數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性及應(yīng)用畢業(yè)論文

1、<p><b>　　畢業(yè)論文</b></p><p>　　題 目： 數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性及應(yīng)用</p><p>　　作 者： </p><p>　　指導(dǎo)老師： </p><p>　　師范學(xué)院

2、 學(xué)院 系</p><p>　　數(shù)學(xué)教育 專業(yè) 09 級(jí)</p><p>　　3 年制 2 班</p><p>　　2012 年 4 月 23 日</p><p>　　注：1.評(píng)語(yǔ)、成績(jī)由指導(dǎo)老師填寫。</p><p>

3、　　2.評(píng)語(yǔ)及總評(píng)意見(jiàn)應(yīng)包括學(xué)術(shù)價(jià)值、實(shí)際意義、達(dá)到水平、學(xué)術(shù)觀點(diǎn)和論證有無(wú)錯(cuò)誤。</p><p>　　數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性及應(yīng)用</p><p>　　摘要 ：“授人以魚，不如授人以漁”，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合新課改要求，老師在教學(xué)中不僅要教會(huì)學(xué)生基本的數(shù)學(xué)概念、公式等知識(shí)點(diǎn)，更要教會(huì)學(xué)生自主解決問(wèn)題的方式方法。 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)

4、體現(xiàn)，是形成數(shù)學(xué)能力以及數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法的靈魂。主要類型有：轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、分類討論思想。一般的，數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用還要結(jié)合原理性的數(shù)學(xué)解題思想，原理性的數(shù)學(xué)解題思想主要包括：系統(tǒng)思想、辯證思想、運(yùn)動(dòng)變化思想、建模思想、審美思想。</p><p>　　關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)解題思想；數(shù)形結(jié)合；系統(tǒng)思想</p><p>　　數(shù)

5、學(xué)思想在教學(xué)中的重要性</p><p>　?。ㄒ唬┬抡n改中的數(shù)學(xué)思想</p><p>　　新課標(biāo)提出：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要是代數(shù)幾何中的性質(zhì)概念、法則公式、公理定理以及由其深層次內(nèi)容所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法”。這表明，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)教學(xué)方法在本質(zhì)上是相互聯(lián)結(jié)的，在教學(xué)中數(shù)學(xué)思想時(shí)刻都能得到體現(xiàn)和運(yùn)用。 </p><p>　　長(zhǎng)期以來(lái)，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，只注重知

6、識(shí)的傳授，卻忽視知識(shí)形成過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想方法的現(xiàn)象非常普遍，它嚴(yán)重影響了學(xué)生的思維發(fā)展和能力培養(yǎng)。隨著教育改革的不斷深入，越來(lái)越多的教育工作者，特別是一線的教師們充分認(rèn)識(shí)到:中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，一方面要傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生掌握必備數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí);另一方面，更要通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)這個(gè)載體，挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，更好地理解數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)，形成正確的數(shù)學(xué)觀和一定的數(shù)學(xué)意識(shí)。只有數(shù)學(xué)思想的形成，才能使學(xué)生受益終生，正所謂“授之以魚，不如授之以漁”。不管

7、他們將來(lái)從事什么職業(yè)和工作，數(shù)學(xué)思想方法，作為一種解決問(wèn)題的思維策略，都將隨時(shí)隨地有意無(wú)意地發(fā)揮作用。</p><p>　?。ǘ?shù)學(xué)思想在教學(xué)中的重要性 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是使這一靈魂得以展現(xiàn)的途徑。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，要用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，在基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)中培養(yǎng)思想方法。因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識(shí)、形成優(yōu)良思維素質(zhì)

8、的關(guān)鍵。     由于數(shù)學(xué)思想的存在，使得數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立的學(xué)術(shù)知識(shí)點(diǎn)，不能用刻板的套路解決各種不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，只有充分理解掌握數(shù)學(xué)思想在各種問(wèn)題上的運(yùn)用，才能更有效地把知識(shí)運(yùn)用得靈活。由此可見(jiàn)，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，就必須重視數(shù)學(xué)思想和方法的訓(xùn)練培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的能力，使得學(xué)生更容易理解和更容易記憶數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)特定的事物本質(zhì)屬性，借助于基本的數(shù)學(xué)思想和方法理解可能遇到的其他類似問(wèn)題，有效促

9、進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。     現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)不是教出來(lái)的，更不是簡(jiǎn)單地模仿出來(lái)的，而是靠學(xué)生自主探索研究出來(lái)的。要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想和方法，應(yīng)將數(shù)學(xué)思想和方法的訓(xùn)練視作教學(xué)內(nèi)容的一個(gè)有機(jī)組成部分，而且不能脫離內(nèi)容形式去進(jìn)行孤立地傳授。在數(shù)學(xué)課上要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生自己主動(dòng)地去</p><p>　　(1)討論f(x)的單調(diào)性；</p>

10、;<p>　　(2)若當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍．</p><p>　　解析：用函數(shù)、方程與不等式之間的轉(zhuǎn)化與化歸求f′(x)＝0的根，比較兩根的大小、確定區(qū)間，討論f(x)的單調(diào)性；(2)將f(x)>0恒成立轉(zhuǎn)化為f(x)的最小值大于0.</p><p>　　(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)．</p&

11、gt;<p>　　由已知a>1，∴2a>2，</p><p>　　∴令f′(x)>0，解得x>2a或x<2，</p><p>　　∴當(dāng)x∈(－∞，2)和x∈(2a，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，</p><p>　　當(dāng)x∈(2,2a)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減．</p><p>　　綜上，當(dāng)a>1時(shí)，

12、f(x)在區(qū)間(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)上是減函數(shù)．</p><p>　　(2)由(1)知，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)在x＝2a或x＝0處取得最小值．</p><p>　　f(2a)＝(2a)3－(1＋a)(2a)2＋4a·2a＋24a</p><p>　?。剑璦3＋4a2＋24a＝－a(a－6)(a＋3)，</p>

13、<p><b>　　f(0)＝24a.</b></p><p><b>　　由題設(shè)知即</b></p><p>　　解得1<a<6.故a的取值范圍是(1,6)． </p><p>　?。ǘ?shù)形結(jié)合思想  所謂 數(shù)形結(jié)合思想就是抓住數(shù)與形之間在本質(zhì)上的聯(lián)系，然后以“形”

14、直觀表達(dá)“數(shù)”，以“數(shù)”精確地研究“形”。它可以把抽象的數(shù)轉(zhuǎn)化為直觀的形，或把復(fù)雜的形轉(zhuǎn)化具體的數(shù)，從而達(dá)到簡(jiǎn)捷解題的目的，數(shù)形結(jié)合思想在解題中的起著非常重要的作用。例如在課堂教學(xué)時(shí)，很多問(wèn)題一旦教師出示了圖形或教具，就會(huì)使得困難的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，學(xué)生很容易就從直觀上理解了問(wèn)題和數(shù)學(xué)概念。總之，僅有數(shù)的分析或形的直觀都不易單獨(dú)解決的問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合既具有數(shù)學(xué)學(xué)科的鮮明特點(diǎn),又是數(shù)學(xué)研究的常用方法。</p><p>　　

15、例：已知向量=(2,0),=(2,2),=(cosα,sinα),則向量與的夾角范圍為（ ）</p><p>　　A. B. </p><p>　　C. D.</p><p>　　解析：為數(shù)配形。如圖所示,點(diǎn)A的軌跡是以C(2,2)為</p><p>　　圓心, 為半徑的圓.過(guò)原點(diǎn)O作此圓的切

16、線,切點(diǎn)分別為</p><p>　　M,N.連CM、CN.∵||=2,∴||=||=.</p><p>　　知∠COM=∠CON=.又 ∵∠COB=.∴∠MOB=,</p><p>　　∠NOB=π.選D。（三）方程思想    方程的思想，是對(duì)于一個(gè)問(wèn)題用方程解決的應(yīng)用，也是對(duì)方程概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，構(gòu)建方程或

17、方程組，或利用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)換、解決問(wèn)題。要善用方程和方程組觀點(diǎn)來(lái)觀察處理問(wèn)題。方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系。當(dāng)一個(gè)問(wèn)題可能與某個(gè)方程建立關(guān)聯(lián)時(shí)，可以構(gòu)造方程并對(duì)方程的性質(zhì)進(jìn)行研究以解決這個(gè)問(wèn)題。例如證明柯西不等式的時(shí)候，就可以把柯西不等式轉(zhuǎn)化成一個(gè)二次方程的判別式。 </p><p>　　例：在水平線上一點(diǎn)C，測(cè)得山頂A的仰角為30°，向山沿直線前進(jìn)20米到D處，再測(cè)山頂A的仰角為4

18、5°，求山高AB。</p><p>　　解析：（1）在Rt△ABC和Rt△ABD中，都沒(méi)有兩個(gè)已知元素，故不能直接解一個(gè)三角形來(lái)求出AB。（2）考慮到AB是兩直角三角形的直角邊，而CD是兩直角三角形的直角邊，而CD均不是兩個(gè)直角三角形的直角邊，但CD＝BC＝BD，啟以學(xué)生設(shè)AB＝X，通過(guò)　列方程來(lái)解，然后板書解題過(guò)程。</p><p>　?。?）應(yīng)用未知數(shù)，用方程的思想解決問(wèn)題。

19、</p><p>　　解：設(shè)山高AB＝x米</p><p>　　在Rt△ADB中，∠B＝90°∠ADB＝45°</p><p>　　∵BD＝AB＝x（米）　</p><p>　　在Rt△ABC中，tgC＝AB/BC</p><p>　　∴BC＝AB/tgC＝3（米）</p><p

20、><b>　　∵CD＝BC－BD</b></p><p>　　∴3x－x＝20　解得　x＝10米</p><p>　　答：山高AB是10米</p><p>　?。ㄋ模┓诸愑懻撍枷?  分類思想，即根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分成為不同種類的思想方法。在解題過(guò)程中，當(dāng)條件或結(jié)論不是唯一時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生幾種可

21、能性，需要進(jìn)行分類討論。分類要不重不漏，做到科學(xué)合理。 例：已知橢圓 的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為．</p><p>　?。?）求橢圓C的方程；</p><p>　?。?）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求面積的最大值．</p><p>　　解析：圓錐曲線方程的確定要了解其中參數(shù)字母具有的幾何意義，掌握字母間的基本關(guān)系．&

22、lt;/p><p>　?。?）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意，∴所求橢圓方程為．</p><p><b>　?。?）設(shè)，．</b></p><p><b>　?、佼?dāng)軸時(shí)，．</b></p><p>　?、诋?dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為．</p><p><b>　

23、　由已知，得．</b></p><p>　　把代入橢圓方程，整理得，</p><p><b>　　，．</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)時(shí)，，綜上所述．</p><p>　　∴當(dāng)|AB|最大時(shí)，面積取最

24、大值．</p><p>　　三、原理性的數(shù)學(xué)解題思想類型 （一）系統(tǒng)思想    從系統(tǒng)論來(lái)看，一道數(shù)學(xué)題可構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)。所以在系統(tǒng)論中的整體意識(shí)和“黑箱方法”在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用。 1、整體意識(shí)在數(shù)學(xué)解題上的應(yīng)用，是指對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)該重點(diǎn)著眼于問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)，而不只是它的局部特征。然后應(yīng)通過(guò)全面而深刻的考察，從宏觀上去理解和認(rèn)識(shí)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，挖掘和發(fā)現(xiàn)出已有元素在整體結(jié)構(gòu)中的

25、地位和作用，以求找到求解問(wèn)題的思路。</p><p>　　2、從解題角度而言，題目就是一個(gè)“黑箱”，解題就是通過(guò)對(duì)“黑箱”進(jìn)行信息輸入和輸出來(lái)探究出“黑箱”的內(nèi)部性態(tài)。比如待定系數(shù)法，反例法，歸納法等解題策略，以及用于解答開(kāi)放性或探索性問(wèn)題的探索結(jié)論過(guò)程，這些都是黑箱方法的典型運(yùn)用。 （二）辯證思想 辨證思想的運(yùn)用，往往會(huì)體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：1、非線性結(jié)構(gòu)與線性結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換；2、已知與未知的轉(zhuǎn)換；3、常

26、量與變量的轉(zhuǎn)換；4、正面與反面的轉(zhuǎn)換；5、靜與動(dòng)的轉(zhuǎn)換；6、數(shù)與形的轉(zhuǎn)換；7、有限與無(wú)限的轉(zhuǎn)換。 （三）運(yùn)動(dòng)變化思想 在數(shù)學(xué)解題過(guò)程當(dāng)中，運(yùn)動(dòng)變化思想分為以下三種類型：1、化靜為動(dòng)，從運(yùn)動(dòng)變化中理解數(shù)學(xué)對(duì)象的變化發(fā)展過(guò)程；2、動(dòng)中寓靜，從不變中把握數(shù)學(xué)對(duì)象變化的本質(zhì)特征；3、動(dòng)靜轉(zhuǎn)化，充分揭示運(yùn)動(dòng)形態(tài)間的互相聯(lián)系。 （四）建模思想   這是指把實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”處理，將實(shí)際問(wèn)題抽象為模型化的數(shù)學(xué)問(wèn)題，以