數(shù)學思想在中學數(shù)學教學中的重要性及應用畢業(yè)論文

1、<p><b>　　畢業(yè)論文</b></p><p>　　題 目： 數(shù)學思想在中學數(shù)學教學中的重要性及應用</p><p>　　作 者： </p><p>　　指導老師： </p><p>　　師范學院

2、 學院 系</p><p>　　數(shù)學教育 專業(yè) 09 級</p><p>　　3 年制 2 班</p><p>　　2012 年 4 月 23 日</p><p>　　注：1.評語、成績由指導老師填寫。</p><p>

3、　　2.評語及總評意見應包括學術(shù)價值、實際意義、達到水平、學術(shù)觀點和論證有無錯誤。</p><p>　　數(shù)學思想在中學數(shù)學教學中的重要性及應用</p><p>　　摘要 ：“授人以魚，不如授人以漁”，在中學數(shù)學教學中，結(jié)合新課改要求，老師在教學中不僅要教會學生基本的數(shù)學概念、公式等知識點，更要教會學生自主解決問題的方式方法。 數(shù)學思想是數(shù)學知識、數(shù)學技能和數(shù)學方法的本質(zhì)

4、體現(xiàn)，是形成數(shù)學能力以及數(shù)學意識的橋梁，是靈活運用數(shù)學知識、技能和方法的靈魂。主要類型有：轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、分類討論思想。一般的，數(shù)學思想在解題中的應用還要結(jié)合原理性的數(shù)學解題思想，原理性的數(shù)學解題思想主要包括：系統(tǒng)思想、辯證思想、運動變化思想、建模思想、審美思想。</p><p>　　關(guān)鍵詞： 數(shù)學思想；數(shù)學解題思想；數(shù)形結(jié)合；系統(tǒng)思想</p><p>　　數(shù)

5、學思想在教學中的重要性</p><p>　?。ㄒ唬┬抡n改中的數(shù)學思想</p><p>　　新課標提出：“初中數(shù)學的基礎(chǔ)知識主要是代數(shù)幾何中的性質(zhì)概念、法則公式、公理定理以及由其深層次內(nèi)容所反映出來的數(shù)學思想和方法”。這表明，數(shù)學思想和數(shù)學教學方法在本質(zhì)上是相互聯(lián)結(jié)的，在教學中數(shù)學思想時刻都能得到體現(xiàn)和運用。 </p><p>　　長期以來，傳統(tǒng)的數(shù)學教學中，只注重知

6、識的傳授，卻忽視知識形成過程中的數(shù)學思想方法的現(xiàn)象非常普遍，它嚴重影響了學生的思維發(fā)展和能力培養(yǎng)。隨著教育改革的不斷深入，越來越多的教育工作者，特別是一線的教師們充分認識到:中學數(shù)學教學，一方面要傳授數(shù)學知識，使學生掌握必備數(shù)學基礎(chǔ)知識;另一方面，更要通過數(shù)學知識這個載體，挖掘其中蘊含的數(shù)學思想方法，更好地理解數(shù)學，掌握數(shù)學，形成正確的數(shù)學觀和一定的數(shù)學意識。只有數(shù)學思想的形成，才能使學生受益終生，正所謂“授之以魚，不如授之以漁”。不管

7、他們將來從事什么職業(yè)和工作，數(shù)學思想方法，作為一種解決問題的思維策略，都將隨時隨地有意無意地發(fā)揮作用。</p><p>　?。ǘ?shù)學思想在教學中的重要性 數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，數(shù)學方法是使這一靈魂得以展現(xiàn)的途徑。在初中數(shù)學教學過程中，要用數(shù)學思想指導基礎(chǔ)知識教學，在基礎(chǔ)知識教學中培養(yǎng)思想方法。因為數(shù)學思想方法的教學是學生形成良好的認知結(jié)構(gòu)的紐帶，是由知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是培養(yǎng)數(shù)學意識、形成優(yōu)良思維素質(zhì)

8、的關(guān)鍵。     由于數(shù)學思想的存在，使得數(shù)學知識不是孤立的學術(shù)知識點，不能用刻板的套路解決各種不同的數(shù)學問題，只有充分理解掌握數(shù)學思想在各種問題上的運用，才能更有效地把知識運用得靈活。由此可見，要培養(yǎng)學生的數(shù)學能力，就必須重視數(shù)學思想和方法的訓練培養(yǎng)自主學習的能力，使得學生更容易理解和更容易記憶數(shù)學知識，讓學生領(lǐng)會特定的事物本質(zhì)屬性，借助于基本的數(shù)學思想和方法理解可能遇到的其他類似問題，有效促

9、進學生數(shù)學思維能力的發(fā)展。     現(xiàn)代數(shù)學教育理論認為，數(shù)學不是教出來的，更不是簡單地模仿出來的，而是靠學生自主探索研究出來的。要讓學生掌握數(shù)學思想和方法，應將數(shù)學思想和方法的訓練視作教學內(nèi)容的一個有機組成部分，而且不能脫離內(nèi)容形式去進行孤立地傳授。在數(shù)學課上要充分發(fā)揮學生的主體作用，讓學生自己主動地去</p><p>　　(1)討論f(x)的單調(diào)性；</p>

10、;<p>　　(2)若當x≥0時，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍．</p><p>　　解析：用函數(shù)、方程與不等式之間的轉(zhuǎn)化與化歸求f′(x)＝0的根，比較兩根的大小、確定區(qū)間，討論f(x)的單調(diào)性；(2)將f(x)>0恒成立轉(zhuǎn)化為f(x)的最小值大于0.</p><p>　　(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)．</p&

11、gt;<p>　　由已知a>1，∴2a>2，</p><p>　　∴令f′(x)>0，解得x>2a或x<2，</p><p>　　∴當x∈(－∞，2)和x∈(2a，＋∞)時，f(x)單調(diào)遞增，</p><p>　　當x∈(2,2a)時，f(x)單調(diào)遞減．</p><p>　　綜上，當a>1時，

12、f(x)在區(qū)間(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)上是減函數(shù)．</p><p>　　(2)由(1)知，當x≥0時，f(x)在x＝2a或x＝0處取得最小值．</p><p>　　f(2a)＝(2a)3－(1＋a)(2a)2＋4a·2a＋24a</p><p>　　＝－a3＋4a2＋24a＝－a(a－6)(a＋3)，</p>

13、<p><b>　　f(0)＝24a.</b></p><p><b>　　由題設知即</b></p><p>　　解得1<a<6.故a的取值范圍是(1,6)． </p><p>　?。ǘ?shù)形結(jié)合思想  所謂 數(shù)形結(jié)合思想就是抓住數(shù)與形之間在本質(zhì)上的聯(lián)系，然后以“形”

14、直觀表達“數(shù)”，以“數(shù)”精確地研究“形”。它可以把抽象的數(shù)轉(zhuǎn)化為直觀的形，或把復雜的形轉(zhuǎn)化具體的數(shù)，從而達到簡捷解題的目的，數(shù)形結(jié)合思想在解題中的起著非常重要的作用。例如在課堂教學時，很多問題一旦教師出示了圖形或教具，就會使得困難的問題簡單化，學生很容易就從直觀上理解了問題和數(shù)學概念?？傊瑑H有數(shù)的分析或形的直觀都不易單獨解決的問題。數(shù)形結(jié)合既具有數(shù)學學科的鮮明特點,又是數(shù)學研究的常用方法。</p><p>　　

15、例：已知向量=(2,0),=(2,2),=(cosα,sinα),則向量與的夾角范圍為（ ）</p><p>　　A. B. </p><p>　　C. D.</p><p>　　解析：為數(shù)配形。如圖所示,點A的軌跡是以C(2,2)為</p><p>　　圓心, 為半徑的圓.過原點O作此圓的切

16、線,切點分別為</p><p>　　M,N.連CM、CN.∵||=2,∴||=||=.</p><p>　　知∠COM=∠CON=.又 ∵∠COB=.∴∠MOB=,</p><p>　　∠NOB=π.選D。（三）方程思想    方程的思想，是對于一個問題用方程解決的應用，也是對方程概念本質(zhì)的認識，是分析數(shù)學問題中變量間的等量關(guān)系，構(gòu)建方程或

17、方程組，或利用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)換、解決問題。要善用方程和方程組觀點來觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關(guān)系。當一個問題可能與某個方程建立關(guān)聯(lián)時，可以構(gòu)造方程并對方程的性質(zhì)進行研究以解決這個問題。例如證明柯西不等式的時候，就可以把柯西不等式轉(zhuǎn)化成一個二次方程的判別式。 </p><p>　　例：在水平線上一點C，測得山頂A的仰角為30°，向山沿直線前進20米到D處，再測山頂A的仰角為4

18、5°，求山高AB。</p><p>　　解析：（1）在Rt△ABC和Rt△ABD中，都沒有兩個已知元素，故不能直接解一個三角形來求出AB。（2）考慮到AB是兩直角三角形的直角邊，而CD是兩直角三角形的直角邊，而CD均不是兩個直角三角形的直角邊，但CD＝BC＝BD，啟以學生設AB＝X，通過　列方程來解，然后板書解題過程。</p><p>　?。?）應用未知數(shù)，用方程的思想解決問題。

19、</p><p>　　解：設山高AB＝x米</p><p>　　在Rt△ADB中，∠B＝90°∠ADB＝45°</p><p>　　∵BD＝AB＝x（米）　</p><p>　　在Rt△ABC中，tgC＝AB/BC</p><p>　　∴BC＝AB/tgC＝3（米）</p><p

20、><b>　　∵CD＝BC－BD</b></p><p>　　∴3x－x＝20　解得　x＝10米</p><p>　　答：山高AB是10米</p><p>　?。ㄋ模┓诸愑懻撍枷?  分類思想，即根據(jù)數(shù)學對象本質(zhì)屬性的共同點和差異點，將數(shù)學對象區(qū)分成為不同種類的思想方法。在解題過程中，當條件或結(jié)論不是唯一時，就會產(chǎn)生幾種可

21、能性，需要進行分類討論。分類要不重不漏，做到科學合理。 例：已知橢圓 的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為．</p><p>　?。?）求橢圓C的方程；</p><p>　?。?）設直線l與橢圓C交于A，B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求面積的最大值．</p><p>　　解析：圓錐曲線方程的確定要了解其中參數(shù)字母具有的幾何意義，掌握字母間的基本關(guān)系．&

22、lt;/p><p>　　（1）設橢圓的半焦距為c，依題意，∴所求橢圓方程為．</p><p><b>　?。?）設，．</b></p><p><b>　?、佼斴S時，．</b></p><p>　　②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為．</p><p><b>　

23、　由已知，得．</b></p><p>　　把代入橢圓方程，整理得，</p><p><b>　　，．</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　當且僅當，即時等號成立．當時，，綜上所述．</p><p>　　∴當|AB|最大時，面積取最

24、大值．</p><p>　　三、原理性的數(shù)學解題思想類型 （一）系統(tǒng)思想    從系統(tǒng)論來看，一道數(shù)學題可構(gòu)成一個系統(tǒng)。所以在系統(tǒng)論中的整體意識和“黑箱方法”在數(shù)學解題中有著廣泛的應用。 1、整體意識在數(shù)學解題上的應用，是指對于一個數(shù)學問題，應該重點著眼于問題的整體結(jié)構(gòu)，而不只是它的局部特征。然后應通過全面而深刻的考察，從宏觀上去理解和認識問題的實質(zhì)，挖掘和發(fā)現(xiàn)出已有元素在整體結(jié)構(gòu)中的

25、地位和作用，以求找到求解問題的思路。</p><p>　　2、從解題角度而言，題目就是一個“黑箱”，解題就是通過對“黑箱”進行信息輸入和輸出來探究出“黑箱”的內(nèi)部性態(tài)。比如待定系數(shù)法，反例法，歸納法等解題策略，以及用于解答開放性或探索性問題的探索結(jié)論過程，這些都是黑箱方法的典型運用。 （二）辯證思想 辨證思想的運用，往往會體現(xiàn)在以下幾個方面：1、非線性結(jié)構(gòu)與線性結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換；2、已知與未知的轉(zhuǎn)換；3、常

26、量與變量的轉(zhuǎn)換；4、正面與反面的轉(zhuǎn)換；5、靜與動的轉(zhuǎn)換；6、數(shù)與形的轉(zhuǎn)換；7、有限與無限的轉(zhuǎn)換。 （三）運動變化思想 在數(shù)學解題過程當中，運動變化思想分為以下三種類型：1、化靜為動，從運動變化中理解數(shù)學對象的變化發(fā)展過程；2、動中寓靜，從不變中把握數(shù)學對象變化的本質(zhì)特征；3、動靜轉(zhuǎn)化，充分揭示運動形態(tài)間的互相聯(lián)系。 （四）建模思想   這是指把實際問題進行“數(shù)學化”處理，將實際問題抽象為模型化的數(shù)學問題，以