凸函數(shù)及其應(yīng)用畢業(yè)論文

1、<p><b>　　凸函數(shù)及其應(yīng)用</b></p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　第一章 緒論1</b></p&

2、gt;<p>　　1.1凸函數(shù)的產(chǎn)生1</p><p>　　1.2凸函數(shù)的發(fā)展1</p><p>　　第二章 凸函數(shù)的定義及判定2</p><p>　　2.1 凸函數(shù)的國(guó)際定義2</p><p>　　2.2 凸函數(shù)的幾何意義2</p><p>　　2.3 凸函數(shù)的判定3</p>

3、<p>　　第三章 凸函數(shù)的定義及性質(zhì)的應(yīng)用4</p><p>　　3.1凸函數(shù)定義的應(yīng)用4</p><p>　　3.2凸函數(shù)的性質(zhì)6</p><p>　　3.3凸函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用7</p><p><b>　　第四章 結(jié)論8</b></p><p><b>　　參考文

4、獻(xiàn)9</b></p><p><b>　　致謝10</b></p><p><b>　　附錄11</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　凸函數(shù)是一種具有特殊性質(zhì)的函數(shù)，在函數(shù)的研究領(lǐng)域中占有十分重要的地位.到目前為止，凸函數(shù)的研

5、究已經(jīng)從定義的研究到凸性的研究，再到凸性應(yīng)用的方面的研究.對(duì)函數(shù)凹凸性的研究，在數(shù)學(xué)分析的多個(gè)分支都有用處.特別是在函數(shù)圖形的描繪和不等式的推導(dǎo)方面，凸函數(shù)起著十分重要的作用.凸函數(shù)有其獨(dú)特的良好性質(zhì)，由于凸函數(shù)理論的廣泛性，及其在數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.因此，對(duì)凸函數(shù)的理論進(jìn)一步深入地研究和推廣，就顯得尤為重要.</p><p>　　凸函數(shù)作為數(shù)學(xué)分析中一類特殊的函數(shù)，在實(shí)際課本中一般只介紹其定義以及判定，

6、然而它在證明不等式中具有得天獨(dú)厚的功用，卻極少涉及.所以，探討一些凸函數(shù)性質(zhì)，并且利用這些性質(zhì)證明一些初等數(shù)學(xué)無(wú)法證明的不等式，用以說(shuō)明凸函數(shù)在不等式中的應(yīng)用，是十分重要的.而且凸函數(shù)與一搬函數(shù)之間已有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，利用其解決一般函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題也有著事半功倍的效果.</p><p>　　關(guān)鍵詞： 凸函數(shù) 性質(zhì) 不等式 應(yīng)用</p><p><b>　　Abstract<

7、/b></p><p>　　The convex function is a special kind of function, occupies a very important position in the research field of function. So far, research of convex function from to the convexity of the st

8、udy definition, research and then to convex applications. Research on the concavity and convexity of functions, are useful in a branch of mathematical analysis. Especially in the derived function of graphic descriptions

9、and inequality, convex function plays a very important role. It has good properties of co</p><p>　　Convex function is a kind of special function in mathematical analysis, in the actual text generally introdu

10、ces its definition and judgment, however it has be richly endowed by nature function in proving inequalities, but rarely involved. Therefore, summarizes some of the properties of convex function, inequality and use these

11、 properties to prove some elementary mathematics cannot prove, in order to explain application of convex function in inequality, is very important. And the convex function </p><p>　　Keywords: Convex functio

12、n Property Inequality Application</p><p><b>　　第一章 緒論</b></p><p>　　1.1 凸函數(shù)的產(chǎn)生</p><p>　　凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它的概念源于Jensen著述[1905]中，在Jensen著述中是這樣介紹凸函數(shù)的：若函數(shù)滿足定義域上任意兩個(gè)數(shù)都有，則稱為凸函數(shù).

13、凸函數(shù)的產(chǎn)生不僅給人們帶來(lái)</p><p>　　了一種新的研究函數(shù)的工具,也為函數(shù)這個(gè)“大家族”增枝散葉，隨著凸函數(shù)的出現(xiàn)人們對(duì)函數(shù)這個(gè)概念又多了一絲陌生感，也引起人們“認(rèn)識(shí)”它的欲望.在Jensen定義凸函數(shù)后，有不少的數(shù)學(xué)家對(duì)凸函數(shù)進(jìn)行了研究，其中就有閔科夫斯基和杜克等人.</p><p><b>　　1.2凸函數(shù)的發(fā)展</b></p><p&

14、gt;　　凸函數(shù)的研究起源于丹麥數(shù)學(xué)家約翰.詹森(Jensen)和愛因斯坦在瑞士的數(shù)學(xué)老師閔科夫斯基對(duì)凸函數(shù)的研究，但那是人們對(duì)凸函數(shù)并不看好，真正引起人們廣泛重視的是40-50年代馮.諾伊曼和杜克等人對(duì)策論和數(shù)學(xué)規(guī)劃的研究，由于這方面的需要，從50年代初到六十年代末人們對(duì)凸函數(shù)進(jìn)行了大量的研究.60年代中期產(chǎn)生了凸分析.從此以后，關(guān)于凸函數(shù)的研究大多數(shù)都是圍繞凸分析所展開的.我國(guó)的數(shù)學(xué)愛好者對(duì)凸函數(shù)的研究也有涉及，其中的代表人物有張曉

15、明、劉光中和胡克等人，他們的研究成果多數(shù)是以教材的形式所展示，而且對(duì)凸函數(shù)的定義也不盡相同.譬如，同濟(jì)大學(xué)高等代數(shù)教材對(duì)凸函數(shù)所下定義與國(guó)際相反，國(guó)際定義的凸函數(shù)是指上方圖是凸集，而同濟(jì)大學(xué)高等代數(shù)數(shù)學(xué)教材則是指其下方圖是凸集，兩者定義剛好相反.由于人的求知欲是無(wú)限的和科技的不斷發(fā)展，人們對(duì)凸函數(shù)的研究還會(huì)更上一層樓.</p><p>　　第二章 凸函數(shù)的定義及判定</p><p>　　2

16、.1 凸函數(shù)的國(guó)際定義</p><p>　　由于目前對(duì)凸函數(shù)的理論研究是十分豐富的，而且對(duì)凸函數(shù)所給的定義也不盡相同，但人們常用凸函數(shù)的國(guó)際定義作為研究對(duì)象，本文也將采用凸函數(shù)國(guó)際定義.</p><p>　　定義2.1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若對(duì)任意的及對(duì)任意的總有：，則稱函數(shù)為區(qū)間上的凸函數(shù)(convex function).</p><p>　　2.2 凸函數(shù)的

17、幾何意義</p><p>　　設(shè)為區(qū)間上的凸函數(shù)且圖像如圖2—1所示，若當(dāng)，則弦AB的方程為：.若存在參數(shù),則有，故弦AB的方程可改寫為：，由于函數(shù)為凸函數(shù)，則：.即連接凸函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)的弦總位于對(duì)應(yīng)圖像的上方(如圖2--2).</p><p>　　2.3 凸函數(shù)的判定</p><p>　　對(duì)任意的有，若是凸函數(shù)，則有：…...① </p>

18、<p>　　將帶入①式且經(jīng)整理可得：</p><p><b>　　，即</b></p><p><b>　　若即……..②</b></p><p>　　將帶入②式且經(jīng)整理可得：</p><p><b>　　經(jīng)移項(xiàng)整理得：</b></p><p&

19、gt;<b>　　……..③</b></p><p>　　又將帶入③式且經(jīng)整理可得：</p><p>　　……..④，由④式可得函數(shù)為所給區(qū)間的凸函數(shù)，由此可得：</p><p>　　定理2.1 函數(shù)為所給區(qū)間I上凸函數(shù)的充要條件為：對(duì)任意的.同理可得：</p><p>　　定理 2.2 函數(shù)為所給區(qū)間I上凸函數(shù)的

20、充要條件為：對(duì)任意的</p><p>　　定理 2.2證明過(guò)程與定理2.1的推理過(guò)程大同小異，故在此不再證明.</p><p>　　第三章 凸函數(shù)的定義及性質(zhì)的應(yīng)用</p><p>　　3.1 凸函數(shù)定義的應(yīng)用</p><p>　　不等式是數(shù)學(xué)學(xué)科中一個(gè)重要的組成部分，不等式最關(guān)鍵的就是對(duì)它的證明，而有些不等式用常規(guī)的不等式的證明方法就顯得

21、十分麻煩和困難，如借助凸函數(shù)的定義去證明就十分便捷，如下幾例.</p><p><b>　　例3.1 設(shè).</b></p><p>　　例3.2 （均值不等式）</p><p>　　由上可以看出，凸函數(shù)的定義在解決不等式（無(wú)論是困難的，還是簡(jiǎn)單的）的證明方面都有著獨(dú)特的作用.</p><p>　　3.2 凸函數(shù)的性質(zhì)

22、</p><p>　　無(wú)論是國(guó)外還是國(guó)內(nèi)的數(shù)學(xué)愛好者都對(duì)凸函數(shù)進(jìn)行了大量的研究，也發(fā)現(xiàn)凸函數(shù)的許多性質(zhì)，本文著重介紹凸函數(shù)的以下四條性質(zhì)：</p><p>　　性質(zhì)1(有界性)若為上的凸函數(shù)，則在上有界.</p><p>　　性質(zhì)2(連續(xù)性) 若為區(qū)間上的凸函數(shù)，則在任意點(diǎn) 處連續(xù).</p><p>　　性質(zhì)3 (可導(dǎo)性)若為區(qū)間上的凸函數(shù)，

23、則(反之也成立).</p><p>　　性質(zhì)4(單調(diào)性)若為區(qū)間上的凸函數(shù)，則</p><p>　　本文只證明性質(zhì)1，其它的性質(zhì)都具有相通之處，便不再累述.</p><p><b>　　證明性質(zhì)1：</b></p><p>　　3.3凸函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用</p><p>　　上節(jié)介紹了凸函數(shù)的四條基本

24、性質(zhì)，本節(jié)就以上的性質(zhì)，作出實(shí)例，以充實(shí)理論.</p><p><b>　　第四章 結(jié)論</b></p><p>　　凸函數(shù)是一種具有特殊性質(zhì)的輔助函數(shù)，它在函數(shù)圖像、函數(shù)最值及不等式系統(tǒng)中都起著十分重要的作用.如今隨著科技的發(fā)展和網(wǎng)絡(luò)的普及，人們對(duì)凸函數(shù)的認(rèn)識(shí)越來(lái)越系統(tǒng)，研究也越來(lái)越全面,特別是凸函數(shù)的應(yīng)用方面，許多數(shù)學(xué)愛好者都對(duì)其進(jìn)行了大量的研究，他們的研究成果都

25、為我們更好的認(rèn)識(shí)凸函數(shù)作出了巨大貢獻(xiàn).</p><p>　　本文是對(duì)前人的研究進(jìn)行歸納和總結(jié)，當(dāng)然也有自己的一些觀點(diǎn)，在本次課題研究中，我發(fā)現(xiàn)：凸函數(shù)的定義及性質(zhì)是研究凸函數(shù)的基石，無(wú)論我們是研究凸函數(shù)的淺顯概念還是其廣泛的應(yīng)用都應(yīng)從其定義及性質(zhì)著手，凸函數(shù)的性質(zhì)極多在研究其應(yīng)用時(shí)我們應(yīng)做到“對(duì)癥下藥”，不能盲目地使用其性質(zhì)，盲目地使用其性質(zhì)只會(huì)讓我們走進(jìn)誤區(qū)，更有甚者走進(jìn)死胡同，只有正確地使用凸函數(shù)的性質(zhì)才能使

26、我們的研究事半功倍.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上）[M].北京:高等教育出版社,2010.7.151-157.</p><p>　　[2]劉三陽(yáng),于力,李廣民.數(shù)學(xué)分析選講[M].北京：科學(xué)出版社，2007.77-89. </p><p>

27、　　[3]熊鵬飛.凸函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用[J].黑龍江科技信息，2011,(21）:180.</p><p>　　[4]劉小寧.關(guān)于凸函數(shù)的有趣不等式[J].黃岡職業(yè)技術(shù)學(xué)院院報(bào)，2013,(1):99-100.</p><p>　　[5]杜厚雄.凸函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用[J].現(xiàn)代企業(yè)教育，2007,(16）：173-174.</p><p>　　[6]劉象華.凸函數(shù)的應(yīng)用

28、[J].云南民族大學(xué)學(xué)報(bào)，1991,(4）：71-84.</p><p>　　[7]時(shí)貞軍.凸函數(shù)的若干性質(zhì)及應(yīng)用[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2004,(51）：1-4.</p><p>　　[8]楊再鵬.凸函數(shù)在不等式中的應(yīng)用[J].成功（教育版），2009,(7）：173.</p><p>　　[9]劉佩.凸函數(shù)性質(zhì)舉例[J].考試（高考教育版），2012,(8）：50-

29、51.</p><p>　　[10]羅超群.凸函數(shù)在分析中的應(yīng)用初探[J].科教文匯（下旬刊），2010,(9）：92-93.</p><p>　　[11]郭志榮.利用凸函數(shù)的性質(zhì)巧證積分不等式[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011,(7）：56.</p><p>　　[12]王強(qiáng)芳，魏元金.函數(shù)凹凸性在解題中的應(yīng)用[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2007，（11）：31-32.&

30、lt;/p><p>　　[13]楊再鵬.凸函數(shù)在不等式中的應(yīng)用[J].長(zhǎng)江教育，2009,(7）：173.</p><p>　　[14]張小明.幾何凸函數(shù)[Ｍ] ．安徽大學(xué)出版社，2004.06.11-14.</p><p>　　[15]劉光中.凸分析與極值問(wèn)題[M].北京：高等教育出版社，1991.05.222-246.</p><p>　　[

31、16](德)洛克菲拉.凸分析(英文版)[M].世界圖書北京出版公司，2011.01.10-50.</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　此次論文到此就接近尾聲了，在此我要感謝我的論文指導(dǎo)老師**老師，在她不辭辛勞的指導(dǎo)下，本論文才得以完美收筆.同時(shí)我也感謝在論文創(chuàng)作中幫過(guò)我的朋友及老師,正因?yàn)樗麄兊膸椭?，我在書寫論文時(shí)才顯得游刃有余.最后，我還

32、要特別感謝我所參考的文獻(xiàn)作者，可以這么說(shuō)，我是站在他們的肩膀上才摘得了成熟的果實(shí),如沒有他們的研究，我可能很難發(fā)現(xiàn)前進(jìn)的燈塔,更不可能自由航行.由于自身才疏學(xué)淺及書寫經(jīng)驗(yàn)不足，文中必有不足，還望各位高手不吝賜教！</p><p><b>　　附錄</b></p><p>　　閔可夫斯基（Minkowski，1864－1909）:德國(guó)數(shù)學(xué)家，出生于俄國(guó)的一個(gè)商人家庭，他

33、的主要成就是在數(shù)論、代數(shù)和數(shù)學(xué)物理上.在數(shù)論上，他對(duì)二次型進(jìn)行了重要的研究,在1881年法國(guó)大獎(jiǎng)中，Minkowski深入鉆研了高斯（Gauss）、狄利克雷（Dirichlet） 等人的論著.因?yàn)镚auss曾在研究把一個(gè)整數(shù)分解為三個(gè)平方數(shù)之和時(shí)用了二元二次型的性質(zhì)，Minkowski由前人的工作中認(rèn)識(shí)到把一個(gè)整數(shù)分解為五個(gè)平方數(shù)之和的方法與四元二次型有關(guān).由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理論體系.</p>&l