幾類(lèi)常系數(shù)線性微分方程解法討論【文獻(xiàn)綜述】_第1頁(yè)
已閱讀1頁(yè),還剩7頁(yè)未讀, 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡(jiǎn)介

1、<p><b>  畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>  數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>  幾類(lèi)常系數(shù)線性微分方程解法討論   </p><p><b>  一、前言部分</b></p><p>  微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,是人們解

2、決各種實(shí)際問(wèn)題的有效工具,它在幾何、力學(xué)、物理、電子技術(shù)、等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。微分方程的首要問(wèn)題是如何求一個(gè)給定方程的通解或特解。到目前為止,人們已經(jīng)對(duì)許多微分方程得出了求解的一般方法。例如對(duì)于常系數(shù)線性微分方程,我們可以用很多種方法來(lái)求解它。有特征方程法、常數(shù)變易法、升階法、降階法、比較系數(shù)法等等。</p><p>  接下來(lái),先介紹一些有關(guān)的概念:</p><p>  定義1:一般

3、地,聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式,叫做微分方程.</p><p>  定義2:如果在微分方程中,自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè),則稱(chēng)這種微分方程為常微分方程.</p><p><b>  例如,</b></p><p><b>  ,</b></p><p>  就是常微分方程,這里是未知函數(shù),是自

4、變量。</p><p>  定義3:微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù),叫做微分方程的階數(shù).</p><p>  階常微分方程一般具有形式</p><p><b> ?。?.1)</b></p><p>  其中,是的已知函數(shù),并且必含有。</p><p>  定義4:若是的一次有理整式,

5、則稱(chēng)方程(0.1)為階線性方程;不是線性方程的方程稱(chēng)為階非線性方程。一般地,階線性方程具有形式</p><p><b>  (1.2)</b></p><p>  其中,是的已知函數(shù)。</p><p>  定義5:設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi),且有已知的到階的各階導(dǎo)數(shù),使得在內(nèi)成立,則稱(chēng)函數(shù)為方程(1.1)的解.</p><p>  

6、一般的,如果常微分方程的解中含有的獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相等,則稱(chēng)這樣的解為常微分方程的通解.滿足初值條件的解稱(chēng)為特解.</p><p>  定義6:常系數(shù)線性微分方程是線性微分方程中的一個(gè)概念。n階線性微分方程</p><p><b> ?。?.3)</b></p><p>  其中及都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。如果則方程(1.3)變成

7、 (1.4)</p><p>  我們稱(chēng)它為n階齊次線性微分方程,簡(jiǎn)稱(chēng)齊次線性微分方程,而稱(chēng)一般的方程(1.3)為n階非齊次線性微分方程,簡(jiǎn)稱(chēng)非齊次線性微分方程。</p><p>  定義7:設(shè)齊次線性微分方程中所有系數(shù)都是常數(shù),即方程有如下形狀</p><p><b> ?。?.5)</b></p>

8、;<p>  其中為常數(shù)。我們稱(chēng)(1.5)為n階常系數(shù)齊次線性微分方程;若</p><p><b>  (1.6)</b></p><p>  其中為常數(shù),而為連續(xù)函數(shù)。我們稱(chēng)(1.6)為n階常系數(shù)非齊次線性微分方程。</p><p>  定義8:已知n階常系數(shù)齊次線性微分方程</p><p>  ,

9、 (1.7)</p><p>  我們把代入(1.7)得因此,為方程的解的關(guān)系條件是:是代數(shù)方程</p><p><b> ?。?.8)</b></p><p>  的根,方程稱(chēng)為方程(1.8)的特征方程,它的根為方程(1.7)的特征根。</p><p><b

10、>  二、主題部分</b></p><p>  常微分方程是伴隨著微積分的產(chǎn)生和發(fā)展而成長(zhǎng)起來(lái)的一門(mén)歷史悠久的學(xué)科。從誕生之日起很快就顯示出這門(mén)課程不僅在數(shù)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域起著重要的作用,而且在物理、經(jīng)濟(jì)、工程等領(lǐng)域也是它在應(yīng)用上的重要作用。特別是作為Newton 力學(xué)的得力助手,在天體力學(xué)和其它機(jī)械力學(xué)領(lǐng)域內(nèi)顯示了巨大的功能。Sir I Newtont通過(guò)解微分方程證實(shí)了地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌道是一個(gè)橢

11、圓,從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。海王星的存在是天文學(xué)家U Le Verrier和J Adams先通過(guò)微分方程的方法推算出來(lái),然后才實(shí)際觀測(cè)到的,這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識(shí)自然、改造自然方面的巨大能量。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步,常微分方程的應(yīng)用不斷擴(kuò)大和深入。時(shí)至今日,可以說(shuō)常微分方程在所有自然科學(xué)領(lǐng)域和眾多社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用,在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的許多分支中,常微分方程是最常用的重要工具之一,也是整個(gè)數(shù)學(xué)課程體系中

12、的重要組成部分,常微分方程每一步進(jìn)展都離不開(kāi)其他數(shù)學(xué)分支的支援如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等,都對(duì)常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響,當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。反過(guò)來(lái),</p><p>  微分方程的首要問(wèn)題是如何求一個(gè)給定方程的通解或特解。到目前為止,人們已經(jīng)對(duì)許多微分方程得出了求解的一般方法。通過(guò)大量閱讀相關(guān)的參考文獻(xiàn),發(fā)現(xiàn)許多作者重點(diǎn)研究了常數(shù)變易法、比較系數(shù)法等。

13、下面就對(duì)這些文獻(xiàn)進(jìn)行綜述:</p><p>  王高雄、周之銘、朱思明在文獻(xiàn)[1]中介紹了常微分方程的發(fā)展歷史,基本概念、相關(guān)的一些理論依據(jù)、解的定義以及求解的方法。</p><p>  時(shí)寶和黃朝炎在文獻(xiàn)[2]中介紹了微分方程的產(chǎn)生,用具體例子說(shuō)明微分方程的建立過(guò)程;并介紹了微分方程的概念以及它的解等相關(guān)的概念;還介紹了線性微分方程的一般理論和常系數(shù)方程的解法,同時(shí)還舉了一些簡(jiǎn)單的例子,

14、以便于讀者更好地理解。</p><p>  丁同仁、李承治在文獻(xiàn)[3]中介紹了微分方程及其解的定義以及幾何解釋,并介紹了一些求解方法。</p><p>  周義倉(cāng),靳禎,秦軍林在文獻(xiàn)[4]中介紹了常微分方程及其應(yīng)用。作者利用建模、應(yīng)用和計(jì)算機(jī)等特點(diǎn)形成理論、方法、建模、應(yīng)用、計(jì)算機(jī)互相滲透與補(bǔ)充的新體系。既講述求解各類(lèi)微分方程解析解、數(shù)值解的方法,又介紹了用計(jì)算機(jī)分析求解的過(guò)程。</

15、p><p>  Han Bo, Cao Li在文獻(xiàn)[5]中介紹了非線性方程的一類(lèi)半隱式方法,作者基于求解常微分方程剛性問(wèn)題的A-穩(wěn)定Rosenbrock 方法,引入一類(lèi)求解非線性方程的半隱式迭代法,給出了收斂階的分析。通過(guò)幾個(gè)困難的方程求解問(wèn)題,與Newton法、光滑與阻尼方法進(jìn)行了數(shù)值比較。</p><p>  G.Zill,Michael 

16、R.Cullen在文獻(xiàn)[6]中介紹了常系數(shù)線性微分方程的解法。他采用的是先找出方程的輔助方程的根,接著求出輔助方程的根,最后得到原方程的通解。這種方法最主要的環(huán)節(jié)是求解輔助方程的根,對(duì)于高階方程,其輔助方程的根較難求得,因此作者還介紹了計(jì)算機(jī)的使用。</p><p>  錢(qián)祥征、黃立宏編在文獻(xiàn)[7]中介紹了實(shí)際生活中的一些常微分方程,以及與常微分方程相關(guān)的一些基本概念和求解方法.</p><p

17、>  楊國(guó)梁、周周、楊志勇等在文獻(xiàn)[8]中介紹了求解形如的一些微分方程的特解的一種新方法,并給出了為多項(xiàng)式時(shí)的特解,即:</p><p>  設(shè)方程為,分別對(duì)方程的兩邊對(duì)求次導(dǎo),得到</p><p><b>  ······</b></p><p>  此時(shí),令,即可得到,顯然此

18、時(shí).將和代入倒數(shù)第二個(gè)式子,可得,由此逐步推到原方程,即可得到它的一個(gè)特解。</p><p>  莫里斯·克萊因在文獻(xiàn)[9]中介紹了一些古今的數(shù)學(xué)思想,而有關(guān)于微分方程的相關(guān)內(nèi)容主要介紹了18世紀(jì)的常微分方程.</p><p>  熊燦,謝建新在文獻(xiàn)[10]中給出了二階常系數(shù)齊次線性微分方程通解的三角函數(shù)形式或雙曲函數(shù)形式,同時(shí)得出了利用位移定理,結(jié)合待定系數(shù)法解幾類(lèi)特殊的二階常

19、系數(shù)非齊次線性微分方程的解法,簡(jiǎn)化了此類(lèi)微分方程的求解過(guò)程。</p><p>  陳文勝在文獻(xiàn)[11]中將常數(shù)變易法應(yīng)用于二階常系數(shù)線性微分方程求解,得到一種學(xué)生易于掌握的方法。其優(yōu)點(diǎn)是無(wú)需求特解,無(wú)需求基本解組,但可求通解。</p><p>  米翠蘭在文獻(xiàn)[12]中用解一階微分方程的常數(shù)變易法求解三階常系數(shù)非齊次線性微分方程,其優(yōu)點(diǎn)是無(wú)需求特解,無(wú)需求基本解組但可求通解,并且給出了一個(gè)

20、通用的公式。</p><p>  朱廣榮、王述超在文獻(xiàn)[13]中介紹了兩種求常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的簡(jiǎn)便方法, 并且給出了一些實(shí)例, 從而避免了一般教材介紹的利用待定系數(shù)法求特解所帶來(lái)的繁瑣計(jì)算。</p><p><b>  1、降階法</b></p><p>  定理1: 若 對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征根為, 則方程的通解為</p>

21、;<p>  我們可以利用該通解式, 令積分常數(shù)均為0,即得原方程的一個(gè)特解。 這種解法不僅推廣了自由項(xiàng)的形式, 而且可避免待定系數(shù)法之繁鎖。</p><p>  定理2: 若 對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征根為。</p><p> ?。?)當(dāng) 時(shí),原方程的特解為(積分常數(shù)為0),特別地,,且為共軛復(fù)數(shù)時(shí),有</p><p><b>  。</b

22、></p><p>  (2)當(dāng) 時(shí), 原方程的特解為 。</p><p><b>  2、升階法</b></p><p>  我們先考慮為多項(xiàng)式的情況, 可設(shè),現(xiàn)在求的一個(gè)特解。對(duì)兩端連續(xù)做 次求導(dǎo),</p><p><b>  ......</b></p><p>

23、  從上面一系列式子中的最后一個(gè), 可令,此時(shí),這樣由通過(guò)最后第二個(gè)式子可得 , 如此往上推, 一直到, 可得一個(gè)特解y ,我們稱(chēng)這個(gè)方法為升階法。</p><p>  張金戰(zhàn)在文獻(xiàn)[14]中介紹了求二階常系數(shù)線性齊次微分方程的特解的方法.他是在已知二階常系數(shù)齊次微分方程的一個(gè)特解的條件下,討論求二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的一個(gè)特解的方法的,并根據(jù)齊次方程的特征根的不同情形給出了非齊次微分方程的通解,同時(shí)還給出

24、了兩個(gè)定理:</p><p>  定理3:若二階常系數(shù)齊次微分方程有兩個(gè)不相等的實(shí)特征根,則非齊次二階常系數(shù)方程的通解為,其中為任意常數(shù).</p><p>  定理4:若二階常系數(shù)齊次微分方程有兩個(gè)相等的實(shí)特征根,則二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解為,其中為任意常數(shù).</p><p>  殷華敏和霍錦霞在文獻(xiàn)[15]中介紹了用待定系數(shù)-疊加法求常系數(shù)非齊次線性微分方程

25、的解的方法,提出要求得此解必須做兩件事:1、求余函數(shù);2、求方程的任一特解.由此求得方程在區(qū)間的通解,為.</p><p>  通常情況下求特解的方法是待定系數(shù)法,這種方法的基本思想是猜的形式,其中受的影響.這種方法只能適用于兩個(gè)條件的非齊次線性微分方程:</p><p><b>  1、都是常數(shù);</b></p><p>  2、是常數(shù),或多

26、項(xiàng)式,或指數(shù)函數(shù)的有限和、有限積.</p><p><b>  三、總結(jié)部分</b></p><p>  本文先介紹了關(guān)于微分方程的一些歷史背景和一些相關(guān)的概念,并對(duì)所閱讀的參考文獻(xiàn)進(jìn)行綜述,最后對(duì)整篇文章進(jìn)行總結(jié)。常系數(shù)線性微分方程的解法有很多種,但是每種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)。比如,常數(shù)變易法應(yīng)用于二階常系數(shù)線性微分方程時(shí),得到一種學(xué)生易于掌握的方法,它的優(yōu)點(diǎn)是無(wú)需

27、求特解,無(wú)需求基本解組就可求通解。認(rèn)識(shí)到解微分方程方法的適用性就可以大大提高解微分方程的效率和可操作性。解微分方程可以加深對(duì)數(shù)學(xué)概念及方法的理解.通過(guò)對(duì)解題的分析評(píng)價(jià),可以領(lǐng)略數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、推理的美妙。</p><p>  總之,微分方程是一門(mén)十分有用又十分有魅力的學(xué)科,自1693年微分方程概念的提出到動(dòng)力系統(tǒng)的長(zhǎng)足發(fā)展,常微分方程經(jīng)歷漫長(zhǎng)而又迅速的發(fā)展,極大豐富了數(shù)學(xué)家園的內(nèi)容。隨著社會(huì)技術(shù)的發(fā)展和需求,微分方程

28、會(huì)有更大的發(fā)展,可以預(yù)測(cè):隨著依賴數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的其他學(xué)科的發(fā)展,微分方程還會(huì)繼續(xù)擴(kuò)展。</p><p><b>  四、參考文獻(xiàn)</b></p><p>  [1]王高雄,周之銘,朱思銘等.常微分方程 [M].第三版.北京:高等教育出版社. 2006:16-17,120-121,136-144.</p><p>  [2]時(shí)寶,黃朝炎.微分方程基

29、礎(chǔ)及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社.2007:6-7.</p><p>  [3]丁同仁,李承治.常微分方程教程 [M].第二版.北京:高等教育出版社.2004:1-4.</p><p>  [4]周義倉(cāng),靳禎,秦軍林.常微分方程及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社.2003:1-7   </p><p>  [5]Han Bo,

30、 Cao Li. A kind of semi2implicitmethods for nonlinear equations[J].JOU.JOURNAL OF NATURAL SCIENCE OF HEI LONG JIANG UNIVERSITY.2008:25(6),751-754.</p><p>  [6]Dennis G

31、.Zill,Michael R.Cullen. 微分方程與邊界值問(wèn)題.英文版[M].第五版.北京:機(jī)械工業(yè)出版社, 2003: 158-163</p><p>  [7]錢(qián)祥征,黃立宏.常微分方程[M].湖南:湖南大學(xué)出版社.2007:5-6.</p><p>  [8]楊國(guó)梁,周周,楊志勇等.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的一種求法[J].內(nèi)江師專(zhuān)學(xué)院學(xué)報(bào).2009,24:248-25

32、0.</p><p>  [9]莫里斯·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想(第二冊(cè))[M].上海:上??茖W(xué)技術(shù)出版社.2002:199-202.</p><p>  [10]熊燦,謝建新.二階常系數(shù)微分方程解法的簡(jiǎn)化[J].南昌工程學(xué)院學(xué)報(bào).2010:29(1):5-8.</p><p>  [11]陳文勝.常數(shù)變易法在二階常微分中的應(yīng)用[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)論叢. 20

33、01:21(3),47-48.</p><p>  [12]米翠蘭.常數(shù)變易法求解三階常系數(shù)非齊次線性微分方程[J].唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào).2005:27(2):62-64.</p><p>  [13]朱廣榮,王述超.常系數(shù)非齊次線性微分方程解法探討錢(qián)祥征[J].信陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào).2003:16(2),233-235.</p><p>  [14]張金戰(zhàn).二階常系數(shù)線

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 眾賞文庫(kù)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論