畢業(yè)論文——淺析遞推關(guān)系在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用

1、<p><b>　　編號(hào)：</b></p><p>　　本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）</p><p>　　題 目： 淺析遞推關(guān)系在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用 </p><p>　　系部名稱： 數(shù) 學(xué) 系 </p><p>　　

2、專業(yè)名稱： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　世界上的一切事物都在我們不經(jīng)意之間悄悄的發(fā)生著變化，在紛繁的變幻中，許多現(xiàn)象是有規(guī)律可循的。這種規(guī)律往往呈現(xiàn)出前因和后果的關(guān)系，我們可以用遞推的思想去研究這些變化。本文先由斐波拉契的兔子問題著手簡(jiǎn)單的介紹了解決兔子問題

3、的斐波拉契數(shù)列，接著著重介紹遞推關(guān)系在求解數(shù)列的通項(xiàng)公式中的建立過程和求解方法，最后舉例說(shuō)明遞推關(guān)系在高中數(shù)學(xué)概率、排列組合、數(shù)學(xué)歸納法及我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ妴栴}等幾方面的應(yīng)用。依據(jù)題意建立遞推關(guān)系式，分析所建立的遞推關(guān)系式的解法，學(xué)習(xí)遞推關(guān)系的靈活多樣的特點(diǎn)。如在求解數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)通常采用的逐差疊加法、通項(xiàng)代替法、遞推解法等。同時(shí)讓它融入到我們的實(shí)際生活，解決我們經(jīng)常遇到的一些實(shí)際實(shí)例。隨著人們對(duì)遞推關(guān)系的深入和研究，形成了相當(dāng)多的類

4、型。我們對(duì)這些類型的深入研究，讓遞推關(guān)系的應(yīng)用更方便，使得其應(yīng)用領(lǐng)域更為廣泛。</p><p>　　關(guān)鍵字：遞推關(guān)系；高中數(shù)學(xué)；數(shù)列；通項(xiàng)公式 </p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　Everything in the word we inadvertently quietly changing, in nu

5、merous changes, many phenomena are regular. This rule often showing the antecedents and consequences of the relationship, we can use the recursive thinking to study these changes. The paper first Fibonacci rabbit problem

6、s introduced a simple solution to the rabbit problem Fibonacci sequence, then emphatically introduces the recursive relation in solving sequence passes a formula in the building process and the solving method, final i<

7、;/p><p>　　Keywords: Recursive relations; high school mathematics; sequence; the formula of general term </p><p><b>　　第一章 引言1</b></p><p>　　第二章 遞推關(guān)系的起源與發(fā)展2</p><p

8、>　　2.1 斐波拉契數(shù)列的萌芽2</p><p>　　2.2 斐波拉契數(shù)列的簡(jiǎn)介2</p><p>　　2.2.1 斐波拉契數(shù)列定義及遞推公式3</p><p>　　2.2.2 斐波拉契數(shù)列的通項(xiàng)公式3</p><p>　　2.2.3 斐波拉契數(shù)列的幾個(gè)特性3</p><p>　　2.3 大自然中的斐

9、波拉契數(shù)列4</p><p>　　第三章 遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)5</p><p>　　3.1 一階遞推數(shù)列5</p><p>　　3.1.1 一階線性遞推數(shù)列5</p><p>　　3.1.2 一階非線性遞推數(shù)列6</p><p>　　3.2 二階遞推數(shù)列8</p><p>　　3.

10、2.1 二階齊次線性遞推數(shù)列8</p><p>　　3.2.2 二階齊次非線性遞推數(shù)列9</p><p>　　3.3 分式遞推數(shù)列10</p><p>　　第四章 遞推關(guān)系在其他方面的應(yīng)用11</p><p>　　4.1 遞推關(guān)系在概率中的應(yīng)用11</p><p>　　4.2 利用遞推關(guān)系求解排列組合問題1

11、2</p><p>　　4.3 在數(shù)學(xué)歸納法中尋找遞推關(guān)系13</p><p>　　4.4生活中的遞推關(guān)系14</p><p><b>　　結(jié)束語(yǔ)15</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)16</b></p><p><b>　　致謝17</

12、b></p><p><b>　　第一章 引言</b></p><p>　　遞推思想作為數(shù)學(xué)里的一種重要思想，體現(xiàn)了世界上眾多事物所蘊(yùn)含的現(xiàn)象、變化及其遵循的一種前因后果的關(guān)系.在眾多的數(shù)學(xué)分支如：數(shù)列、排列組合、概率等中起著至關(guān)重要的作用，存在著非常廣泛的應(yīng)用.</p><p>　　在高中數(shù)學(xué)里遞推關(guān)系往往是與自然數(shù)相關(guān)聯(lián)的，在處理與之

13、相關(guān)的問題時(shí)可建立與之相對(duì)應(yīng)的數(shù)列關(guān)系.遇到直接求解比較困難的問題時(shí)，可以先由題意建立適當(dāng)?shù)倪f推關(guān)系，然后再解決題目所要求的一系列問題.例如求數(shù)列的通項(xiàng)公式，我們往往需要先根據(jù)題意建立符合題意的遞推關(guān)系，根據(jù)已知條件選擇遞推公式，最終得到所要求的數(shù)列的通項(xiàng)公式，這是近幾年高考的熱點(diǎn).在高中數(shù)學(xué)中遞推關(guān)系主要應(yīng)用在求解數(shù)列的通項(xiàng)公式、事件發(fā)生的概率、排列組合問題和數(shù)學(xué)歸納法等幾個(gè)重要方面.</p><p>　　數(shù)列

14、是高考的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn).我們常見的給出數(shù)列的方式并不唯一：通過遞推關(guān)系及初始值給出這是一種最簡(jiǎn)單的類型，另外一種類型則需要我們自行建立遞推關(guān)系來(lái)解決.根據(jù)遞推關(guān)系在數(shù)列問題中的結(jié)構(gòu)類型，遞推數(shù)列可分為線性遞推關(guān)系和非線性遞推關(guān)系；按照相等和不等關(guān)系，遞推數(shù)列可分為等量遞推、不等量遞推等.在具體運(yùn)用遞推關(guān)系時(shí)，可按照下標(biāo)由小到大遞推，也可按照下標(biāo)由大到小遞推.從遞推方式上看可分為正向遞推與反向遞推.利用遞推關(guān)系與遞推思想解決問題的方

15、法稱為遞推方法.而要解決遞推數(shù)列則是求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式這一核心問題.</p><p>　　隨著素質(zhì)教育全面貫徹實(shí)施，理論與實(shí)際生活緊密聯(lián)系是社會(huì)所關(guān)注的問題也是國(guó)家希望學(xué)校培養(yǎng)的學(xué)生所能達(dá)到的目標(biāo)和要求.遞推關(guān)系在其中占據(jù)著非常重要的理論依據(jù).</p><p>　　學(xué)好高中數(shù)學(xué)我們必須要了解遞推關(guān)系在其各方面的涉獵，理解并牢固掌握遞推關(guān)系在其各方面的應(yīng)用.這也為我們以后能夠向更高層次發(fā)展

16、打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，更是為我們今后能夠在學(xué)術(shù)問題進(jìn)行探討研究的起點(diǎn).</p><p>　　本文圍繞遞推關(guān)系在數(shù)列求解通項(xiàng)公式里的重要應(yīng)用及其在概率、排列組合、數(shù)學(xué)歸納法、生活中的一些實(shí)例中的分析來(lái)體現(xiàn)遞推關(guān)系在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用.</p><p>　　第二章 遞推關(guān)系的起源與發(fā)展</p><p>　　2.1 斐波拉契數(shù)列的萌芽</p><p>　　公

17、元5—11世紀(jì)[1]，在歐洲天主教會(huì)成為社會(huì)的絕對(duì)勢(shì)力．封建宗教統(tǒng)治的天主教會(huì)大力宣揚(yáng)天啟真理，長(zhǎng)期的思想統(tǒng)治導(dǎo)致了民眾理性的壓抑，整個(gè)歐洲文明在這一時(shí)期始終處于凝滯狀態(tài)．</p><p>　　公元12世紀(jì)，這種長(zhǎng)期的凝滯狀態(tài)受到了翻譯的強(qiáng)烈刺激，開始出現(xiàn)逐漸復(fù)蘇的跡象．</p><p>　　歐洲數(shù)學(xué)復(fù)蘇之后，第一位有影響的數(shù)學(xué)家誕生了,那就是學(xué)術(shù)界眾所周知的斐波拉契（L.Fibonacc

18、i,1170—1250）．早年的斐波拉契跟隨父親向北非的阿拉伯人學(xué)習(xí)算學(xué)，后來(lái)他游歷了地中海沿岸的眾多國(guó)家，回到意大利后把這一切寫成了《算經(jīng)》（Liber Abaci,1202）．1228年的《算經(jīng)》修訂版載有著名的“兔子問題”．</p><p>　　“兔子問題”的提出斐波拉契本人并未對(duì)這個(gè)數(shù)列問題做進(jìn)一步的探討．到了19世紀(jì)初有人發(fā)現(xiàn)了這其中蘊(yùn)含的一些特殊意義并加以了研究．1960年，世界各國(guó)的數(shù)學(xué)家開始對(duì)斐波

19、拉契數(shù)列及其有關(guān)現(xiàn)象進(jìn)行關(guān)注并產(chǎn)生了濃厚的興趣，針對(duì)這個(gè)問題他們不僅成立了著名的“斐氏學(xué)會(huì)”，而且還創(chuàng)辦了相關(guān)刊物，其后各種相關(guān)文章也像“斐氏”的兔子一樣迅速的增加．</p><p>　　2.2 斐波拉契數(shù)列的簡(jiǎn)介</p><p>　　某人在一處有圍墻的地方養(yǎng)了一對(duì)兔子每月生一對(duì)小兔子，而小兔子出生后兩個(gè)月就能生育．問從這對(duì)兔子開始一年內(nèi)能繁殖多少對(duì)兔子[2]（倘若每對(duì)兔子都能一直正常的繁

20、殖）?</p><p>　　將兔子對(duì)數(shù)作為研究對(duì)象，最初為1．此問題就是著名的斐波拉契數(shù)列：</p><p>　　1，1，2，3，5，8，13，21，…</p><p>　　這個(gè)數(shù)列其實(shí)有很明顯的規(guī)律：開頭兩個(gè)數(shù)為1以后的每個(gè)數(shù)字都是由它前面兩個(gè)數(shù)相加而得．但在經(jīng)歷了歐洲的漫長(zhǎng)黑暗時(shí)期，斐波拉契數(shù)列可以看作是歐洲數(shù)學(xué)走向復(fù)蘇的號(hào)角．</p><p

21、>　　2.2.1 斐波拉契數(shù)列定義及遞推公式</p><p>　　一個(gè)數(shù)列，前兩項(xiàng)等于1，從第三項(xiàng)起以后的每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和，則稱這樣的數(shù)列為斐波拉契數(shù)列．</p><p><b>　　其遞推公式為：</b></p><p>　　2.2.2 斐波拉契數(shù)列的通項(xiàng)公式</p><p>　　我們?cè)谥懒遂巢ɡ鯏?shù)列為：

22、1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…這樣的形式．且這是一個(gè)線性遞推數(shù)列．設(shè)它的特征方程為：</p><p><b>　　解得：．</b></p><p><b>　　則，又，故</b></p><p><b>　　解得：．</b></p><p>　

23、　所以，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有：</p><p>　　這樣一個(gè)看似簡(jiǎn)單的斐波拉契數(shù)列其通項(xiàng)公式卻是通過無(wú)理數(shù)來(lái)表示的一個(gè)非常完美的式子．</p><p>　　斐波拉契數(shù)列的幾個(gè)特性</p><p>　　觀察這個(gè)斐波拉契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：</p><p>　　數(shù)列的第3項(xiàng)、第6

24、項(xiàng)、第9項(xiàng)、第12項(xiàng)的數(shù)字，能夠被2整除；</p><p>　　數(shù)列的第4項(xiàng)、第8項(xiàng)、第12項(xiàng)的數(shù)字，能夠被3整除；</p><p>　　數(shù)列的第5項(xiàng)、第10項(xiàng)的數(shù)字，能夠被5整除；</p><p><b>　　其余的以此類推．</b></p><p>　　連續(xù)的10個(gè)斐波拉契數(shù)之和，必定等于第7個(gè)數(shù)的11倍；</

25、p><p><b>　?。袋S金分割點(diǎn)）．</b></p><p>　　2.3 大自然中的斐波拉契數(shù)列</p><p>　　1、賈憲三角形中處于對(duì)角線上的各數(shù)之和構(gòu)成的數(shù)列是斐波拉契數(shù)列．</p><p>　　2、大自然里很多美麗的花朵其花瓣數(shù)目符合斐波拉契數(shù)列規(guī)律，換句話說(shuō)就是在大多數(shù)情況下，一朵花的花瓣數(shù)目都是3,5,8

26、,13,21,34，…</p><p>　　3、假若樹枝是每年都長(zhǎng)出一根新枝，而這根長(zhǎng)出來(lái)的新枝兩年以后每年也能夠長(zhǎng)出一根新枝，則歷年的樹枝數(shù)目，構(gòu)成斐波拉契數(shù)列．</p><p>　　第三章 遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)</p><p>　　在研究一個(gè)數(shù)列時(shí)，如果想要比較方便的獲取該數(shù)列的某一項(xiàng)的值到底是多往往需要去探索該數(shù)列的通項(xiàng)．然而有時(shí)候一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)并不是那么容易

27、的可以直接的得到，要是能夠比較直接的得到相鄰幾項(xiàng)的一個(gè)關(guān)系式，那我們也可以通過這個(gè)關(guān)系式進(jìn)行遞推進(jìn)而得到所需項(xiàng)的值．這種相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系就是我們常常所說(shuō)的數(shù)列的遞推關(guān)系．因此要進(jìn)行數(shù)列的研究，遞推的研究又是一個(gè)重要的方面．下面是我的一些求解數(shù)列遞推關(guān)系的一些探索與認(rèn)識(shí)[3]．</p><p>　　3.1 一階遞推數(shù)列</p><p>　　引理 對(duì)于任意，由遞推關(guān)系確定的數(shù)列稱為遞推數(shù)列，

28、為階數(shù)[4]．</p><p>　　若是呈線性關(guān)系的，則稱該數(shù)列為線性數(shù)列；反之為非線性數(shù)列．</p><p>　　本節(jié)內(nèi)容通過重點(diǎn)分析一階線性遞推數(shù)列和一階非線性遞推數(shù)列，得到求這類型數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，并總結(jié)它們解法的區(qū)別與聯(lián)系．</p><p>　　3.1.1 一階線性遞推數(shù)列</p><p>　　求形如 數(shù)列的通項(xiàng)．</p&

29、gt;<p>　　例 已知數(shù)列 滿足的通項(xiàng)公式[5]．</p><p><b>　　解：由已知 ，故</b></p><p>　　該類型的數(shù)列的前有限項(xiàng)和可求，我們通常是采用將其前有限項(xiàng)進(jìn)行疊加的方法求解其通項(xiàng)公式．</p><p>　　求形如 數(shù)列的通項(xiàng)．</p><p>　　例 設(shè)數(shù)列，其中且，求數(shù)列

30、的通項(xiàng)公式[6]．</p><p><b>　　解：因?yàn)?， </b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，數(shù)列的首項(xiàng)為，且后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為，即公比為的等比數(shù)列．</p><p><b>　　所以，，即．</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，仍滿足上式．</b></p&g

31、t;<p>　　故，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．</p><p>　　在求解這類數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，我們通過觀察可知數(shù)列的極限存在且為，則，得，由，得數(shù)列為等比數(shù)列，在處理實(shí)際的問題時(shí)我們還需具體問題具體分析．</p><p>　　3.1.2 一階非線性遞推數(shù)列</p><p>　　求形如 數(shù)列的通項(xiàng)．</p><p>　　例 設(shè)是首項(xiàng)為

32、1的正項(xiàng)數(shù)列，且，求的通項(xiàng)公式[7]．</p><p>　　解：由題意，對(duì)其進(jìn)行因式分解易得，</p><p>　　因?yàn)閿?shù)列的首項(xiàng)為1，且每一項(xiàng)均為正數(shù)，則有：</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　即．</b></p><p><b&g

33、t;　　故，．</b></p><p>　　通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列的前項(xiàng)的積容易化簡(jiǎn)，我們一般利用疊乘法求其通項(xiàng)公式．</p><p>　　求形如“，其中=常數(shù)”數(shù)列的通項(xiàng)．</p><p>　　例 已知，且，求的通項(xiàng)公式[8]．</p><p><b>　　解：由，得 ，</b></p>&l

34、t;p>　　設(shè)，則，，于是數(shù)列 是首項(xiàng)為，公比為2 的等比數(shù)列．那么</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　求解此類型數(shù)列通項(xiàng)公式問題時(shí)，常用的方法是將作差轉(zhuǎn)化為的形式進(jìn)行求解．</p><p>　　求形如 ， 數(shù)列的通項(xiàng)．<

35、/p><p>　　例 已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．</p><p>　　解：根據(jù)已知條件數(shù)列的每一項(xiàng)均為正數(shù)即，，對(duì)上式兩邊分別取其對(duì)數(shù)則有，，令，則，故</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　該類型的數(shù)列問題在求解其通項(xiàng)公式時(shí)，我們一般利用取其兩邊對(duì)數(shù)的方法．</p><p>　　

36、3.2 二階遞推數(shù)列</p><p>　　若題目給出了一個(gè)數(shù)列的前兩項(xiàng)，且已知用第項(xiàng)和第項(xiàng)來(lái)表示第項(xiàng)的關(guān)系式，如，形如這種類型的數(shù)列我們稱之為二階遞推數(shù)列．求該數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法一般采用構(gòu)造法．</p><p>　　本節(jié)主要介紹兩種常見的二階遞推數(shù)列，二階齊次線性遞推數(shù)列和二階齊次非線性遞推數(shù)列的求解過程和方法[9]．</p><p>　　3.2.1 二階齊次線性

37、遞推數(shù)列</p><p>　　求解形如“”（其中均為常數(shù)，，）數(shù)列的通項(xiàng)公式．</p><p>　　例 數(shù)列滿足，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式[10]．</p><p><b>　　解：設(shè)，則，于是</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　

38、　解得，</b></p><p>　　故，，當(dāng)，那么數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，</p><p><b>　　于是，</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b&g

39、t;　?。?lt;/b></p><p>　　對(duì)于二階齊次線性遞推數(shù)列問題，我們通常想到的解決方法是，類比求解一階線性遞推數(shù)列的解法來(lái)求解二階齊次線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式．</p><p>　　3.2.2 二階齊次非線性遞推數(shù)列</p><p>　　求形如“”（其中為常數(shù)，，）數(shù)列的通項(xiàng)．</p><p>　　例 已知，求數(shù)列的通項(xiàng)[11

40、]．</p><p>　　解：已知方程的特征方程為特征根為：</p><p><b>　　解得，</b></p><p><b>　　于是，</b></p><p><b>　　…</b></p><p><b>　　解得，</b>

41、</p><p>　　二階齊次遞推數(shù)列的是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，我們可以從累加法和解方程組法兩個(gè)角度進(jìn)行考慮．</p><p>　　3.3 分式遞推數(shù)列</p><p>　　設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，且，其中為常數(shù)，且，．我們稱這個(gè)遞推公式為分式遞推數(shù)列[12]．對(duì)于分式遞推數(shù)列我們也可以寫成：</p><p><b>　?。?lt;/b&g

42、t;</p><p><b>　　例 ，，求．</b></p><p>　　解：對(duì)已知的等式左右兩邊同時(shí)加則有：</p><p>　　而假設(shè)解得代入方程則有，相除可得的首項(xiàng)為，公比為的這樣一個(gè)等比數(shù)列．故</p><p>　　在求解分式線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，我們一般根據(jù)給出的形式進(jìn)行一些特殊的處理，將分式遞推數(shù)列的問

43、題進(jìn)一步簡(jiǎn)單化進(jìn)而求解其通項(xiàng)公式．</p><p>　　高中數(shù)學(xué)里求數(shù)列的通項(xiàng)公式是我們經(jīng)常遇到的運(yùn)用遞推關(guān)系的實(shí)例，但同樣是在數(shù)列中求解數(shù)列的前項(xiàng)的和是我們遇到的另一個(gè)方面[13]．</p><p>　　第四章 遞推關(guān)系在其他方面的應(yīng)用</p><p>　　4.1 遞推關(guān)系在概率中的應(yīng)用</p><p>　　概率作為數(shù)學(xué)概率論的一個(gè)基本概念

44、是高中數(shù)學(xué)非常重要的知識(shí)，縱觀近幾年高考數(shù)學(xué)中的概率問題考查內(nèi)容都是將理論與實(shí)際結(jié)合的一些實(shí)際問題，具有非常強(qiáng)的實(shí)踐性和可操作性．本節(jié)著重介紹用遞推關(guān)系及遞推思想求解概率問題的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)這一重要工具在日常生活中的重要應(yīng)用．</p><p>　　例 某個(gè)電器開關(guān)閉合后，會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃動(dòng)．已知開關(guān)第一次閉合出現(xiàn)紅燈和出現(xiàn)綠燈的概率都是，從開關(guān)第二次閉合起，若前次出現(xiàn)紅燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率為，出現(xiàn)綠燈的

45、概率為；若前次出現(xiàn)綠燈，則下次出現(xiàn)紅燈的概率是，出現(xiàn)綠燈的概率為；記開關(guān)第次閉合出現(xiàn)紅燈的概率為求證：[14]</p><p>　　解：由題意可得：開關(guān)第次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率，必須考慮第次閉合后出現(xiàn)紅、綠燈的情況．</p><p><b>　　令</b></p><p>　　整理上述結(jié)果不難得出：那么易知為等比數(shù)列，</p>&

46、lt;p><b>　　所以，</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，</b></p><p>　　在本題中與的關(guān)系為（為常數(shù)，）是一個(gè)一階遞推關(guān)系式，我們通過構(gòu)造等比數(shù)列對(duì)其進(jìn)行求解．</p><p>　　4.2 利用遞推關(guān)系求解排列組合問題</p><p>　　排列組合作為高考必考內(nèi)容，

47、往往與其他知識(shí)結(jié)合以凸顯它的實(shí)際意義．我們知道有些排列組合問題，從正面直接求解比較困難，我們可以考慮前后兩組合數(shù)之間的遞推關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題．本節(jié)內(nèi)容是遞推關(guān)系在排列組合中的又一應(yīng)用[15]．</p><p>　　例 日常生活中我們走一樓梯一般共10級(jí)臺(tái)階，假若現(xiàn)規(guī)定一次只能走1級(jí)或2級(jí)，則要上這段樓梯共有多少種不同的走法．</p><p>　　解：設(shè)共有種不同的走法，最后一步的走法

48、可分為兩種：①最后1步跨1級(jí)，前共有種的走法；②最后1步跨2級(jí)，前級(jí)共有種不同的行走方法．</p><p><b>　　于是，，則</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　…</b>

49、;</p><p><b>　　故，總共的走法有</b></p><p>　　解答本題的關(guān)鍵是：根據(jù)題意建立正確的遞推關(guān)系，從而將問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)列問題，進(jìn)而求解．</p><p>　　我們?cè)诮鉀Q這一些實(shí)際生活中的遞推關(guān)系時(shí)可以建立相應(yīng)的數(shù)列關(guān)系．當(dāng)直接求解這些數(shù)列問題比較困難時(shí)，我們不妨先由已知條件建立相應(yīng)的遞推關(guān)系式，然后求解數(shù)列的通項(xiàng)公

50、式，最后由數(shù)列通項(xiàng)得到我們所要求的結(jié)論．</p><p>　　4.3 在數(shù)學(xué)歸納法中尋找遞推關(guān)系</p><p>　　近年來(lái)高考數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)歸納法是必考內(nèi)容，通常以證明題的形式出現(xiàn)．此類型的證明題通過其他證明方法通常不是很容易，尤其是含有遞推關(guān)系的遞歸式子．</p><p>　　例 證明：凸邊形的對(duì)角線數(shù)存在關(guān)系</p><p>　　證：（1）

51、當(dāng)時(shí)圖形為三角形沒有對(duì)角線，則即命題對(duì)成立．</p><p>　?。?）設(shè)命題亦成立，那么此時(shí)凸邊形的對(duì)角線數(shù)存在關(guān)系式：當(dāng)時(shí)，凸邊形由原來(lái)的個(gè)頂點(diǎn)變?yōu)閭€(gè)頂點(diǎn)，則對(duì)角線數(shù)增加條，即那么</p><p>　　所以，命題對(duì)時(shí)也成立．</p><p>　　故，凸邊形的對(duì)角線數(shù)對(duì)任意均成立．</p><p>　　數(shù)學(xué)歸納法證明這類型的題的關(guān)鍵是找出這

52、個(gè)關(guān)系式．在找不到遞推關(guān)系的情況下同樣可以由結(jié)論反推而得到．</p><p>　　4.4生活中的遞推關(guān)系 </p><p>　　我們所學(xué)習(xí)的知識(shí)能過用于實(shí)際生活才會(huì)更加充分的體現(xiàn)它的實(shí)用價(jià)值．遞推關(guān)系在我們?nèi)粘Ｉ钪幸彩菍乙姴货r，如隨機(jī)游動(dòng)問題、配對(duì)問題、涂色問題、子集選擇問題等．</p><p>　　例 10對(duì)夫婦參加舞會(huì)，現(xiàn)要求選擇舞伴，其中規(guī)定同一對(duì)夫妻不能選

53、擇對(duì)方當(dāng)舞伴，舞伴必須是男女搭配，問有多少種不同的選法[16]？</p><p>　　解：對(duì)于一般情形，假設(shè)有對(duì)夫婦，男士記為女士記為，此時(shí)可供選擇的方法為</p><p>　　假如，表示男士1選擇女士2當(dāng)舞伴．</p><p>　　若，此時(shí)剩下的對(duì)夫婦，還有種的選法；</p><p>　?、谌舸藭r(shí)又把看成一對(duì)夫婦，此時(shí)有中選法．同樣的，我們

54、考慮</p><p><b>　　綜上：</b></p><p><b>　　由可得</b></p><p>　　所以，10對(duì)夫婦共有1334961種選擇舞伴的方法．</p><p>　　本節(jié)以我們生活中常見的配對(duì)問題進(jìn)行了舉例說(shuō)明，給出了解決這類型的問題的一般方法與過程，也是最優(yōu)分配問題解決的常用

55、方法．</p><p><b>　　結(jié)束語(yǔ)</b></p><p>　　論文淺析了遞推關(guān)系在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，隨著數(shù)列問題在高考中的升溫，要在高考數(shù)學(xué)中脫穎而出首先要學(xué)好基本的數(shù)列知識(shí)，然后要弄清遞推關(guān)系在這其中的重要作用。本文在斐波拉契數(shù)列的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)介紹了如何利用遞推關(guān)系求解高中數(shù)學(xué)中數(shù)列問題的通項(xiàng)公式。通過具體的實(shí)例分析及近年來(lái)的高考題的呈現(xiàn)，為讀者留下更為深

56、刻的印象，從多方面多角度的了解問題，能夠更有深刻的去把握它。</p><p>　　遞推關(guān)系實(shí)際上是根據(jù)題意建立關(guān)系式求解問題的一個(gè)過程，這和現(xiàn)在提倡的素質(zhì)教育，探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)不謀而合。通過探索遞推關(guān)系式的過程，培養(yǎng)高中學(xué)生的探究問題的能力，總結(jié)出解決問題的有效方法。這樣就再是傳統(tǒng)的接受學(xué)習(xí)。老師不是知識(shí)的灌輸者，而成為一位指路人；學(xué)生也不是知識(shí)的容器，而是一個(gè)探究者。這不僅僅與國(guó)際上現(xiàn)代教育的教育思想相一致，而且

57、對(duì)促進(jìn)我國(guó)的“素質(zhì)教育”的開展也有非常積極的作業(yè)。由于時(shí)間有限，對(duì)高中數(shù)學(xué)中遞推關(guān)系的歸納、概括還不夠全面、不夠透徹，我將在今后的學(xué)習(xí)生活、工作中不斷的去發(fā)現(xiàn)和總結(jié)。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 李文林. 數(shù)學(xué)史概論(第三版)[M]. 高等教育出版社,2011,(10):124.</p><p>　

58、　[2] 張思明. 張思明與數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)[M]. 北京師范大學(xué)出版社,2006,(5):135.</p><p>　　[3] 劉紹學(xué). 李建華.數(shù)學(xué)5必修[M]. 人民教育出版社,2007,(11):27.</p><p>　　[4] 趙永正. 漫談數(shù)列通項(xiàng)公式的求法[J]. 南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2011,(19):118.</p><p>　　[5] 侯萬(wàn)祥. 由遞

59、推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種方法[J]. 中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊,2012,(13):56.</p><p>　　[6] 于燁. 淺析數(shù)列遞推關(guān)系的幾種求法[J]. 考試周刊,2011,(34):68.</p><p>　　[7] 許艷明. 一階線性遞推數(shù)列的幾種推導(dǎo)方法[J]. 合肥教育學(xué)院學(xué)報(bào),2001,(2):47.</p><p>　　[8] 萬(wàn)松強(qiáng). 由遞推關(guān)系求

60、數(shù)列的常見類型及其解題策略[J]. Studio Classroom,2011,(8):97.</p><p>　　[9] 江兆林. 祝清順.關(guān)于兩類非線性遞推數(shù)列[J]. 黃淮學(xué)刊,2011,(34):75.</p><p>　　[10] 尤田. 二階常系數(shù)線性齊次遞歸數(shù)列通項(xiàng)的求解[J]. 考試周刊,2009,(33):68.</p><p>　　[11] 唐勝

61、忠. 二階線性遞推數(shù)列的求解方法[J]. 考試周刊,2011,(59):80.</p><p>　　[12] 蔡大志. 分式線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)[J]. 數(shù)學(xué)通訊,2005,(15):9.</p><p>　　[13] 周文珍. 幾種常見類型依遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法[J]. 新課程學(xué)習(xí),2009,(7):87.</p><p>　　[14] 龐良緒. 用遞推法解

62、題[J]. 數(shù)學(xué)通訊,2004,(21):41.</p><p>　　[15] 唐匯林. 高中數(shù)學(xué)中利用遞推關(guān)系的四類問題[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2011,(21):94.</p><p>　　[16] 高歌. 巧用遞推關(guān)系求解實(shí)際問題[J]. 新課程學(xué)習(xí),2011,(8):151.</p><p><b>　　致謝</b></p>

63、;<p>　　美好的四年大學(xué)時(shí)光在這個(gè)冬季即將畫上一個(gè)句號(hào)，而我們每位同學(xué)的人生卻只是一個(gè)逗號(hào)，我們面臨的是一次新的征程。在這四年里有苦口婆心的父母、有循循善誘的師長(zhǎng)、有許多觀念許多目標(biāo)，我們都曾為此而活．雖然這條路走得辛苦卻也收獲滿囊。</p><p>　　感謝培養(yǎng)教育我的**；感謝數(shù)學(xué)系為我們所創(chuàng)造的良好的學(xué)習(xí)氛圍、生活環(huán)境；感謝我的指導(dǎo)老師—**老師，他嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、一絲不茍的作風(fēng)是我工作、學(xué)習(xí)的

64、榜樣；他不拘一格的治學(xué)態(tài)度給我了無(wú)盡的啟迪。</p><p>　　感謝四年中陪伴在我身邊的所有同學(xué)、朋友，感謝他們?yōu)槲姨岢龅乃杏幸娴慕ㄗh和意見。是你們的支持、鼓勵(lì)和幫助，讓我度過了充實(shí)而又美好的四年大學(xué)時(shí)光。</p><p>　　感謝生我養(yǎng)我的父母雙親，在我19歲之后，依然給與我足夠的精神及物質(zhì)支持，讓我順利的完成了大學(xué)的四年學(xué)業(yè)。謝謝您們！</p><p>