明</b></p><p>　　接下來我們嘗試著用商高方程解的形式證明費(fèi)馬猜想在時(shí)成立．</p><p>　　證［18］：在x，y，z比

67、彼此互素，x為偶數(shù)式，設(shè)是方程</p><p><b>　　（4.2.1）</b></p><p><b>　　的解．</b></p><p>　?。?）方程（4.2.1）可為</p><p><b>　?。?.2.2）</b></p><p>　　根據(jù)

68、引理4.1 ，式（4.2.2）的解為</p><p>　　或 （4.2.3）</p><p><b>　　（4.2.4）</b></p><p><b>　?。?.2.5）</b></p><p>　　根據(jù)定理2.4的，式（4.2.4）的解為</p>

69、<p><b>　　（4.2.6）</b></p><p><b>　?。?.2.7）</b></p><p><b>　?。?.2.8）</b></p><p>　　這里，，為奇數(shù)，為偶數(shù)；為偶數(shù)．其中式（4.2.3），（4.2.5）中的和所表示的式子分別與引理4.1中的式（4.1.7

70、），（4.1.8），（4.1.5）相同．</p><p>　　由式（4.2.3），（4.2.7）可有</p><p>　　或 （4.2.9）</p><p>　　這里或．于是在式（4.2.4）有解的同時(shí)，式（4.2.3）也同時(shí)有解．</p><p>　?。?）方程（4.2.1）還可以為</p><

71、;p><b>　?。?.2.10）</b></p><p>　　根據(jù)定理2.4，式（2.2.10）的解為</p><p><b>　?。?.2.11）</b></p><p><b>　?。?.2.12）</b></p><p><b>　　（4.2.13）&l

72、t;/b></p><p>　　根據(jù)引理4.1，式（4.1.12）的解為</p><p><b>　?。?.2.14）</b></p><p><b>　　（4.2.15）</b></p><p><b>　?。?.2.16）</b></p><p&g

73、t;<b>　　這里為偶數(shù)．</b></p><p>　　由式（4.2.11），（4.2.14），（4.2.15）可有</p><p><b>　?。?.2.17）</b></p><p><b>　　這里或，或．</b></p><p>　　同時(shí)由式（4.2.9），（4.2.

74、17）可有</p><p><b>　?。?.2.18）</b></p><p>　　（3）在為偶數(shù)，為奇數(shù)時(shí)，分別有</p><p>　　（i）在不整除時(shí)，從式（4.2.9）可知，不整除．因?yàn)?，由?.2.9）可有</p><p><b>　?。?.2.19）</b></p><

75、;p><b>　　（4.2.20）</b></p><p><b>　?。?.2.21）</b></p><p>　　因此在式（4.2.19）有解的同時(shí)，式（4.2.20）也同時(shí)有解．設(shè)是式（4.2.20）所有解中的最小解．</p><p>　　從式（4.2.17）可知，不整除，不整除．因?yàn)椋?，由式?.2.17）可

76、有</p><p><b>　?。?.2.22）</b></p><p><b>　?。?.2.23）</b></p><p><b>　?。?.2.24）</b></p><p><b>　　（4.2.25）</b></p><p&g

77、t;　　故在式（22）即式（19）有解的同時(shí)，式（25）也同時(shí)有解．由式（20），（25）可有</p><p><b>　?。?.2.2.6）</b></p><p>　　（ii）在不整除整除時(shí)，從式（4.2.9）可知整除．因?yàn)椋?，由式?.2.9）可有</p><p><b>　　（4.2.27）</b></p&g

78、t;<p><b>　?。?.2.28）</b></p><p><b>　?。?.2.29）</b></p><p>　　因此式（4.2.27）有解的同時(shí)，式（4.2.28）也同時(shí)有解．設(shè)是式（4.2.28）所有解中的最小解．</p><p>　　從式（17）可知不整除，整除．因?yàn)?，，由式?.2.17）可

79、有</p><p><b>　?。?.2.30）</b></p><p><b>　?。?.2.31）</b></p><p><b>　　（4.2.32）</b></p><p><b>　?。?.2.33）</b></p><p&g

80、t;　　因此在式（4.2.27）即式（4.2.30）有解的同時(shí)，式（4.2.33）也同時(shí)有解．由式（4.2.28），（4.2.33）可有</p><p><b>　　（4.2.34）</b></p><p>　?。╥ii）在整除不整除時(shí)，從式（4.2.9）可知，整除．因?yàn)椋?，由式?.2.9）可知</p><p><b>　?。?.2

81、.35）</b></p><p><b>　?。?.2.36）</b></p><p><b>　　（4.2.37）</b></p><p>　　因此，在式（4.2.35）有解的同時(shí)，式（4.2.36）也有解．設(shè)是式（4.2.36）說有解中的最小解．</p><p>　　從式（4.2.1

82、7）可知整除不整除．因?yàn)?，，由式?.2.17）可知</p><p><b>　?。?.2.38）</b></p><p><b>　?。?.2.39）</b></p><p><b>　?。?.2.40）</b></p><p><b>　?。?.2.41）<

83、/b></p><p>　　因此在式（4.2.35）即式（4.2.38）有解的同時(shí)，式（4.2.39）也同時(shí)有解．由式（4.2.36），（4.2.39）可有</p><p><b>　?。?.2.42）</b></p><p>　?。?）在為奇數(shù)，為偶數(shù)，分別由</p><p>　　（i）在不整除時(shí)，從式（4.2.

84、9）可知，不整除．因?yàn)?，由式?.2.9）可知</p><p><b>　?。?.2.43）</b></p><p><b>　?。?.2.44）</b></p><p><b>　?。?.2.45）</b></p><p>　　因此在式（4.2.43）有解的同時(shí)，式（4.2.

85、44）也同時(shí)有解．設(shè)為式（4.2.44）說有解中的最小解．</p><p>　　從式（4.2.17）可知，不整除，不整除．因?yàn)椋?，由式?.2.17）可有</p><p><b>　?。?.2.46）</b></p><p><b>　?。?.2.47）</b></p><p><b>　

86、　（4.2.48）</b></p><p><b>　?。?.2.49）</b></p><p>　　因此在式（4.2.43）即式（4.2.46）有解的同時(shí)，式（4.2.47）也同時(shí)有解．由式（4.2.44），（4.2.47）可知</p><p><b>　?。?.2.50）</b></p>&l

87、t;p>　?。╥i）在整除不整除是從式（4.2.9）可知整除．因?yàn)?，，由式?.2.9）可有</p><p><b>　?。?.2.51）</b></p><p><b>　?。?.2.52）</b></p><p><b>　?。?.2.53）</b></p><p>

88、　　因此在式（4.2.51）有解的同時(shí)式（4.2.52）也同時(shí)有解．設(shè)為式（4.2.52）說有解中的最小解．</p><p>　　從式（4.2.17）可知整除，不整除．因?yàn)?，，由式?.2.17）可有</p><p><b>　?。?.2.54）</b></p><p><b>　　（4.2.55）</b></p&g

89、t;<p><b>　　（4.2.56）</b></p><p><b>　?。?.2.57）</b></p><p>　　因此在式（4.2.51）即式（4.2.54）有解的同時(shí)，式（4.2.57）也有解．由式（4.2.52），（4.2.57）可有</p><p><b>　　（4.2.58）<

90、;/b></p><p>　?。╥ii）在不整除整除時(shí)，從式（4.2.9）可知整除，因?yàn)?，，由式?.2.9）可知</p><p><b>　?。?.2.59）</b></p><p><b>　　（4.2.60）</b></p><p><b>　?。?.2.61）</b&g

91、t;</p><p>　　因此在式（4.2.59）有解的同時(shí)，式（4.2.60）也同時(shí)有解．設(shè)為式（4.2.60）說有解中的最小解．</p><p>　　從式（4.2.17）可知不整除整除．因?yàn)?，，由式?.2.17）可知</p><p><b>　?。?.2.62）</b></p><p><b>　?。?.

92、2.63）</b></p><p><b>　?。?.2.64）</b></p><p><b>　?。?.2.65）</b></p><p>　　因此在式（4.2.59）即式（4.2.62）有解的同時(shí)，式（4.2.63）也有解．由式（4.2.60），（4.2.63）可有</p><p>

93、;<b>　　（4.2.66）</b></p><p>　?。?）根據(jù)式（4.2.26），（4.2.34），（4.2.42），（4.2.50），（4.2.58）,（4.2.66）的結(jié)論，這與假設(shè)分別是一個(gè)最小解矛盾．所以在式（4.2.19），（4.2.27），（4.2.35），（4.2.43），（4.2.51），（4.2.59）分別有解的同時(shí)，式（4.2.20），（4.2.28），（4.2.

94、36），（4.2.44），（4.2.52），（4.2.60）分別無解．于是在式（4.2.4）有解的同時(shí)，式（4.2.3）無解，進(jìn)而式（4.2.1）無解．證畢[18]．</p><p>　　這樣，我們利用了商高方程解的形式及其推廣的知識來證明了此定理．</p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　看似簡單的商高定理從不定方程的角

95、度就變得豐富起來，甚至成為世界難題，這就是商高方程的魅力之處．在以上研究商高方程的解的形式以及其推廣方程的解的存在性最重要的一個(gè)方法就是Fermat無窮遞降法．這是解決此類問題的突破所在．從此方法所得到的結(jié)論又引發(fā)對對費(fèi)馬大定理的思考．從另一個(gè)角度說當(dāng)我們求出了商高方程本原解的基本形式以后就能得到所有解，在實(shí)際解決商高方程的解就清楚明了多了！而對于商高方程來說，其本身就是一個(gè)簡單形式的二次不定方程．而當(dāng)我們從微觀上解剖了商高方程，對此深

96、入研究可對更復(fù)雜形式的二次不定方程就有充分的準(zhǔn)備，作為基礎(chǔ)知識，其顯為格外的重要．</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　胡春燕.從東西方文化看勾股定理的起源[J].教學(xué)與管理. 2007, 09:91-92.</p><p>　　劉春祥.發(fā)現(xiàn)勾股定理[J].數(shù)學(xué)大眾（中學(xué)版）. 2002, 07:39.</p

97、><p>　　朱家生.數(shù)學(xué)史[M].高等教育出版社. 1994, 07.</p><p>　　王國炳.商高不定方程的解與勾股數(shù)[J].宜賓學(xué)院學(xué)院報(bào). 1997, 02:18-20.</p><p>　　潘承洞,潘承彪.初等數(shù)論[M].北京大學(xué)出版社.1992.</p><p>　　李培業(yè).商高定理的古證冥求[J].高等數(shù)學(xué)研究.2006, 01

98、:58-63</p><p>　　[美]史迪威.ELEMENTS OF NUMBER THEORY[M].世界圖書出版公司.2009.</p><p>　　沈文選,張垚,冷崗松.奧林匹克數(shù)學(xué)中的數(shù)論問題[M].湖南師范大學(xué)出版社.2009.</p><p>　　汪克立.商高數(shù)組群[J].成都教育學(xué)院學(xué)報(bào).2003,12:73-74.</p>&l

99、t;p>　　[美]羅森.ELEMENTS OF NUMBER THEORY AND ITS APPLICATIONS[M].世界圖書出版公司.2009.</p><p>　　唐周子.商高數(shù)猜想的完全證明[J].中國科技信息.2009,12:31-36.</p><p>　　楊麗英.由商高不定方程看整邊直角三角形[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào).2008,02:113-115</p>

100、;<p>　　宋永林.四元數(shù)集上的商高方程[J].咸寧師專學(xué)報(bào).2001,03:18-21.</p><p>　　樂茂華.關(guān)于本原商高數(shù)的Terai猜想[J].北華大大學(xué)報(bào).2005,02:108-109.</p><p>　　李樹新.關(guān)于丟番圖方程[J].廣西民族學(xué)院學(xué)報(bào).2006,02:2-9.</p><p>　　晏能中.向人類智慧挑戰(zhàn)的一個(gè)數(shù)學(xué)