基于廣義輔助方程解非線性動(dòng)力系統(tǒng)

1、<p>　　天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)</p><p>　　Tianjin University of Technology and Education</p><p><b>　　畢 業(yè) 論 文</b></p><p>　　專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　班級(jí)學(xué)號(hào)： 0702

2、 – 19 </p><p>　　學(xué)生姓名： </p><p>　　指導(dǎo)教師： 副教授 </p><p><b>　　二〇一一年六月</b></p><p>　　天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文</p><p>　　基于廣義輔助方程解非線

3、性動(dòng)力系統(tǒng)</p><p>　　A generalized subsidiary equation method for nonlinear equations </p><p>　　專業(yè)班級(jí)：數(shù)學(xué)0702班</p><p>　　學(xué)生姓名： </p><p>　　指導(dǎo)教師： 副教授</p><p>

4、;　　學(xué) 院：理學(xué)院</p><p><b>　　2011年 6月</b></p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　基于輔助方程法的思想，引進(jìn)新的擬設(shè)法，使之滿足大部分的輔助方程，根據(jù)擬設(shè)得到一系列解的形式。然后，根據(jù)具體的方程，首先根據(jù)方程最高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和最高階非線性項(xiàng)算出平衡參數(shù)，

5、然后根據(jù)方程的維數(shù)確定解的形式帶入輔助方程與原方程，將得到的超定方程組系數(shù)化零，整理簡(jiǎn)化，最后得到最終的解。（1+1）維KDV波速方程與（2+1）維攝動(dòng)KDV方程是文中為了說(shuō)明方法的有效性而舉出的例子，KDV方程在實(shí)際中的應(yīng)用也十分廣泛，所以我們的方法能夠幫助更好的解決實(shí)際問(wèn)題。利用Maple及軟件包，將（1+1）維KDV波速方程與（2+1）維攝動(dòng)KDV方程分別求解出來(lái)，得到了許多更加精確的解，有獨(dú)特解，尖端解，及周期解等多種形式。輔助

6、方程法是一種相當(dāng)完善的，很精確的解非線性偏微分方程的算法。</p><p>　　關(guān)鍵詞：非線性超定方程；廣義輔助方程；平衡參數(shù)；擬設(shè)法</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　Auxiliary equation method based on the idea, the introduction of the

7、 new proposed law, so as to meet most of the auxiliary equation, according to the form proposed by a range of solutions, and then, depending on the equation, the first based on the highest order partial derivative equati

8、on and the most high-end items calculated parameters of the nonlinear term equilibrium, then the dimension of equations to determine the form of solution, into the auxiliary equation with the original equation, t</p&g

9、t;<p><b>　　朗讀</b></p><p>　　顯示對(duì)應(yīng)的拉丁字符的拼音</p><p><b>　　字典</b></p><p>　　Key Words：</p><p>　　Overdetermined linear equation; generalized auxil

10、iary equation; balance parameters; the proposed method</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　1 引 言1</p><p>　　2 廣義輔助方程展開法3</p><p>　　2.1 給出偏微分方程系統(tǒng)3</p>

11、<p>　　2.2 引進(jìn)新的擬似法3</p><p>　　2.2確定均衡參數(shù)5</p><p>　　2.3系數(shù)化零得到超定方程組5</p><p>　　2.4求解參數(shù)5</p><p>　　2.5確定輔助方程參數(shù)5</p><p>　　3 在(1+1)維KDV波速方程中的精確解8<

12、/p><p>　　4 在(1+2)維攝動(dòng)KDV方程中的精確解12</p><p><b>　　結(jié) 論18</b></p><p><b>　　致 謝22</b></p><p><b>　　1 引 言</b></p><p>　　求解非線

13、性偏微分方程一直是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家關(guān)注的焦點(diǎn)。近些年來(lái)，也研究出很多高效的方法來(lái)解決這一問(wèn)題，一方面，許多德國(guó)的科學(xué)家從各個(gè)方面，如物理，化學(xué)和生物科學(xué)等各個(gè)方面汲取特點(diǎn)來(lái)豐富完善他們的方案。另一方面，由于Maple和Mathematica及Matlab等各種計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，使我們能夠在計(jì)算機(jī)完成一些復(fù)雜，繁瑣的代數(shù)運(yùn)算和差的運(yùn)算的同時(shí)，還能找到非線性偏微分方程的精確解。到現(xiàn)在為止，存在著許多高效的方法來(lái)解決有關(guān)非線性問(wèn)題NEEs，如反散射

14、方法[1]，Backlund變換[2]，達(dá)布變換[3]，Hirota雙線性方法[4]，相似遞減法[5]，變量分離法[6]，Painlevé分析方法[7]，齊次平衡法[8]，各種的雙曲正切函數(shù)法[9-16]，雙曲正割函數(shù)方法[17]等。其中，雙曲正切函數(shù)法在眾多的解決方案之中被認(rèn)為是獲得精確的NEEs的最直接和有效的代數(shù)算法。我們知道，當(dāng)應(yīng)用的雙曲正切函數(shù)方法，建立適當(dāng)?shù)妮o助方程是非常重要的?，F(xiàn)在主要的工作就是解決輔助方程的多種

15、解決方案上。在自然科學(xué)的許多領(lǐng)域中，很多現(xiàn)象是用拋物型方程或方程組描述的。如熱傳導(dǎo)以及其他擴(kuò)散現(xiàn)象、化學(xué)反應(yīng)、某些生物形態(tài)</p><p>　　非線性微分方程除了極小部分有解析解外，其余都沒有解析解。每一個(gè)具體問(wèn)題似乎都要求發(fā)明特殊的算法，運(yùn)用新穎的技巧。因而非線性問(wèn)題曾被人們認(rèn)為是個(gè)性極強(qiáng)，無(wú)從逾越的難題。所以在早期的研究中，人們總是用適合于線性微分方程描述的“理想化模型”來(lái)處理真實(shí)復(fù)雜的物理世界。盡管這種描述

16、是不完全的，但這種方法常常能起到抓本質(zhì)的作用，因而線性理論在科學(xué)發(fā)展史上是至關(guān)重要的，它正確解釋了自然界的許多現(xiàn)象。然而世界本質(zhì)上是非線性的。早在伽里略——牛頓時(shí)代，從有“精確”的自然科學(xué)開始，就遺留下許多非線性問(wèn)題。例如19世紀(jì)經(jīng)典力學(xué)中的兩大難題：剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)和三體作用問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上就是非線性問(wèn)題。只不過(guò)它們始終處于“支流”的地。</p><p>　　隨著現(xiàn)代科學(xué)、技術(shù)，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，從20世紀(jì)

17、60年代開始，非線性問(wèn)題逐步成為一門新興學(xué)科而茁起。在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域，幾乎都有各自的非線性問(wèn)題。例如物理學(xué)中有非線性力學(xué)，非線性聲學(xué)，非線性光學(xué)，非線性電路等。</p><p>　　孤立子、混沌和分形是當(dāng)今非線性科學(xué)研究的熱點(diǎn)，也是取得取得豐碩成果，發(fā)展得很快的研究領(lǐng)域。盡管如此，他們?nèi)蕴幵诎l(fā)展之中，其理論和方法遠(yuǎn)沒有完善。</p><p>　　非線性數(shù)學(xué)模型在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)領(lǐng)

18、域中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，如機(jī)械、化工、電機(jī)、能源、土木、光學(xué)、通訊、生物、自動(dòng)控制、材料等。計(jì)算機(jī)代數(shù)方法在發(fā)達(dá)的今天已經(jīng)顯出種種弊端，傳統(tǒng)的求解非線性波方程的方法主要有逆散射法，Backlund 法，Darboux 變換法，Hirota 雙線性法，Painlevé 展開法等。近年來(lái)，涌現(xiàn)出一系列新的求解方法，如齊次平衡法，雙曲正切函數(shù)展開法，ADM方法，利用分支理論直接積分的方法，-方法 等。本文利用張慧群等人提出的改進(jìn)的計(jì)算

19、機(jī)代數(shù)方法—輔助方程法，分別對(duì)RLW方程、PHI-four 方程、Jaulent–Miodek方程進(jìn)行求解。</p><p>　　孤立子、混沌和分形是當(dāng)今非線性科學(xué)研究的熱點(diǎn)，也是取得取得豐碩成果，發(fā)展得很快的研究領(lǐng)域。盡管如此，他們?nèi)蕴幵诎l(fā)展之中，其理論和方法遠(yuǎn)沒有完善。</p><p>　　對(duì)于現(xiàn)在的大量求解非線性方程的孤立波解的方法，輔助方程法被認(rèn)為是一種最直接有效的算法。這個(gè)方法的

20、發(fā)現(xiàn)是為解出精確解的一些困難融合在一起的結(jié)果。現(xiàn)在，大量研究工作已經(jīng)把注意力集中在雙曲正切方法的礦展與實(shí)施上。這篇論文的目的是把這方法的計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單化，然后找到更多的行波解。張慧群提到利用輔助方程方法在算法上是有一些困難，但是卻簡(jiǎn)化了偏微分方程。因此，我們可以利用軟件Mathematica編程求解高階的非線性方程。最近Baldwin,Goktas,Hereman提到一個(gè)新的算法去計(jì)算非線性方程的多項(xiàng)式解，這個(gè)非線性方程多項(xiàng)Jacobi

21、elliptic方程。在求非線性方程的一系列行波解的時(shí)候，我們研究的新的代數(shù)方法確實(shí)超過(guò)現(xiàn)存的雙曲正切方法和Jacobi函數(shù)方法。</p><p>　　2 廣義輔助方程展開法</p><p>　　2.1 給出偏微分方程系統(tǒng)</p><p>　　給出了一個(gè)在個(gè)不同變量情況下的具有物理場(chǎng)的多項(xiàng)式的非線性偏微輔助方程的系統(tǒng), </p><p>&l

22、t;b>　　（2-1）</b></p><p>　　2.2 引進(jìn)新的擬似法</p><p>　　我們介紹一種新的擬似法合理闡述為如下形式:</p><p><b>　?。?-2）</b></p><p><b>　　其中是</b></p><p>　　的合理

23、規(guī)范函數(shù)且，并滿足</p><p><b>　?。?-3） </b></p><p>　　其中是任意常數(shù)，滿足：</p><p><b>　　1=;</b></p><p><b>　　2 是任意函數(shù)。</b></p><p>　　3 滿足各種輔助方程，

24、如Riccati方程，投影Riccati方程，橢圓方程，貝塞爾方程，Klein-Gordon方程等等。意思是取決于的的導(dǎo)數(shù)是的有理正式函數(shù)。例如，</p><p><b>　　（1）當(dāng)我們?nèi)?lt;/b></p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　其中，，和是取決于個(gè)不同的變量或是之后將被決定的常數(shù)。&

25、lt;/p><p><b>　?。?）當(dāng)我們?nèi)?lt;/b></p><p>　　= （2-5）</p><p>　　其中是取決于個(gè)不同的變量或是之后將被決定的常數(shù)。</p><p><b>　?。?）當(dāng)我們?nèi)?lt;/b></p><p><b>　?。?-6）<

26、/b></p><p>　　其中是取決于個(gè)不同的變量或是之后將被決定的常數(shù)。</p><p><b>　?。?）當(dāng)我們?nèi)?lt;/b></p><p><b>　?。?-7）</b></p><p>　　其中是取決于個(gè)不同的變量或是之后將被決定的常數(shù)。</p><p><

27、;b>　?。?）當(dāng)我們?nèi)?lt;/b></p><p><b>　　（2-8）</b></p><p>　　其中是取決于個(gè)不同的變量或是之后將被決定的常數(shù)。</p><p><b>　　確定均衡參數(shù)</b></p><p>　　合理正式多項(xiàng)式解法的參數(shù)分別由在給出的方程中最高非線性項(xiàng)和最

28、高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)確定的，然后給予正式的解決方案。</p><p>　　系數(shù)化零得到超定方程組</p><p>　　利用第六步中選擇的滿足輔助方程的將（2-2）轉(zhuǎn)化為（2-1）。然后設(shè)定所產(chǎn)生的系統(tǒng)的所有分子的 的系數(shù)是零就得到非線性代數(shù)方程組超定系統(tǒng)，這是取決于及函數(shù)的參數(shù)的.</p><p><b>　　求解參數(shù)</b></p>&

29、lt;p>　　通過(guò)使用符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Maple求解非線性代數(shù)方程組的超定系統(tǒng)，我們最終得到 的明確表達(dá)式和的參數(shù)。</p><p><b>　　確定輔助方程參數(shù)</b></p><p>　　選擇輔助方程的參數(shù)。根據(jù)系統(tǒng)（2-2），在步驟5的結(jié)論和所選擇的輔助方程的一些特殊的解決方案中，我們可以得到系統(tǒng)（2-1）的有理正式精確解。 </p><p

30、>　　據(jù)我們所學(xué)知識(shí)，通過(guò)以上分析，多數(shù)雙曲正切函數(shù)解法可以總結(jié)為廣義輔助方程合理拓展法，更多的，解得的這種方法包括雙曲線函數(shù)和三角函數(shù)的矩陣形式，同時(shí)還不同于解法【15】。</p><p>　　式（2.2）可以化成下列形式：</p><p><b>　　(2-9）</b></p><p>　　其中，，，和是取決于個(gè)不同的變量或是之后將被

31、決定的常數(shù)。</p><p><b>　　我們可以指出式</b></p><p><b>　　(2-10)</b></p><p>　　而且在式（2-4）中不僅可以取正整數(shù)，還可以取負(fù)整數(shù)。</p><p>　　滿足輔助方程，如橢圓方程，Riccati方程，投影Riccati方程，貝塞爾方程等等。他

32、們不僅滿足相同的輔助方程，而且滿足不同的輔助方程。我們的吸引力和方法的成功在于一個(gè)事實(shí)，即我們選擇不同的輔助方程。因?yàn)槊總€(gè)輔助方程具有特殊形式的解決方法，一些解決方法的結(jié)合可以建立各種正式的complexiton解決方案。特別是，我們不采取以前的行波變換，而采用在做不同行波變換，因此這些方法有不同的波速。我們的方法是一個(gè)統(tǒng)一簡(jiǎn)單純理論的代數(shù)算法，可積方程和不可積方程可以實(shí)現(xiàn)在計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，并且可以很容易地?cái)U(kuò)展到其他可積系統(tǒng)和不可積系統(tǒng)

33、中。</p><p>　　3 在(1+1)維KDV波速方程中的精確解</p><p>　　這一部分我么要利用我們的方法來(lái)?yè)攧?dòng)KDV方程</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　其中且≠0的所有常數(shù)。</p><p>　　在（3-1）中平衡高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和最高非線性項(xiàng)，得到

34、=1，我們假設(shè)所以（3-1）具有精確解：</p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　其中和之后將被決定的常數(shù)。</p><p>　　為了得到理想的complexiton解，我們選擇著名的輔助方程中的Riccati方程（1）。</p><p>　?。?-3） </p&

35、gt;<p><b>　　其中是任意常數(shù)。</b></p><p>　　利用Maple，將（3-2）以及（3-3）代入（3.1），然后我們讓新變量滿足（3-3）。并設(shè)置這些組合（i，j=0,1，…）的系數(shù)是零，然后建立關(guān)于超定代數(shù)方程組</p><p>　　由王東明的Maple軟包“字符集”，這是基于吳氏消元法，解決了超定代數(shù)方程組的使用，我們得到以下情

36、況：</p><p><b>　　情況1</b></p><p>　　，， （3-4）</p><p><b>　　其中是任意常數(shù)。</b></p><p><b>　　情況2</b></p><p><b

37、>　　（3-5）</b></p><p><b>　　其中是任意常數(shù)。</b></p><p><b>　　情況3</b></p><p><b>　?。?-6）</b></p><p><b>　　其中是任意常數(shù)。</b></p&

38、gt;<p>　　注解.既然這里有這么多解法，我們可以列出新的類型，類似在(1+1) 維波速KDV方程的情況1的解法，來(lái)說(shuō)明該方法的效率。</p><p>　　情況1. 和是任意常數(shù)，且</p><p>　　根據(jù)附錄中的（3-2）和（3-3）的特殊解法及（3-4），我們能獲得以下(1+1)維波速KDV方程的complexiton解。</p><p>&

39、lt;b>　　情況1</b></p><p>　　當(dāng)R＜0且=1，=-（+1），=，==0，我們得到：</p><p><b>　?。?-6）</b></p><p><b>　　情況2</b></p><p>　　當(dāng)R＜0且=1-，=2-1，=-，==0，我們得到：</p&

40、gt;<p><b>　?。?-7）</b></p><p><b>　　情況3</b></p><p>　　當(dāng)R＜0且=-1，=2-，=-1，==0，我們得到：</p><p><b>　?。?-8）情況4</b></p><p>　　當(dāng)R＜0且=，=-（+1）

41、，=1，==0，我們得到：</p><p><b>　?。?-9）</b></p><p><b>　　情況5</b></p><p>　　當(dāng)R＜0且=-，=2-1，=1-，==0，我們得到： </p><p><b>　?。?-10）</b></p><p

42、>　　4 在(1+2)維攝動(dòng)KDV方程中的精確解</p><p>　　這一部分我么要利用我們的方法來(lái)?yè)攧?dòng)KDV方程</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　其中且≠0的所有常數(shù)。</p><p>　　在（3-1）中平衡高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和最高非線性項(xiàng)，得到=2，我們假設(shè)所以（3-1）具有以下精

43、確解：</p><p><b>　?。?-2）</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　之后將被決定的常數(shù)。</p><p>　　為了得到理想的complexiton解，我們選擇著名的輔助方程中的Riccati方程（1）和橢圓一般方程（2）。</p>&l

44、t;p><b>　?。?-3）</b></p><p><b>　　(4-4)</b></p><p><b>　　其中和是任意常數(shù)。</b></p><p>　　然后我們讓新變量和分別滿足（3-3）和（3-4）。</p><p>　　利用Maple，將（3-2）以及（3

45、-3）和（3-4）代入（3-1）。</p><p>　　然后設(shè)置這些組合的系數(shù)是零，然后建立關(guān)于和超定代數(shù)方程組：</p><p>　　由王東明的Maple軟包“字符集”，這是基于吳氏消元法，解決了超定代數(shù)方程組的使用，我們得到以下情況：</p><p><b>　　情況1</b></p><p><b>　　

46、(4-5)</b></p><p><b>　　情況2</b></p><p><b>　　(4-6)</b></p><p><b>　　情況3</b></p><p><b>　　(4-7)</b></p><p>

47、<b>　　情況4</b></p><p><b>　　(4-8)</b></p><p><b>　　情況5</b></p><p><b>　　(4-9)</b></p><p><b>　　情況6 </b></p>

48、<p><b>　　(4-10)</b></p><p>　　注解.既然這里有這么多解法，我們可以列出新的類型，類似在2 維摂動(dòng)KDV方程的情況1的解法，來(lái)說(shuō)明該方法的效率。</p><p>　　情況1. 和是任意常數(shù)，且</p><p>　　根據(jù)附錄中的（3-2）和（3-3）的特殊解法及（3-4），我們能獲得以下(1+2)維摂動(dòng)K

49、DV方程的complexiton解。</p><p><b>　　情況1</b></p><p>　　當(dāng)R＜0且=1，=-（+1），=，==0，我們得到：</p><p><b>　?。?-11）</b></p><p><b>　　情況2</b></p><

50、;p>　　當(dāng)R＜0且=1-，=2-1，=-，==0，我們得到：</p><p><b>　?。?-12）</b></p><p><b>　　情況3</b></p><p>　　當(dāng)R＜0且=-1，=2-，=-1，==0，我們得到：</p><p><b>　?。?-13）</b

51、></p><p><b>　　情況4</b></p><p>　　當(dāng)R＜0且=，=-（+1），=1，==0，我們得到：</p><p><b>　　（4-14）</b></p><p><b>　　情況5</b></p><p>　　當(dāng)R＜0且=

52、-，=2-1，=1-，==0，我們得到： </p><p><b>　?。?-15）</b></p><p><b>　　情況6</b></p><p>　　當(dāng)R＜0且= -1，=2-，=1-，==0，我們得到： </p><p><b>　　（4-16）</b></p&

53、gt;<p><b>　　情況7</b></p><p>　　當(dāng)R＜0且=1，=-（+1），=1-，==0，我們得到：</p><p><b>　?。?-17）</b></p><p><b>　　情況8</b></p><p>　　當(dāng)R＜0且=1，=2-1，=（

54、-1），==0，我們得到：</p><p><b>　?。?-18）</b></p><p><b>　　情況9</b></p><p>　　當(dāng)R＜0且=，=，=，==0，我們得到： </p><p><b>　?。?-19）</b></p><p>&

55、lt;b>　　情況10</b></p><p>　　當(dāng)R＜0且=，=，=，==0，我們得到:（4-20）</p><p><b>　　結(jié) 論</b></p><p>　　總體上說(shuō)，新的基于廣義輔助方程方法（GSRE）是目前發(fā)現(xiàn)的新的精確的非線性演化方程的Complexiton解。(1+1)KDV波速方程和（2 +1）維攝

56、動(dòng)KDV方程是被選擇來(lái)說(shuō)明這種方法，例如發(fā)現(xiàn)了一些包括complexiton解的新奇的類型。當(dāng)然，以上提出的算法也可以應(yīng)用于其他非線性數(shù)理衍化方程。</p><p>　　在本論文里，我們自然地呈現(xiàn)了一種更加普遍的擬似法。因此，對(duì)于一些非線性方程，更希望得到更多類型的complexiton解。</p><p>　　表 1 著名Riccati方程（3.3）的一般解法</p>&l

57、t;p>　　表 2 一般橢圓方程（3.4）的一般解法</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 谷超豪. 孤立子理論及其應(yīng)用 [J]. 杭州:浙江科技出版社, 1990.</p><p>　　[2] MATVEEV V B, SALLEM A. Daroux transformations and soli

58、tons [J ]. Berlin: Springer, 1991.</p><p>　　[3] HIROTA R. Exact solution of the Korteweg-de Vries equation formultip le collisions of solitons [J]. Phys Rev lett, 1971, 27: 1192- 1194.</p><p>　　

59、[4] 樓森岳. 推廣的Painlevé展開及KdV方程的非標(biāo)準(zhǔn)截?cái)嘟?[J]. 物理學(xué)報(bào), 1998, 47: 1739 - 1745.</p><p>　　[5] WANG M L, ZHOU Y B, LI Z B. App lication of homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equations in mat

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61、even - order Sawada-Kotara equations [J]. Applied Mathematics and Computation, 2004, 157: 93 - 101.</p><p>　　[8] LI JI BIN, ZHANG LI JUN. Bifurcations of traveling wave solution in generalized Pochhammer-Chr

62、ee equation [J]. Chaos, Soitons and Fractals, 2002, 14: 581 - 593.</p><p>　　[9] FAN E G. Travelling wave solutions in terms of special functions for nonlinear coupled evolution systems [J]. Physics Lett

63、ers A, Volume 300, Issues 2-3, 29 July 2002, Pages 243-249</p><p>　　[10] 劉勝利, 張曄, 許世菊等. 四階拋物方程的一個(gè)有限差分并行格式[J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版), 2005, 43(6):725-730.</p><p>　　[11] KelloggR.B. An alternating direction

64、 method for operator equations[J]. SIAM, 1964, 12(4) : 848-854.</p><p>　　[12] 郭閣陽(yáng)，劉播. 四階拋物方程一類新的交替隱格式算法[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2008,(2).</p><p>　　[13] 郭閣陽(yáng)，劉播. 四階拋物方程一類變步長(zhǎng)本性并行格式的穩(wěn)定性分析[J]，應(yīng)用數(shù)學(xué)，2008,(3).&l

65、t;/p><p>　　[14] Ma WX. Travelling wave solutions to a seventh order generalized KdV equation[J]. Phys Lett A 1993;180:221.</p><p>　　[15] Ma WX. Complexiton solutions to the Korteweg–de Vries equati

66、on[J]. Phys Lett A 2002;301:35.</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　首先非常感謝我的指導(dǎo)老師 老師的精心指導(dǎo)與無(wú)私幫助；從我一開始寫論文起，趙老師就以淵博的學(xué)識(shí)與滿腔的熱情，在我所寫的領(lǐng)域給予知識(shí)上的輔導(dǎo)與思路上的點(diǎn)撥，為我所做的工作給予總體上的框范與細(xì)節(jié)上的修正，在此，謹(jǐn)向趙老師表示衷心的感謝。

67、</p><p>　　同時(shí)，我也深深的感謝一直重視、關(guān)心著本文編寫的系領(lǐng)導(dǎo)，以及全體教師，感謝他們?yōu)槲姨峁┝肆己玫臈l件，謹(jǐn)向各位老師表示誠(chéng)摯的敬意！</p><p>　　再次，我要感謝我的同學(xué)，正是由于他們的幫助和支持，我才能克服一個(gè)個(gè)的困難和疑惑，直至本文的順利完成。 最后，由于我的水平有限，誤漏、欠妥之處在所難免，論文還有待進(jìn)一步完善。希望大家在閱讀的過(guò)程中能給予指正，以便今后