ch22量子力學(xué)基礎(chǔ)

1、<p>　　Ch. 22 量子力學(xué)基礎(chǔ)</p><p>　　§22.1 實(shí)物粒子的波動(dòng)性（物質(zhì)波）</p><p><b>　　一、物質(zhì)波的引入</b></p><p>　　光具有波粒二象性。光子能量和動(dòng)量為</p><p>　　左邊是描寫粒子性的 E、p，右邊是描寫波動(dòng)性的、 —— 將光的粒子性與波

2、動(dòng)性聯(lián)系起來。1923年到1924年，光的波粒二象性作為一個(gè)普遍的概念，已為人們所理解和接受。法國(guó)物理學(xué)家路易·德布羅意認(rèn)為，如同過去對(duì)光的認(rèn)識(shí)比較片面一樣，對(duì)實(shí)物粒子的認(rèn)識(shí)或許也是片面的，二象性并不只是光才具有的，實(shí)物粒子也可能具有二象性。</p><p>　　1924年11月，德布羅意在博士論文《量子理論的研究》中闡述了著名的物質(zhì)波理論：一切實(shí)物粒子都有具有波粒二象性。</p><

3、;p>　　實(shí)物粒子：靜止質(zhì)量不為零的微觀粒子（如電子、質(zhì)子、中子等）。</p><p>　　實(shí)物粒子的波粒二象性的意思是：微觀粒子既具有粒子的特性又具有波動(dòng)的特性。實(shí)物粒子的波稱為物質(zhì)波或德布羅意波，物質(zhì)波的波長(zhǎng)稱為德布羅意波長(zhǎng)。</p><p>　　這一理論為建立波動(dòng)力學(xué)（根據(jù)微觀粒子的波動(dòng)性建立起來的，用波動(dòng)方程描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理論，量子力學(xué)理論的一種表述形式）奠定了堅(jiān)實(shí)基

4、礎(chǔ)。由于這一劃時(shí)代的研究成果，使他獲得1929年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，同時(shí)也使他成為第一個(gè)以學(xué)位論文獲得諾貝爾獎(jiǎng)的學(xué)者。</p><p><b>　　二、德布羅意關(guān)系式</b></p><p>　　德布羅意把愛因斯坦對(duì)光的波粒二象性的描述應(yīng)用到實(shí)物粒子，動(dòng)能為E，動(dòng)量為p的粒子的頻率和波長(zhǎng)：</p><p>　　三、物質(zhì)波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證</p&g

5、t;<p>　　德布羅意撰寫論文時(shí)，他的哥哥（莫里斯·德布羅意）建議他的論文應(yīng)包括實(shí)驗(yàn)部分，但他沒有采納這個(gè)建議。他的物質(zhì)波理論是在沒有得到任何實(shí)驗(yàn)事實(shí)支持的情況下提出來的，這就使得答辯委員會(huì)對(duì)物質(zhì)波的真實(shí)性存在疑慮，答辯委員會(huì)主席佩蘭就提出了物質(zhì)波如何用實(shí)驗(yàn)來證實(shí)的問題。對(duì)佩蘭的提問，德布羅意回答：用晶體對(duì)電子的衍射實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證物質(zhì)波的存在是可能的。</p><p>　　1、戴維孫-革末實(shí)驗(yàn)

6、：1927年（美國(guó)）C. J. 戴維森與G. P. 革末作電子衍射實(shí)驗(yàn)。戴維遜和革末的實(shí)驗(yàn)是用電子束垂直投射到鎳晶體的晶面上，觀察到和 X 射線衍射類似的電子衍射現(xiàn)象。其強(qiáng)度分布可用德布羅意關(guān)系和衍射理論給以解釋，從而驗(yàn)證了物質(zhì)波的存在。</p><p>　　2、湯姆孫實(shí)驗(yàn)：1927年（英國(guó)）G. P. 湯姆遜也獨(dú)立完成了電子束穿過多晶薄膜的衍射實(shí)驗(yàn)。</p><p>　　G. P. 湯姆

7、遜與C. J. 戴維森共獲1937年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。</p><p>　　此后，人們相繼證實(shí)了原子、分子、中子等都具有波動(dòng)性。</p><p>　　【例】質(zhì)量m= 50kg的人，以v=10m/s 的速度運(yùn)動(dòng)，試求人的德布羅意波長(zhǎng)。</p><p><b>　　·解： （m）</b></p><p>　　說明：

8、一切實(shí)物粒子都具有波粒二象性。宏觀物體的波長(zhǎng)是很短的，波動(dòng)性不顯著，因此對(duì)宏觀物體不必考慮其波動(dòng)性，只考慮其粒子性即可；而微觀粒子，特別是勻速運(yùn)動(dòng)的粒子，它們物質(zhì)波波長(zhǎng)顯著，不能把它們?cè)倏醋鹘?jīng)典粒子。</p><p>　　【例】電子經(jīng)電場(chǎng)加速后，設(shè)加速電壓U（單位：V）。電子速率v<<c時(shí)，求德布羅意波長(zhǎng)與加速電壓的關(guān)系。</p><p><b>　　·解：

9、由 ：</b></p><p><b>　　四、意義與應(yīng)用</b></p><p>　　1、德布羅意的物質(zhì)波假設(shè)為波動(dòng)力學(xué)的建立奠定了基礎(chǔ)。波動(dòng)力學(xué)是根據(jù)德布羅意的物質(zhì)波假設(shè)建立起來的，用波動(dòng)方程描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理論，是量子理論的一種主要表述形式。1926年，E. 薛定諤在德布羅意物質(zhì)波假設(shè)的基礎(chǔ)上提出微觀粒子運(yùn)動(dòng)滿足的波動(dòng)方程，并發(fā)展了完善的近似

10、計(jì)算方法，用于解決氫原子等問題獲得成功，成為量子理論建立過程中的重要組成部分。</p><p>　　2、利用電子的波動(dòng)性（波長(zhǎng)短，分辨率高）觀察物體的微觀結(jié)構(gòu)——電子掃描隧道顯微鏡。微觀粒子的波動(dòng)性已經(jīng)在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)上得到應(yīng)用。電子顯微鏡分辨之所以較普通顯微鏡高，就是應(yīng)用了電子的波動(dòng)性。光學(xué)顯微鏡由于受到可見光的限制，分辨率不能很高，放大倍數(shù)最大只有2000倍左右。而電子的德布羅意波長(zhǎng)比可見光短得多，按知，U為幾

11、百伏特時(shí)，電子波長(zhǎng)和X射線相同。如果加速電壓增大到幾萬伏特，則波長(zhǎng)更短。所以，電子顯微鏡放大倍數(shù)很大，可達(dá)到幾十萬倍以上。</p><p>　　【例】試計(jì)算動(dòng)能分別為100eV、1MeV、1GeV的電子的德布羅意波長(zhǎng)。</p><p>　　·解：由相對(duì)論公式，</p><p><b>　　得： </b></p><

12、;p>　　電子的德布羅意波長(zhǎng)： </p><p><b>　　電子靜能：</b></p><p><b>　　若，則： ；</b></p><p><b>　　若，則： </b></p><p><b>　?。?）當(dāng)時(shí)，：</b><

13、;/p><p>　　與X射線的波長(zhǎng)相當(dāng)。</p><p><b>　?。?）當(dāng)時(shí)：</b></p><p><b>　　（3）當(dāng)時(shí)，：</b></p><p>　　§22.2 波函數(shù)及統(tǒng)計(jì)解釋</p><p><b>　　一、波函數(shù) </b><

14、;/p><p>　　既然微觀粒子具有波動(dòng)性，描述粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)就要用到波函數(shù)。1925年，奧地利物理學(xué)家薛定諤給出波函數(shù)的形式，并推導(dǎo)出物質(zhì)波函數(shù)所遵循的運(yùn)動(dòng)方程——薛定諤方程。 </p><p>　　當(dāng)物質(zhì)波沿方向傳播時(shí)，空間波函數(shù)</p><p>　　三維形式： ；一維形式： </p><p>　　由 波數(shù)：； 另一種形式的普朗克常量：

15、</p><p><b>　　得：</b></p><p>　　一維形式的波函數(shù)： </p><p>　　三維形式的波函數(shù)： </p><p>　　二、玻恩假設(shè)——波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋</p><p>　　為了描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，薛定諤根據(jù)德布羅意的物質(zhì)波理論給出了波函數(shù)所遵循的運(yùn)動(dòng)方程——薛定

16、諤方程。但是，波函數(shù)的物理意義是什么并沒有解決。</p><p>　　1926年，由德國(guó)物理學(xué)家玻恩通過自己的研究對(duì)波函數(shù)的物理意義作出了統(tǒng)計(jì)解釋，即波函數(shù)的二次方代表粒子出現(xiàn)的幾率取得了很大的成功。因?yàn)檫@一成就，玻恩榮獲了1954年度諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。</p><p>　　某處出現(xiàn)粒子的概率正比于該處德布羅意波振幅的平方——玻恩對(duì)德布羅意波的統(tǒng)計(jì)解釋。</p><p&g

17、t;　　例如，用微觀粒子的波粒二象性解釋電子衍射實(shí)驗(yàn)圖象：</p><p>　　從波動(dòng)的觀點(diǎn)來看，明紋處表明電子的波強(qiáng)大；暗紋處表明電子的波強(qiáng)??；</p><p>　　從粒子的觀點(diǎn)來看，明紋處表明電子到達(dá)的概率大；暗紋處表明電子到達(dá)的概率小。</p><p>　　物質(zhì)波的強(qiáng)度反映了實(shí)物粒子出現(xiàn)在該處的概率物質(zhì)波振幅的平方與粒子在該處出現(xiàn)的概率成正比。</p&g

18、t;<p>　　——波函數(shù)，表示t時(shí)刻粒子在空間某點(diǎn)附近的概率分布狀態(tài)。</p><p>　　——概率密度，表示t時(shí)刻粒子在空間某點(diǎn)附近單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率。因此，也稱概率幅。</p><p>　　根據(jù)玻恩的統(tǒng)計(jì)解釋，粒子在全空間出現(xiàn)的概率總和為1，即</p><p><b>　　——?dú)w一化條件</b></p>&l

19、t;p>　　——一維形式的歸一化條件</p><p>　　波函數(shù)必須滿足的自然條件：?jiǎn)沃?，有限，連續(xù)。</p><p>　　*說明* 德布羅意波與經(jīng)典物理當(dāng)中研究的波是截然不同的，如：機(jī)械波是機(jī)械振動(dòng)在空間中的傳播，而德布羅意波是對(duì)微觀粒子運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)描述，它的振幅平方表述了粒子出現(xiàn)的概率。我們絕對(duì)不能把微觀粒子的波動(dòng)性，機(jī)械地理解成經(jīng)典物理當(dāng)中的波，不能認(rèn)為實(shí)物粒子變成了彎彎曲曲的波

20、了。</p><p>　　三、用概率密度來解釋電子雙縫干射實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。</p><p>　　電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)示意圖</p><p>　　——表示單開縫1時(shí)，t時(shí)刻電子在底板某點(diǎn)附近的概率分布；</p><p>　　——表示單開縫2時(shí)，t時(shí)刻電子在底板某點(diǎn)附近的概率分布；</p><p>　　——表示兩縫同時(shí)打開時(shí)，t時(shí)刻

21、電子在底板某點(diǎn)附近的概率分布。</p><p>　　實(shí)驗(yàn)結(jié)果與經(jīng)典概率論： 不符。說明物質(zhì)波相干的概率密度不是概率的疊加，而是概率幅的疊加。</p><p>　　§22.3 不確定關(guān)系 </p><p>　　在經(jīng)典力學(xué)中，任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)和動(dòng)量都有確定值，因此可用坐標(biāo)和動(dòng)量描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)。那么，對(duì)于微觀粒子是否也可以這樣做呢？</p>

22、<p>　　由于微觀粒子的波動(dòng)性，其空間位置是用概率波來描述的，而概率波只能給出粒子在各處出現(xiàn)的概率。所以，微觀粒子在各時(shí)刻不具備確定的位置、動(dòng)量、能量等物理量。</p><p>　　一、坐標(biāo)和動(dòng)量的不確定關(guān)系</p><p>　　以電子運(yùn)動(dòng)為例。設(shè)平行單能電子束，沿軸方向入射到單縫上，縫寬，電子經(jīng)單縫后產(chǎn)生衍射，衍射圖樣分布關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示：</p>&l

23、t;p>　　電子通過狹縫時(shí)在x方向動(dòng)量發(fā)生改變。若只考慮中央極大，動(dòng)量不確定度為：</p><p>　　由單縫衍射公式，第一級(jí)暗紋的角位置滿足：</p><p><b>　　可得： </b></p><p>　　考慮到還有次級(jí)極大，必有 .</p><p>　　上述討論只是反映不確定關(guān)系的實(shí)質(zhì)，并不表示

24、準(zhǔn)確的量值關(guān)系。量子力學(xué)嚴(yán)格證明給出：</p><p>　　意義：粒子的位置坐標(biāo)不確定度越小，則同方向上的動(dòng)量不確定度越大。</p><p>　　·不確定關(guān)系——微觀粒子的位置坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)具有確定的值。</p><p>　　1927年，由德國(guó)物理學(xué)家海森堡根據(jù)德布羅意的物質(zhì)波理論和對(duì)實(shí)驗(yàn)的分析得出，因此海森堡不確定關(guān)系（原理）。海森堡因創(chuàng)立量子理論的

25、另一種重要表述形式——矩陣力學(xué)而獲得1932年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。</p><p>　　海森堡不確定關(guān)系告訴我們：微觀粒子坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)確定。若粒子位置測(cè)得極為準(zhǔn)確，我們將無法知道它將要朝什么方向運(yùn)動(dòng)；若動(dòng)量測(cè)得極為準(zhǔn)確，我們就不可能準(zhǔn)確地測(cè)出此時(shí)此刻粒子究竟處于什么位置。</p><p>　　不確定關(guān)系是由物質(zhì)本身固有的特性所決定的，而不是由于儀器或測(cè)量方法的缺陷所造成的。不論測(cè)量?jī)x器的

26、精度有多高，我們認(rèn)識(shí)一個(gè)物理體系的精確度也要受到限制。</p><p>　　二、能量和時(shí)間的不確定關(guān)系：</p><p>　　在量子力學(xué)中，對(duì)能量和時(shí)間的同時(shí)測(cè)量也存在類似的不確定關(guān)系，即：</p><p>　　利用這個(gè)關(guān)系我們可以解釋原子各激發(fā)態(tài)的能級(jí)寬度和它在該激發(fā)態(tài)的平均壽命之間的關(guān)系。</p><p>　　【例】若電子與質(zhì)量m = 0

27、.01 kg的子彈，都以200 m/s的速度沿x方向運(yùn)動(dòng)，速率測(cè)量相對(duì)誤差在0.01%內(nèi)。求在測(cè)量二者速率的同時(shí)測(cè)量位置所能達(dá)到的最小不確定度。</p><p>　　解：（1）電子動(dòng)量不確定度：</p><p><b>　　由不確定關(guān)系：</b></p><p>　　電子位置的不確定度：</p><p>　　可見，對(duì)于原

28、子尺寸的粒子，軌道的概念是沒有意義的，我們不能用經(jīng)典力學(xué)來描述。 </p><p>　?。?）子彈動(dòng)量不確定度：</p><p>　　電子位置的不確定度：</p><p>　　可見，宏觀物體的位置不確定度很小，用經(jīng)典坐標(biāo)、動(dòng)量完全能精確描述。</p><p>　　【例】某原子的第一激發(fā)態(tài)的能級(jí)寬度為，試估算原子處于第一激發(fā)態(tài)的壽命。</

29、p><p>　　解：由能量和時(shí)間的不確定關(guān)系： </p><p><b>　　得， </b></p><p>　　§22.4 薛定諤方程（Schrödinger Equation）</p><p>　　1926年，奧地利物理學(xué)家薛定諤在瑞士的蘇黎世大學(xué)任教和求學(xué)期間，在德布羅意物質(zhì)波假說的基礎(chǔ)上，建立了描

30、述微觀粒子運(yùn)動(dòng)的微分方程，可以正確處理低速情況下各種微觀粒子的運(yùn)動(dòng)問題。他所提出的這套理論體系，稱為波動(dòng)力學(xué)。后來證明，波動(dòng)力學(xué)與由海森堡、玻恩等人從不同角度提出的矩陣力學(xué)完全等價(jià)，成為量子力學(xué)的主要表述形式之一。</p><p>　　1928年狄拉克把相對(duì)論引入量子力學(xué)，建立了相對(duì)論形式的薛定諤方程，也就是著名的狄拉克方程。薛定諤和狄拉克共同獲得1933年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。</p><p>

31、;　　一、一維定態(tài)薛定諤方程</p><p>　　處于一個(gè)勢(shì)場(chǎng)U中的粒子，其總能量E一部分用來克服勢(shì)場(chǎng)U束縛做功，一部分為自身動(dòng)能Ek，有 .</p><p>　　已知一維形式的波函數(shù)： </p><p><b>　　令 </b></p><p><b>　　則 </b></p

32、><p>　　當(dāng)勢(shì)函數(shù)U不依賴于時(shí)間t時(shí)，粒子具有確定的能量E，粒子的狀態(tài)稱為定態(tài)。</p><p>　　只與有關(guān)，與無關(guān)。稱為一維定態(tài)波函數(shù)。</p><p><b>　　可得</b></p><p>　　—— 一維定態(tài)薛定諤方程。</p><p>　　薛定諤方程僅適用于速度不太大的非相對(duì)論粒子，是

33、一個(gè)非相對(duì)論的波動(dòng)方程。量子力學(xué)中求解粒子問題常歸結(jié)為解薛定諤方程或定態(tài)薛定諤方程。薛定諤方程廣泛地用于原子物理、核物理和固體物理，對(duì)于原子、分子、核、固體等一系列問題中求解的結(jié)果都與實(shí)際符合得很好。它在量子力學(xué)中的地位相當(dāng)于牛頓定律對(duì)于經(jīng)典力學(xué)一樣，是量子力學(xué)的基本方程之一。</p><p>　　在給定初始條件和邊界條件以及波函數(shù)所滿足的單值、有限、連續(xù)的條件下，可解出波函數(shù)。由此可計(jì)算粒子的分布概率和任何可能

34、實(shí)驗(yàn)的平均值（期望值）。</p><p>　　二、求解薛定諤方程分四步： </p><p>　?。?）列出各勢(shì)域的一維薛定諤方程 </p><p><b>　?。?）求通解 </b></p><p>　　（3）使用波函數(shù)邊界條件定解</p><p><b>　?。?）定歸一化系數(shù)<

35、/b></p><p><b>　　應(yīng)用——</b></p><p>　　§22.6 一維無限深方勢(shì)阱中的粒子</p><p>　　微觀粒子在微觀體系中的運(yùn)動(dòng)問題稱為量子物理問題。一般來說，不能再用經(jīng)典力學(xué)理論來求解。而應(yīng)該建立量子物理體系的模型，用量子力學(xué)的方法來求解。</p><p>　　金屬中的電子

36、在構(gòu)成金屬骨架的晶體點(diǎn)陣之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，要受到點(diǎn)陣上正離子的作用力，這種作用力可用兩者相互作用的勢(shì)能表征。電子在這個(gè)有勢(shì)力場(chǎng)中自由運(yùn)動(dòng)時(shí)，通常并不能自發(fā)地掙脫出金屬表面，這表明在金屬內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng)到表面上時(shí)，它的總能量（動(dòng)能和勢(shì)能）遠(yuǎn)小于表面處的勢(shì)能，因而受到阻擋。因此，我們對(duì)金屬中的電子運(yùn)動(dòng)有時(shí)可以作這樣的簡(jiǎn)化處理，即認(rèn)為：如果沒有外界影響（如外電場(chǎng)、光照等），電子好似被無限高的勢(shì)能“壁”禁錮于金屬內(nèi)。這個(gè)抽象出來的計(jì)算模型，稱為無限深方勢(shì)

37、阱。只考慮在一維勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，就是一維無限深方勢(shì)阱模型。一維無限深方勢(shì)阱是量子物理中一種最簡(jiǎn)單的模型。</p><p><b>　　一、波函數(shù)的解 </b></p><p><b>　　·特點(diǎn)：</b></p><p>　　粒子在勢(shì)阱內(nèi)的勢(shì)能為零，受力為零，自由運(yùn)動(dòng)；在阱外勢(shì)能為無窮大，在阱壁上受極大的斥力，不能

38、逸出阱外。</p><p>　　一維定態(tài)薛定諤方程：</p><p>　　在勢(shì)阱之外（），因?yàn)閯?shì)壁無限高，從物理上考慮，粒子不能透過勢(shì)壁。按波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋，要求阱壁及阱外波函數(shù)為0，并有邊界條件：</p><p>　　在勢(shì)阱之內(nèi)()，U=0，一維定態(tài)波動(dòng)方程為</p><p><b>　　令 </b></

39、p><p><b>　　通解為： </b></p><p>　　為待定系數(shù)，根據(jù)邊界條件和歸一化條件確定。根據(jù)邊界條件，有</p><p><b>　　解得： ；</b></p><p><b>　　粒子的波函數(shù)： </b></p><p>　?。╪=0

40、時(shí)，，沒有物理意義；而n取負(fù)值，給不出新的波函數(shù)）</p><p>　　·歸一化條件：粒子在空間各處的分布概率總和為1，即。利用歸一化條件來確定振幅A。</p><p><b>　　[]</b></p><p><b>　　得， </b></p><p>　　最后，解得粒子在一維無限深勢(shì)

41、阱中的波函數(shù)為</p><p><b>　　二、粒子的能量</b></p><p><b>　　由 </b></p><p><b>　　解得： </b></p><p>　　這說明：粒子的能量E值是分立的，只有取這些分立值En時(shí)，相應(yīng)的波函數(shù)才滿足本問題的邊界條件

42、。這樣我們就得出：體系的能量是量子化的，即構(gòu)成的能譜是分立的。</p><p>　　n稱為量子數(shù)；相應(yīng)的能量En稱為體系的能量本征值，相應(yīng)的波函數(shù)稱為能量本征函數(shù)；有每個(gè)本征波函數(shù)描述的粒子的狀態(tài)成為粒子的能量本征態(tài)，能量最低的態(tài)稱為基態(tài)；其上能量較大的態(tài)稱為激發(fā)態(tài)。</p><p>　　粒子的動(dòng)量： </p><p>　　粒子的德布羅意波長(zhǎng)：

43、 </p><p><b>　　討論：</b></p><p>　　1、對(duì)于一維無限深方勢(shì)阱，粒子束縛于有限空間范圍，在無限遠(yuǎn)處，=0 。這就是束縛態(tài)。一維有限運(yùn)動(dòng)能量本征值是分立能級(jí)，組成分立譜。</p><p>　　2、粒子的最低能級(jí)，這與經(jīng)典粒子不同，是微觀粒子波動(dòng)性的表現(xiàn)，因?yàn)椤办o止的波”是沒有意義的，也是不確定關(guān)系的表現(xiàn)。<

44、;/p><p>　　3、粒子的動(dòng)量和波長(zhǎng)也是量子化的，每一個(gè)能量本征態(tài)對(duì)應(yīng)一個(gè)特定波長(zhǎng)的駐波。</p><p>　　§22.7 氫原子量子理論</p><p>　　一、氫原子S-eq的解</p><p>　　在氫原子中，電子在原子核的庫(kù)侖場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能函數(shù)為：</p><p>　　U(r)不隨時(shí)間變化，屬定態(tài)問題

45、，薛定諤方程 （）變?yōu)?lt;/p><p><b>　　·重要結(jié)論·</b></p><p>　　1、能量量子化：氫原子能量取離散值</p><p>　　——與玻爾理論完全符合。</p><p>　　，稱為主量子數(shù)； 為原子的基態(tài)；為原子的激發(fā)態(tài)。</p><p>　　2、角動(dòng)量量

46、子化： 電子在原子核周圍運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量是量子化的。</p><p>　　用 L 表示角動(dòng)量的大小，則對(duì)于給定的主量子數(shù)n，有</p><p>　　稱為軌道角動(dòng)量量子數(shù)，簡(jiǎn)稱軌道量子數(shù)。</p><p>　　3、角動(dòng)量空間取向量子化： </p><p>　　軌道角動(dòng)量在空間特定方向(z軸方向)的分量也不能取連續(xù)值，而只能取一系列離散的值，叫空間取

47、向量子化。</p><p>　　設(shè)外磁場(chǎng)方向?yàn)閦軸方向，則軌道角動(dòng)量在z方向的投影為</p><p>　　因?yàn)閦方向取原子所在磁場(chǎng)方向，ml 稱為軌道磁量子數(shù)。</p><p>　　以l=3為例，畫出空間量子化的情況：</p><p><b>　　·總結(jié)：</b></p><p>　　氫

48、原子中的電子的狀態(tài)至少由三個(gè)量子數(shù)決定：</p><p><b>　　主量子數(shù)：</b></p><p><b>　　軌道量子書：</b></p><p><b>　　軌道磁量子數(shù)：</b></p><p>　　量子數(shù) () 的每一種組合都表示一種不同的電子狀態(tài)，用波函數(shù)表示。

49、</p><p>　　具有同一主量子數(shù)的各狀態(tài)構(gòu)成一個(gè)殼層，對(duì)應(yīng)用表示；</p><p>　　一個(gè)殼層內(nèi)具有同一軌道量子數(shù)的各狀態(tài)構(gòu)成一個(gè)亞殼層（支殼層），對(duì)應(yīng)用</p><p>　　二、（正常）塞曼效應(yīng)：</p><p>　　1896年，荷蘭物理學(xué)家塞曼（P. Zeeman）發(fā)現(xiàn)，當(dāng)鈉光源放在足夠強(qiáng)的磁場(chǎng)中時(shí)，原來的一條譜線分裂成幾條偏振的

50、譜線，分裂的條數(shù)隨能級(jí)的類別而不同。塞曼由于發(fā)現(xiàn)了這一效應(yīng)與洛倫茲共獲1902年諾貝爾物理獎(jiǎng)。塞曼效應(yīng)的重要性在于它證實(shí)了電子具有軌道磁矩，并且電子軌道角動(dòng)量的空間取向是量子化的。</p><p>　　通過結(jié)薛定諤方程，能量本征態(tài)對(duì)應(yīng)的能量本征值</p><p>　　當(dāng)外加強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，電子軌道角動(dòng)量的空間取向量子化。由于磁場(chǎng)的存在而附加的能量不同造成電子能級(jí)的分裂——（正常）塞曼效應(yīng)。<

51、;/p><p>　　未分裂時(shí)的能級(jí)稱為簡(jiǎn)并能級(jí)</p><p>　　鈉原子：可見光區(qū)的鈉黃光，為電子從能級(jí)躍遷釋放。當(dāng)置于強(qiáng)磁場(chǎng)中，會(huì)看到()三條譜線。與磁場(chǎng)強(qiáng)度B有關(guān)。</p><p>　　§22.8 電子的自旋 泡利不相容原理</p><p><b>　　一、電子自旋</b></p><

52、p>　　1、施特恩-格拉赫實(shí)驗(yàn)</p><p>　　1922年，施特恩（O. Stern）和格拉赫(W. Gerlach）研究非勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的銀原子衍射現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)一些處于s態(tài)()的銀原子射線束，在非均勻磁場(chǎng)中分裂為兩束。此現(xiàn)象用電子的軌道角動(dòng)量及其取向量子化不能解釋。</p><p><b>　　2、電子自旋</b></p><p>　　1

53、925年，烏侖貝克(G. E. Uhlenbeck)和高德斯密特(S. A. Goudsmit)提出電子自旋假說。把電子繞自身軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)稱為自旋。由自旋產(chǎn)生的磁矩稱為自旋磁矩，由自旋產(chǎn)生的角動(dòng)量記為S，與磁矩方向相反。</p><p><b>　　自旋角動(dòng)量：</b></p><p><b>　?。ㄗ孕孔訑?shù)：）</b></p>&

54、lt;p>　　自旋在磁場(chǎng)方向z的投影：</p><p><b>　?。ㄗ孕帕孔訑?shù)）</b></p><p>　　考慮到電子的自旋，一個(gè)電子的狀態(tài)有四個(gè)量子數(shù)確定：，記為。</p><p><b>　　3、反常塞曼效應(yīng)</b></p><p>　　在強(qiáng)磁場(chǎng)（~10T）中的原子，由于軌道角動(dòng)量的

55、取向量子化而產(chǎn)生的能級(jí)差遠(yuǎn)大于因電子自旋取向量子化產(chǎn)生的能級(jí)差，后者忽略，造成電子能級(jí)分裂為奇數(shù)條（一般為3條），為正常塞曼效應(yīng)。</p><p>　　而在弱磁場(chǎng)（~10-1T）中，就不能忽略電子自旋及自旋-軌道角動(dòng)量耦合而附加的能級(jí)差，電子能級(jí)分裂為偶數(shù)條，為反常塞曼效應(yīng)。</p><p>　　二、泡利不相容原理（原子的殼層結(jié)構(gòu)）</p><p>　　1、泡利不相

56、容原理描述：</p><p>　　同一系統(tǒng)中，不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的電子處于完全相同的量子態(tài)。即，在一個(gè)原子中，每個(gè)狀態(tài)只有一個(gè)電子（狀態(tài)數(shù)=電子數(shù)）</p><p><b>　　2、費(fèi)米子和玻色子</b></p><p>　　粒子按其在高密度或低溫度時(shí)集體行為的不同可以分成兩大類：一類是費(fèi)米子，得名于意大利物理學(xué)家費(fèi)米，另一類是玻色子，得名

57、于印度物理學(xué)家玻色。區(qū)分這兩類粒子的重要特征是自旋。自旋是量子化的，它只能取普朗克常數(shù)的整數(shù)倍（玻色子，如光子、介子等）或半整數(shù)倍（費(fèi)米子，如電子、質(zhì)子等）。</p><p>　　費(fèi)米子和玻色子遵循完全不同的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。前者遵循的費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)，其中一個(gè)顯著和特點(diǎn)，就是1925年瑞士科學(xué)家泡利發(fā)現(xiàn)的“泡利不相容原理”，即在一個(gè)費(fèi)米子系統(tǒng)中，絕不可能存在兩個(gè)或兩個(gè)以上在電荷、動(dòng)量和自旋朝向等方面完全相同的費(fèi)米子。這

58、就像電影院里的座位，每座只能容納一個(gè)人。而玻色子則完全不同，一個(gè)量子態(tài)可以容納無窮多個(gè)玻色子。因此，也只有玻色子才可能出現(xiàn)玻色－愛因斯坦凝聚現(xiàn)象。</p><p>　　例如，鋰的兩種同位素鋰6和鋰7分別為費(fèi)米子和玻色子。圖片分別顯示在810、510和240nk時(shí)鋰6和鋰7原子氣和原子云照片。我們可以看到，鋰7（左），隨著溫度的降低所占的尺寸變小，也就是發(fā)生了凝聚，而鋰6（右）的尺寸則保持穩(wěn)定，不發(fā)生凝聚。這是因?yàn)?/p>

59、泡利不相容原理的限制，使兩個(gè)費(fèi)米子不可能在同一時(shí)間占據(jù)同一個(gè)空間。正因如此，白矮星最終只能在引力作用下坍塌到一個(gè)極限尺寸而不再進(jìn)一步縮小。</p><p>　　玻色子包括：. 膠子 - 強(qiáng)相互作用的媒介粒子，自旋為1，有8種；光子-電磁相互作用的媒介粒子，自旋為1，只有1種 。這些基本粒子在宇宙中的“用途”可以這樣表述：構(gòu)成實(shí)物的粒子(輕子和重子)和傳遞作用力的粒子(光子、介子、膠子、W和Z玻色子)。在這樣的一個(gè)

60、量子世界里，所有的成員都有標(biāo)定各自基本特性的四種量子屬性：質(zhì)量、能量、磁矩和自旋。 </p><p><b>　　3、能量最低原理</b></p><p>　　一個(gè)穩(wěn)定的原子中，電子總是處于可能的最低能級(jí)狀態(tài)。</p><p>　　4、電子的排布（原子的殼層結(jié)構(gòu)）</p><p>　　原子中的核外電子按能級(jí)的排布，稱原子

61、的殼層結(jié)構(gòu)。</p><p>　　分布原則：泡利不相容原理 能量最低原理</p><p>　　二者共同決定：(1)當(dāng)能量較低的能態(tài)被電子占據(jù)后，其余的電子只有被迫向較高能態(tài)排布；(2)電子從原子最內(nèi)層開始，向外依次填滿一個(gè)一個(gè)殼層。</p><p>　　注意：在多電子原子中，電子的能量與主量子數(shù)和軌道量子數(shù)有關(guān)，其相對(duì)能級(jí)滿足經(jīng)驗(yàn)定律：，值越大能級(jí)越高。可能出現(xiàn)主

62、量子數(shù)大的能級(jí)低于小的能級(jí)，則電子仍遵守能量最低原理。</p><p><b>　?、?分層電子數(shù)分布</b></p><p>　　相同，，對(duì)應(yīng)2個(gè)態(tài)，最多容納2個(gè)電子；</p><p>　　相同（一個(gè)支殼層），，對(duì)應(yīng)個(gè)態(tài)，最多容納個(gè)電子；</p><p>　　相同（一個(gè)殼層），，對(duì)應(yīng)狀態(tài)數(shù)，即最多容納電子數(shù)為</

63、p><p><b>　　.</b></p><p><b>　?、?殼層結(jié)構(gòu)表示法</b></p><p>　　例：鉀（K）原子，核外有19個(gè)電子，寫出其各層電子分布。</p><p><b>　　解： </b></p><p><b>