淺談數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、<p>　　淺談數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的應(yīng)用</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　數(shù)形結(jié)合就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來考察，根據(jù)解決問題的需要，可以把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題去討論，或者把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題來研究，簡(jiǎn)言之“數(shù)形相互取長(zhǎng)補(bǔ)短”。 數(shù)形結(jié)合作為一種常見的數(shù)學(xué)方法, 溝通了代數(shù)、三角與

2、幾何的內(nèi)在聯(lián)系。一方面,借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化,給人以直覺的啟示。另一方面,將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,以獲得精確的結(jié)論。因此,數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法，而應(yīng)作為一種十分重要的數(shù)學(xué)思想方法, 它可以拓寬學(xué)生的解題思路, 提高他們的解題能力，將它作為知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的“橋”。</p><p>　　關(guān)鍵詞: 數(shù)形結(jié)合思想；直觀；數(shù)學(xué)教學(xué)；應(yīng)用</p><

3、;p>　　Discusses the number shape union thought shallowly in the teaching application</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　Counts the shape union is unifying the question stoichiometri

4、c relation and the space form to inspect, according to solving the question need, we can transform the stoichiometric relation question for the graph nature question discusses, or transform the graph nature question for

5、the stoichiometric relation question studies, “the number shape makes up for one's deficiency by learning from others strong points mutually in short”. Counts the shape union as one common mathematical method, has co

6、mmu</p><p>　　Key words: Counts the shape union thought，Intuitively, Mathematics teaching, Application</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　一、前言…………………………………………3</p><

7、p>　　二、正文…………………………………………3</p><p>　　解決集合問題………………………………………………………………5</p><p>　　解決函數(shù)問題………………………………………………………………5</p><p>　　解決方程與不等式的問題………………………………………………………………………6</p><p>　

8、　解決三角函數(shù)問題………………………………………………………………………8</p><p>　　解決線性規(guī)劃問題 ………………………………………………………………………………9</p><p>　　解決數(shù)列問題…………………………………………………………………………………… 10</p><p>　　解決解析幾何問題 ……………………………………………………………

9、…………………10</p><p>　　三、 結(jié)束語(yǔ)……………………………………………………………………………………………………11</p><p>　　前言：數(shù)學(xué)思想就是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法是密不可分的，對(duì)于數(shù)學(xué)方法來說，思想是其相應(yīng)的方法的精神實(shí)質(zhì)和理論基礎(chǔ)，方法則是實(shí)施有關(guān)思

10、想的技術(shù)手段。中學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和各種數(shù)學(xué)方法，都體現(xiàn)著一定的數(shù)學(xué)思想。</p><p>　　在數(shù)學(xué)思想中，有一類思想是體現(xiàn)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果，這些思想可以稱之為基本數(shù)學(xué)思想。中學(xué)階段的基本數(shù)學(xué)思想包括：分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、變換與轉(zhuǎn)化的思想、整體思想、函數(shù)與方程的思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想、極限思想等等。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中處處滲透著基本數(shù)學(xué)思想，如果能使它落實(shí)到學(xué)生學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維

11、活動(dòng)上，它就能在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力方面發(fā)揮出一種方法論的功能。在這些數(shù)學(xué)思想方法中數(shù)形結(jié)合思想是一種很重要的方法，它貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)課程。本文就針對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用簡(jiǎn)單談一下自己的看法。</p><p>　　正文：數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老，也是最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為兩大部分，一部分是數(shù)，一部分是形，但數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合

12、或形數(shù)結(jié)合。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非”，“數(shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性。我認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。 </p><p>　　作為一種數(shù)學(xué)思想方法

13、，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種基本形式，一是“形”的問題轉(zhuǎn)化為用數(shù)量關(guān)系去解決，運(yùn)用代數(shù)、三角知識(shí)進(jìn)行討論，它往往把技巧性極強(qiáng)的推理論證轉(zhuǎn)化可具體操作的代數(shù)運(yùn)算，很好的起到化難為易的作用。在解析幾何中就常常利用數(shù)量關(guān)系去解決圖形問題。二是“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為形狀的性質(zhì)去解決，它往往具有直觀性，易于理解與接受的優(yōu)點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合在解題過程中應(yīng)用十分廣泛，如在解決集合問題，求函數(shù)的值域和最值問題，解方程和解不等式問題，三角函數(shù)問題，解決線性規(guī)劃

14、問題，解決數(shù)列問題，解決解析幾何問題中都有體現(xiàn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，不僅直觀易于尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計(jì)算和推理，簡(jiǎn)化解題過程。下面就數(shù)形結(jié)合思想在集合問題、函數(shù)、方程、不等式、線性規(guī)劃、數(shù)列及解析幾何中的應(yīng)用做一個(gè)系統(tǒng)的分析。</p><p>　　(一)、解決集合問題</p><p>　　在集合運(yùn)算中常常借助于數(shù)軸、文氏圖來處理集合的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，從而使問題得以簡(jiǎn)化，使運(yùn)算

15、快捷明了。</p><p>　　例 1: 已知集合 A=[0,4],B=[-2,3], 求 A∩B。</p><p>　　分析: 對(duì)于這兩個(gè)有限集合, 我們可以將它們?cè)跀?shù)軸上表示出來, 就可以很清楚的知道結(jié)果。如圖 1, 由圖我們不難得出A∩B=[0,3]。</p><p><b>　　圖1</b></p><p>　　

16、(二)、解決函數(shù)問題</p><p>　　利用圖形的直觀性來討論函數(shù)的值域(或最值)，求解變量的取值范圍，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想考查化歸轉(zhuǎn)化能力、邏輯思維能力，是函數(shù)教學(xué)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容。</p><p>　　例 2: 對(duì)于 xR, y 取 4 - x, x + 1，(5 - x)三個(gè)值的最小值。求y 與x 的函數(shù)關(guān)系及最大值。</p><p>　　分析：在分析此題時(shí),

17、要引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想, 在同一坐標(biāo)系中, 先分別畫出 y = 4 - x, y = x + 1, y = (5 - x)的圖像，如圖2。易得:A (1, 2) ，B (3, 1) , 分段觀察函數(shù)的最低點(diǎn)，故y與x 的函數(shù)關(guān)系式是:</p><p><b>　　y= </b></p><p><b>　　圖2</b></p&

18、gt;<p>　　它的圖像是圖形中的實(shí)線部分。結(jié)合圖像很快可以求得,當(dāng)x= 1 時(shí), y 的最大值是 2。 </p><p>　　例 3 :若函數(shù) f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(- ∞,0]上是減函數(shù)，且f(2)= 0 ,求 f(x)< 0的x的范圍。</p><p>　　解:由偶函數(shù)的性質(zhì),y = f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱,由y = f(x)在(- ∞,0 )上為

19、減函數(shù),且 f(-2) = f(2) = 0 ,做出圖3,由圖像可知f(x)< 0 ，所以x（- 2，2) </p><p><b>　　圖3</b></p><p>　　(三)、解決方程與不等式的問題</p&g

20、t;<p>　　處理方程問題時(shí)，把方程的根的問題看作兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題；處理不等式時(shí)，從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。</p><p>　　例 4: 已知關(guān)于x 的方程=px，有 4個(gè)不同的實(shí)根, 求實(shí)數(shù)p 的取值范圍。</p><p>　　分析: 設(shè)y ==與y=px這兩個(gè)函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi), 畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖像, 如

21、圖4?？芍?lt;/p><p><b>　　圖4</b></p><p>　　(1)直線y= px 與y= -(x- 4x+ 3) , x[ 1, 3 ]相切時(shí)原方程有3個(gè)根。</p><p>　　(2) y= px 與 x 軸重合時(shí), 原方程有兩個(gè)解, 故滿足條件的直線y= px 應(yīng)介于這兩者之間, 由: 得</p><p&

22、gt;　　x+ (p - 4)x+ 3= 0, 再由△=0 得, p = 4±2 , 當(dāng)p= 4+ 2時(shí), x= - [1, 3 ]舍去, 所以實(shí)數(shù)p的取值范圍是 0< p< 4- 2 。</p><p>　　例 5: 若不等式 x- ㏒x < 0, 在（0,)內(nèi)恒成立, 則a的取值范圍是什么?</p><p>　　分析: 原不等式可化為x < ㏒x，

23、x（0,)，設(shè)y= x與y= ㏒x，在坐標(biāo)系中作出y= x，x（0,)的圖像，如圖當(dāng)x=時(shí)，y= x =，顯然, 當(dāng)x（0,)時(shí)，y< 就恒成立。</p><p>　?、佼?dāng)a >1 時(shí), 在（0,)上y= ㏒x圖像( 如圖5 )在y= x的圖像下方, 不合題意。</p><p><b>　　圖5</b></p><p>　?、诋?dāng) 0

24、< a< 1 時(shí)，y= ㏒x在（0,)上的圖像（ 如圖6 ）是減函數(shù)。只需 y ，就可以使x< ㏒x，x（0,)恒成立。</p><p><b>　　圖6</b></p><p>　　故㏒，㏒a4，所以a（）= , 綜上有a∈ 。</p><p>　　把方程不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù), 利用函數(shù)圖像解決問題是數(shù)形結(jié)合的一種重要渠道?！　?/p>

25、</p><p>　　(四)、解決三角函數(shù)問題</p><p>　　有關(guān)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖像來處理，數(shù)形結(jié)合思想是處理三角函數(shù)問題的重要方法。</p><p>　　例 6： 設(shè) x，求證: cscx - cotx - 1 </p><p>　　分析: 由條件聯(lián)想等腰三角形,不妨構(gòu)造

26、一個(gè)等腰直角三角形ABC, 如圖7，設(shè)∠CDB=x, 利用 AD+DBAB=，可得cscx - cotx - 1。</p><p><b>　　圖7</b></p><p>　　例 7：已知0<x<y<，求證:+2sinxcosy+2sinycosz>sin2x+sin2y+sin2z。</p><p>　　證明: 如圖

27、8,在單位圓中,設(shè)∠AOD=x, ∠BOD=y, ∠COD=z,則 A,B,C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(cosx,sinx),(cosy,siny),(cosz,sinz) 。</p><p>　　圖中三個(gè)矩形面積分別為2sinx(cosx-siny),2siny(cosy-sinz), 2sinzcosz。</p><p>　　顯然，這三個(gè)矩形面積之和小于半圓面積，即有+2sinxcosy+2si

28、nycosz >sin2x+sin2y+sin2z。</p><p><b>　　圖8</b></p><p>　　(五)、解決線性規(guī)劃問題</p><p>　　線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值的問題。從圖形上找思路恰好就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。</p><p>　　例8：已知1x - y2且2x +

29、y4,求 4x - 2y 的范圍。</p><p>　　解此題可直接利用代數(shù)方法用換元法去求解, 這里用數(shù)形結(jié)合法來解決。</p><p>　　在平面坐標(biāo)系中作出直線 x + y = 2 ，x + y = 4 , x - y = 1 , x - y = 2 ,則 1x - y2和2x + y4表示平面上的陰影部分(包括邊界) ,如圖9所示，令4x - 2y = m ,則y = 2x - ，

30、顯然 m 為直線系4x - 2y = m 在y軸上截距2倍的相反數(shù),易看出,直線4 x - 2 y = m 過陰影最左邊的點(diǎn) A（) 時(shí), m 取最小值 5 ；過陰影最右邊的點(diǎn) C(3 ,1) 時(shí), m 取最大值10。即 4 x - 2 y 的范圍是[5，10]。</p><p><b>　　圖9</b></p><p>　　該題是用線性規(guī)劃的思想,數(shù)形結(jié)合解決了具有

31、約束條件的函數(shù)的最值問題。</p><p>　　(六)、解決數(shù)列問題</p><p>　　數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式可以看作關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)。用數(shù)形結(jié)合的思想研究數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖像進(jìn)行直觀分析，從而把數(shù)列的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的有關(guān)問題來解決。</p><p>　　例9： 等差數(shù)列{ a}中,前m項(xiàng)的和S= S( mn) ,求 S的值

32、。</p><p>　　解：代入等差數(shù)列的求和公式,則由S= S，得ma + = na + ,因?yàn)閙n，所以a + = 0，S=（m+n）a + = (m+n)= 0。</p><p>　　這種解法易上手,但繁瑣。若能利用數(shù)列求和公式的二次函數(shù)式,其解法又將進(jìn)一步簡(jiǎn)化。</p><p>　　由S=An+Bn，S=Am+Bm 。因?yàn)閙n，所以S= A(m+n)

33、+B（m+n）（m+n） = (m+n) = 0 。若再進(jìn)一步利用S=An+Bn的二次函數(shù)圖像就可產(chǎn)生如下解法：由S=An+Bn，不妨設(shè)A< 0，而 y = Ax+Bx的圖像是一個(gè)過坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線，則由S= S( mn)可知，該拋物線的對(duì)稱軸方程是x = ，易知,拋物線和x軸的一個(gè)交點(diǎn)是原點(diǎn),另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是(m + n)，故S=0 。</p><p>　　這個(gè)問題的第二種解法用到了數(shù)形結(jié)合,培養(yǎng)了學(xué)生

34、由數(shù)列聯(lián)想到函數(shù)圖像,二者之間相互映證、轉(zhuǎn)化,使學(xué)生感到一種數(shù)學(xué)變化的快樂。</p><p>　　(七)、解決解析幾何問題</p><p>　　解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，在解題中善于將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用于對(duì)點(diǎn)、線、曲線的性質(zhì)及其相互關(guān)系的研究中。</p><p>　　例 10：如圖10 ,矩形ABCD，AD = a ，DC = b ,在 AB上找一點(diǎn) E,

35、使 E點(diǎn)與 C，D的連線將矩形分成的3個(gè)三角形相似。設(shè)AE = x，問: 這樣的E點(diǎn)是否存在,若存在,這樣的點(diǎn)E有幾個(gè)?請(qǐng)說明理由。</p><p>　　解：假設(shè)在AB上存在點(diǎn) E，使得3個(gè)三角形相似,所以△ECD一定是直角三角形。</p><p>　　∴Rt△ADE ∽ Rt△ECD ∽ Rt△BEC.</p><p>　　∵AD = a，DC = b , AE

36、= x ,</p><p>　　∴BE = b - x </p><p>　　于是 = ,得 =，即x- bx + a = 0 </p><p>　　∴Δ = b- 4a = (b + 2a) ( b - 2a) </p><p>　　∵b + 2a > 0,a > 0,b > 0 </p><p>

37、　　∴ ①當(dāng) b - 2a < 0 ,即 b < 2a時(shí),Δ< 0 ,方程無實(shí)數(shù)解, E點(diǎn)不存在；</p><p>　?、诋?dāng) b - 2a = 0 ,即 b = 2a時(shí),Δ= 0 ,方程有兩個(gè)相等的正實(shí)數(shù)根,E點(diǎn)只有一個(gè)；</p><p>　?、郛?dāng) b - 2a > 0 ,即 b > 2a時(shí),Δ> 0 ,方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根, E點(diǎn)有兩個(gè) 。<

38、;/p><p><b>　　圖10</b></p><p>　　說明：本題是一道幾何問題,其幾何量之間的關(guān)系運(yùn)用代數(shù)式及方程來表示,并根據(jù)方程的理論進(jìn)行了由數(shù)到形的探究 。</p><p>　　結(jié)束語(yǔ)：數(shù)形結(jié)合是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，發(fā)揮數(shù)與形兩種信息的轉(zhuǎn)換及其優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)與整合，巧妙應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法,

39、不僅能直觀地發(fā)現(xiàn)解題的途徑,而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理,大大簡(jiǎn)化解題的過程?！皵?shù)無形時(shí)不直觀, 形無數(shù)時(shí)難入微” 。華羅庚先生恰當(dāng)?shù)刂赋隽?“數(shù)” 與 “形” 的相互依賴、相互制約的辯證關(guān)系, 是對(duì)數(shù)形結(jié)合方法最通俗的、最深刻的剖析。</p><p>　　總之，在教學(xué)中要注重?cái)?shù)形結(jié)合思想方法的培養(yǎng)，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的過程中, 要充分挖掘教材內(nèi)容, 將數(shù)形結(jié)合思想滲透于具體的問題中, 在解決問題中讓學(xué)生正確理

40、解 “數(shù)”與 “形” 的相對(duì)性, 使之有機(jī)地結(jié)合起來。當(dāng)然, 要掌握好數(shù)形結(jié)合的思想方法并能靈活運(yùn)用, 就要熟悉某些問題的圖形背景, 熟悉有關(guān)數(shù)學(xué)式中各參數(shù)的幾何意義, 建立結(jié)合圖形思考問題的習(xí)慣, 在學(xué)習(xí)中不斷摸索, 積累經(jīng)驗(yàn), 加深和加強(qiáng)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的理解和運(yùn)用。用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識(shí)，方法的靈活運(yùn)用，培養(yǎng)思維的深刻性、抽象性；通過組織引導(dǎo)對(duì)解法的簡(jiǎn)潔性的反思評(píng)估、不斷優(yōu)化思維品質(zhì)、培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性。豐富的合理的聯(lián)想，是對(duì)

41、知識(shí)的深刻理解及類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想運(yùn)用的必然。 數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的自學(xué)運(yùn)用往往使我們運(yùn)算簡(jiǎn)捷、推理機(jī)敏，是提高數(shù)學(xué)能力的必由之路?！笆谥贼~ ,不如授之以漁” ，方法的掌握、思想的形成 ,才能最終使學(xué)生受益終生。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　【1】 徐國(guó)央.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].寧波教育

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