外文翻譯---多分辨率分析 ＆ 連續(xù)小波變換

1、<p>　　多分辨率分析 ＆ 連續(xù)小波變換</p><p><b>　　多分辨率分析</b></p><p>　　雖然時(shí)間和頻率分辨率的問(wèn)題是一種物理現(xiàn)象（海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理）無(wú)論是否使用變換，它都存在，但是它可以使用替代方法分析，稱為信號(hào)多分辨率分析（MRA）。MRA，如它的名字一樣，分析了不同分辨率不同頻率的信號(hào)。每個(gè)頻譜分量不能得到同樣的解決是因?yàn)樵赟T

2、FT的情況下。</p><p>　　MRA是為了在高頻率時(shí)，能夠得到良好的時(shí)間分辨率和較差的頻率分辨率，而在低頻率時(shí)，能夠得到良好的頻率分辨率和較差的時(shí)間分辨率而設(shè)計(jì)的。這種方法是十分有意義的，特別是當(dāng)手頭的信號(hào)高頻成分持續(xù)時(shí)間短和低頻成分持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)時(shí)。幸運(yùn)的是，在實(shí)際應(yīng)用中所遇到的信號(hào)往往是這種類型。例如，下面顯示了這種類型的信號(hào)。它有一個(gè)貫穿整個(gè)信號(hào)相對(duì)較低的頻率分量，而在信號(hào)中間有一個(gè)短暫的、相對(duì)較高的頻率

3、成分。</p><p><b>　　連續(xù)小波變換</b></p><p>　　連續(xù)小波變換作為一種替代快速傅里葉變換辦法來(lái)發(fā)展，克服分析的問(wèn)題 。小波分析和STFT的分析方法類似，在這個(gè)意義上說(shuō)，就是信號(hào)和一個(gè)函數(shù)相乘，{\它的小波}，類似的STFT的窗口功能，并轉(zhuǎn)換為不同分段的時(shí)域信號(hào)。但是，STFT和連續(xù)小波變換二者之間的主要區(qū)別是：</p><

4、;p>　　1、Fourier轉(zhuǎn)換的信號(hào)不采取窗口，因此，單峰將被視為對(duì)應(yīng)一個(gè)正弦波，即負(fù)頻率是沒(méi)有計(jì)算。 2、窗口的寬度是相對(duì)于光譜的每一個(gè)組件變化而變化的，這是小波變換計(jì)算最重要的特征。 連續(xù)小波變換的定義如下：</p><p><b>　　公式3.1</b></p><p>　　從上面的方程可以看出，改變信號(hào)功能的有兩個(gè)變量，τ和s，分別是轉(zhuǎn)換參數(shù)和尺度

5、參數(shù)。psi(t)為轉(zhuǎn)化功能，它被稱為母小波。母小波一詞得名是由于如下所述的兩個(gè)小波分析的重要性質(zhì)：</p><p>　　這個(gè)詞意味著小波浪。小指的條件是本（窗口）函數(shù)的有限長(zhǎng)度的（緊支持）。波指的條件是這個(gè)函數(shù)是振蕩的。這個(gè)詞意味著母波在支持不同類型波的轉(zhuǎn)型過(guò)程中起主要作用，或者叫母小波。換句話說(shuō)，母小波是產(chǎn)生其他窗口功能的原型。</p><p>　　這個(gè)術(shù)語(yǔ)的解釋和它在STFT中的意義

6、一樣，它關(guān)系到窗口的位置，因?yàn)榇翱谑峭ㄟ^(guò)信號(hào)轉(zhuǎn)換而來(lái)的。這個(gè)詞，很明顯，對(duì)應(yīng)變換域的時(shí)間信息。但是，我們沒(méi)有一個(gè)頻率參數(shù)，因?yàn)槲覀冎癝TFT。相反的我們具有放縮參數(shù)，它定義為$ 1/frequency $。這個(gè)詞的頻率是留給STFT的。下一節(jié)對(duì)放縮參數(shù)進(jìn)行了更詳細(xì)的描述。</p><p><b>　　放縮</b></p><p>　　小波分析中的參數(shù)放縮類似地圖使用

7、參數(shù)。正如在地圖中，高尺度對(duì)應(yīng)一個(gè)非詳細(xì)的整體視圖（信號(hào)），低尺度對(duì)應(yīng)的詳細(xì)視圖。同樣，在頻率方面，（高比例）低頻率對(duì)應(yīng)的信號(hào)整體信息（即通常跨越整個(gè)信號(hào)），而（小比例）高頻率對(duì)應(yīng)一個(gè)信號(hào)中的一個(gè)隱藏模式的詳細(xì)信息（通常持續(xù)時(shí)間相對(duì)較短的時(shí)間）。余弦信號(hào)的對(duì)應(yīng)，下圖例子中給出不同尺度。</p><p><b>　　圖3.2</b></p><p>　　幸運(yùn)的是在實(shí)際應(yīng)

8、用中，（高頻率）低比例的信號(hào)不持續(xù)存在于整個(gè)信號(hào)中，他們的不同如圖所示，但是他們通常會(huì)在盡可能短的時(shí)間內(nèi)爆發(fā)，或者尖峰時(shí)刻。高比例（低頻率）信號(hào)通常會(huì)貫穿于整個(gè)信號(hào)之中。</p><p>　　放縮，作為一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算，無(wú)非是擴(kuò)張或壓縮信號(hào)。更大尺度對(duì)應(yīng)擴(kuò)張（或伸出）信號(hào)而小尺度對(duì)應(yīng)壓縮信號(hào)。圖中給出的信號(hào)都是同一個(gè)余弦信號(hào)產(chǎn)生的，他們是經(jīng)過(guò)放縮功能之后的擴(kuò)張或壓縮的版本。在上面的數(shù)字中，S = 0.05是最小的比例

9、，和S = 1是最大的比例。</p><p>　　在數(shù)學(xué)方面的功能，若f（t）是一個(gè)給定的函數(shù)，f（st）都對(duì)應(yīng)一個(gè)版本，若s>1則f(t)對(duì)應(yīng)壓縮版本；若s<1則對(duì)應(yīng)擴(kuò)張版本</p><p>　　然而，在小波變換的定義，縮放詞是在分母，因此，上述聲明相反的成立，即，s> 1，規(guī)模擴(kuò)張的信號(hào)，s<1，壓縮信號(hào)。在本文中都將采用這種解釋。</p><

10、;p>　　連續(xù)小波變換計(jì)算消費(fèi)物價(jià)指數(shù)在這一節(jié)將解釋上述方程。設(shè)x（t）是要分析信號(hào)。母小波選擇作為進(jìn)程中的所有窗口的原型。所有被使用的擴(kuò)張（或壓縮）和移出母小波版本的Windows。有許多是用于此目的的職能。有兩個(gè)候選函數(shù)： Morlet小波和墨西哥帽函數(shù)，他們是為小波分析的例子是在本章稍后使用。</p><p>　　一旦選擇了母小波開(kāi)始計(jì)算S = 1和連續(xù)小波變換為S，體積更小，大于“ 1”所有值計(jì)算。

11、然而，在信號(hào)的不同，一個(gè)完整的轉(zhuǎn)換通常沒(méi)有必要。對(duì)于所有的實(shí)際目的，信號(hào)是帶限的，因此，在變換的尺度有限區(qū)間計(jì)算通常就足夠了。在這項(xiàng)研究中，使用了一些為有限區(qū)間的價(jià)值觀，如將在本章后面介紹。 </p><p>　　為方便起見(jiàn)，該過(guò)程將開(kāi)始從規(guī)模S = 1和將繼續(xù)為S，即增加值，分析將開(kāi)始著手從高向低頻率。這第一個(gè)值將對(duì)應(yīng)到最壓縮的小波。而S值增加，小波會(huì)擴(kuò)張。 </p><p>　　小波被

12、放置在一開(kāi)始即時(shí)間對(duì)應(yīng)為0，在小波函數(shù)尺度“1”乘以信號(hào)，然后對(duì)所有次積分。該整合的結(jié)果再乘以數(shù)量不變1/sqrt{S}的。乘法是為了讓轉(zhuǎn)換后的信號(hào)將在每一個(gè)規(guī)模相同的能量能源正常化的目的。最后的結(jié)果是轉(zhuǎn)換，即價(jià)值，對(duì)連續(xù)小波變換在時(shí)間價(jià)值為零，規(guī)模為S=1。換句話說(shuō)，它是值對(duì)應(yīng)的tau =0，在時(shí)間尺度平面s=1。</p><p>　　在S=1的小波規(guī)模為，然后向右轉(zhuǎn)向tau，在本地令t=tau，上面的公式計(jì)算

13、得到在t=tau，在時(shí)頻平面S=1。 </p><p>　　此過(guò)程反復(fù)進(jìn)行，直到小波到達(dá)信號(hào)結(jié)束。對(duì)于一個(gè)上述規(guī)模的時(shí)間尺度平面上的點(diǎn)s=1現(xiàn)在完成。</p><p>　　然后，S是增加了一個(gè)較小的值。請(qǐng)注意，這是一個(gè)持續(xù)變換，因此，無(wú)論是tau和S必須不斷遞增。但是，如果這種轉(zhuǎn)換需要由計(jì)算機(jī)計(jì)算，那么這兩個(gè)參數(shù)是由一個(gè)足夠小的步長(zhǎng)增加。這對(duì)應(yīng)于采樣時(shí)間尺度的模型。重復(fù)上述過(guò)程的每一個(gè)價(jià)

14、值秒每一個(gè)給定值計(jì)算的S填補(bǔ)了當(dāng)時(shí)規(guī)模平面對(duì)應(yīng)一行。當(dāng)過(guò)程是為完成一切所需的值，信號(hào)的連續(xù)小波變換已計(jì)算完畢。下面的數(shù)字說(shuō)明了整個(gè)過(guò)程的步驟：</p><p><b>　　圖3.3</b></p><p>　　在圖3.3中，信號(hào)和小波函數(shù)列的頭有四個(gè)不同的值。該信號(hào)是在圖3.1所示的信號(hào)被截?cái)嗟陌姹?。?guī)模值是1，對(duì)應(yīng)的最低規(guī)模，或最高頻率。注意它是如何緊湊（藍(lán)色窗口

15、）。它應(yīng)為最高頻率分量的信號(hào)存在，在狹窄。小波函數(shù)的四個(gè)不同的位置都顯示在圖中分別為s=2,s=40,s=90,s=140。在每一個(gè)位置，它是乘以信號(hào)。顯然，該產(chǎn)品是非零只有在信號(hào)的下降，對(duì)小波支持區(qū)域，它是零別處。通過(guò)將及時(shí)小波，信號(hào)是局部的時(shí)間，通過(guò)改變s的值，信號(hào)在尺度（頻率）的本地化。 </p><p>　　如果信號(hào)的頻譜組成部分，對(duì)應(yīng)于當(dāng)前值（這是在這種情況下，s=1），此次與在此位置存在頻譜分量信號(hào)小

16、波產(chǎn)品給出了一個(gè)比較大的值。如果頻譜分量對(duì)應(yīng)到目前的價(jià)值不在于信號(hào)目前，產(chǎn)品的價(jià)值會(huì)比較少，或零。圖3.3信號(hào)在s=1，t= 100ms的窗口的寬度頻譜分量。 </p><p>　　連續(xù)小波變換在圖3.3信號(hào)將產(chǎn)生約時(shí)間尺度大值低100毫秒，和其他地方的小值。另一方面，對(duì)于高頻率，連續(xù)小波變換將給予較大的值幾乎信號(hào)的整個(gè)持續(xù)時(shí)間，因?yàn)榈皖l率在任何時(shí)候都存在。</p><p><b&g

17、t;　　圖3.4</b></p><p><b>　　圖3.5</b></p><p>　　圖3.4和3.5說(shuō)明了他們對(duì)尺度值分別為S = 5和S = 20處理的過(guò)程相同。注意窗口寬度是如何隨規(guī)模越來(lái)越大（降低頻率）的變化而變化的。作為窗口寬度的增加，轉(zhuǎn)換從低頻率的部分開(kāi)始。</p><p>　　因此，每個(gè)比例和每次轉(zhuǎn)換時(shí)間（間隔）

18、，一個(gè)時(shí)間尺度平面點(diǎn)都要被計(jì)算。在一個(gè)尺度計(jì)算中構(gòu)建時(shí)間尺度平面的行，并在不同尺度的計(jì)算中構(gòu)的時(shí)間尺度平面的列。</p><p>　　現(xiàn)在，讓我們來(lái)看一個(gè)例子，看看小波變換到底是怎樣進(jìn)行的。注意圖3.6所示的是一個(gè)非平穩(wěn)信號(hào)，這和STFT時(shí)所舉的例子類似，但在不同的頻率。如圖所示，信號(hào)包含四個(gè)頻率分量分別是30赫茲，20赫茲，10赫茲和5赫茲。</p><p><b>　　圖3.

19、6</b></p><p>　　圖3.7是連續(xù)小波變換這個(gè)信號(hào)（簡(jiǎn)稱CWT）。請(qǐng)注意，軸線是平移和尺度，而不是時(shí)間和頻率。然而，平移是和時(shí)間嚴(yán)格相關(guān)的，因?yàn)樗硎灸感〔ǖ奈恢?。母小波變換可以被看作是時(shí)間，在t = 0時(shí)結(jié)束。但是，尺度完全是另一回事。請(qǐng)記住，規(guī)模參數(shù)方程3.1的s本來(lái)就是頻率的倒數(shù)。換句話說(shuō)，無(wú)論我們?cè)趺凑f(shuō)，關(guān)于小波變換的性質(zhì)的頻率分辨率，它的逆都將會(huì)在時(shí)域信號(hào)中出現(xiàn)小波變換的特征。&

20、lt;/p><p><b>　　圖3.7</b></p><p>　　注意，圖3.7為小規(guī)模相對(duì)應(yīng)的更高的頻率，即作為規(guī)模增大，因此，在零附近有鱗片圖的一部分，實(shí)際上對(duì)應(yīng)于最高頻率分析，頻率下降，而高比例對(duì)應(yīng)到最低頻率。請(qǐng)記住，有30赫茲的信號(hào)分量（最高頻率），它作為第一最高頻率，這在0到30范圍內(nèi)進(jìn)行變換；然后是20 赫茲分量，第二最高的頻率，等等。 5 赫茲分量出現(xiàn)在

21、平移軸的最后（如預(yù)期），較高比例（低頻率）再次出現(xiàn)按預(yù)期方式。</p><p><b>　　圖3.8</b></p><p>　　現(xiàn)在，回顧一下這些屬性：不同于STFT的其中有一個(gè)在任何時(shí)候和頻率不變的變換方法，WT具有在高頻率時(shí)有良好的時(shí)間分辨率和較差的頻率分辨率，而在低頻率時(shí)有良好的頻率和較差的時(shí)間分辨率。為了更好地說(shuō)明該決議的性質(zhì)圖3.8從另一個(gè)角度顯示了在圖3

22、.7相同的變換：在圖3.8，低尺度（高頻率）有較好的時(shí)間分辨率規(guī)模決議（窄規(guī)模，它的意思是沒(méi)有任何含糊的、精確的規(guī)模），對(duì)應(yīng)的頻率分辨率較差。同樣，低尺度具有較高的頻率分辨率（寬規(guī)模，它意味著任何信號(hào)絕對(duì)的精確值），對(duì)較低的頻率信號(hào)有更好的頻率分辨率。 </p><p>　　在圖3.7和3.8軸正?；?，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行評(píng)估。粗略地講平移軸100點(diǎn)對(duì)應(yīng)到1000ms，并將尺度軸150點(diǎn)對(duì)應(yīng)到40赫茲頻帶（在變換時(shí)平移軸

23、和尺度軸均不符合秒、赫茲，他們只是在計(jì)算樣本數(shù)）。</p><p><b>　　時(shí)間和頻率分辨率</b></p><p>　　在本節(jié)中，我們將采取的小波變換在該決議的性能一探究竟。請(qǐng)記住，該決議的問(wèn)題是我們從STFT的切換為WT最主要的原因。 </p><p>　　圖3.9說(shuō)明是常用的解釋時(shí)間和頻率的決議應(yīng)得到解釋。圖3.9中的每個(gè)方塊對(duì)應(yīng)于小

24、波變換在時(shí)頻平面上的價(jià)值。請(qǐng)注意，箱子有一定的非零區(qū)，這意味著，在時(shí)頻平面上某一點(diǎn)的值不可知的。所有在時(shí)頻平面的落在一個(gè)盒子內(nèi)的點(diǎn)用一個(gè)WT值來(lái)表示。</p><p><b>　　圖3.9</b></p><p>　　讓我們來(lái)仔細(xì)看看在圖3.9：首先要注意的是，雖然箱子的寬度和高度變化，但面積是恒定的。這是每個(gè)方塊代表一個(gè)時(shí)頻平面上平等的部分，但給予不同比例的時(shí)間和頻

25、率。請(qǐng)注意，在低頻時(shí)，箱子的高度短（相當(dāng)于更好的頻率決議，因?yàn)橛袦?zhǔn)確頻率值），但它們的寬度較長(zhǎng)（對(duì)應(yīng)的時(shí)間分辨率差，因?yàn)橛写_切時(shí)間值）。以更高頻率的箱子減少寬度，即獲得更好的時(shí)間分辨率，以及箱子的增加，即高度，頻率分辨率越來(lái)越窮。 </p><p>　　本節(jié)結(jié)束前，值得一提的是如何區(qū)分看起來(lái)像STFT的案件?；叵胍幌拢诙虝r(shí)Fourier變換的時(shí)間和頻率分辨率是窗口的分析，這是整個(gè)分析選擇，即時(shí)間和頻率是不變的決

26、議一旦確定寬度。因此，時(shí)頻平面構(gòu)成中的STFT的案件廣場(chǎng)。 </p><p>　　無(wú)論箱子的尺寸，所有箱子的地區(qū)，短時(shí)傅立葉變換和WT兩者是相同的，由海森堡的不平等決定。作為一個(gè)總結(jié)，一個(gè)區(qū)域是每個(gè)窗口（STFT的）或母小波（簡(jiǎn)稱CWT）固定的功能，而不同的窗口或母小波，可能會(huì)導(dǎo)致不同的領(lǐng)域。然而，各地區(qū)要低界的1 / 4 \ pi的。也就是說(shuō)，我們不能降低我們希望盡可能由于海森堡的測(cè)不準(zhǔn)原理的箱子等領(lǐng)域的要求。

27、另一方面，對(duì)于一個(gè)給定的母小波箱子尺寸是可以改變的，同時(shí)保持該地區(qū)的相同。這正和小波變換一樣。</p><p>　　小波理論：一種數(shù)學(xué)方法</p><p>　　本節(jié)介紹了小波分析理論的主要思想，這也可以認(rèn)為是對(duì)信號(hào)分析技術(shù)，最根本的概念。FT定義使用基函數(shù)的傅里葉分析和重建功能。向量空間中的每一個(gè)向量可以寫成在該向量空間基礎(chǔ)上的向量的線性組合，即一些常數(shù)乘以數(shù)的向量，然后通過(guò)采取求和的產(chǎn)品

28、。信號(hào)的分析牽涉到這些常量數(shù)字（變換系數(shù)，或傅立葉系數(shù)，小波系數(shù)等）的合成，或重建，對(duì)應(yīng)的計(jì)算公式的線性組合。 </p><p>　　這個(gè)主題中所有的定義及相關(guān)定理都可以在Keiser的書中找到，是一個(gè)很好的指導(dǎo)，但是要想對(duì)小波函數(shù)是如何工作的有一個(gè)專業(yè)的理解，必須要了解小波理論的基本原則，入門級(jí)的知識(shí)。因此，這些信息將提交本節(jié)。 </p><p><b>　　基矢</b&

29、gt;</p><p>　　注意：大部分的方程，包括希臘字母。這些字母在文本中明確用了自己的名稱，如tau, psi, phi等。對(duì)于大寫字母，名字的首字母被大寫，如Tau, Psi, Phi等。此外，下標(biāo)由下劃線表示，上標(biāo)是由^字符表示。另外請(qǐng)注意，所有的字母或字母的名字用黑體字代表向量，一些重要的點(diǎn)也以粗體寫表示，但意思應(yīng)該能從上下文中理解。 </p><p>　　一個(gè)向量空間V的基礎(chǔ)

30、是線性無(wú)關(guān)的向量，這樣，任何V中的向量v可以作為此基礎(chǔ)上編寫的一套向量的線性組合。可能有一個(gè)以上的向量空間的基礎(chǔ)。不過(guò)，他們都具有相同數(shù)目的載體，這個(gè)數(shù)字是作為向量空間的維數(shù)而聞名。對(duì)于兩維空間的例子中，將有兩個(gè)向量的基礎(chǔ)。</p><p><b>　　公式3.2</b></p><p>　　公式3.2顯示了如何把任意的向量v作為載體b_k和相應(yīng)的系數(shù)線性組合表nu^

31、k。 </p><p>　　這個(gè)概念，在向量的形式給出，可以很容易地推廣到功能，取代基向量b_k與基礎(chǔ)功能phi_k(t)，及一個(gè)具有函數(shù)f(t)功能的向量v。公式3.2就變成：</p><p><b>　　公式3.2a</b></p><p>　　復(fù)指數(shù)（正弦和余弦）函數(shù)是FT的基礎(chǔ)功能。此外，他們是正交函數(shù)，為重建提供一些優(yōu)良特性。 <

32、;/p><p>　　設(shè)f（t）和g（t）是兩個(gè)函數(shù)在L ^ 2 [a，b]（L ^ 2 [a，b]表示在區(qū)間[a，b]上的平方可積函數(shù)的集合）。兩個(gè)函數(shù)的內(nèi)積定義為公式3.3：</p><p><b>　　公式3.3</b></p><p>　　根據(jù)上述內(nèi)積的定義，連續(xù)小波變換可以被看作是與基礎(chǔ)功能psi_(tau ,s)(t)測(cè)試信號(hào)的內(nèi)積<

33、;/p><p><b>　　公式3.4</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　公式3.5</b></p><p>　　這個(gè)CWT的定義表明，小波分析是一種基于函數(shù)（小波）和信號(hào)本身具有相似性的措施，這里的相似性是指在相同的頻率成分的相似。連續(xù)

34、小波變換系數(shù)的計(jì)算指的是對(duì)信號(hào)的小波在目前規(guī)模的親密關(guān)系。 </p><p>　　這進(jìn)一步明確了在一定規(guī)模上的信號(hào)相關(guān)性的小波前面的討論。如果信號(hào)的頻率有一個(gè)相應(yīng)于當(dāng)前規(guī)模的重要組成部分，那么，在目前的尺度小波（基礎(chǔ)功能）將類似或接近在這個(gè)特定的位置發(fā)生頻率分量的信號(hào)。因此，連續(xù)小波變換系數(shù)的計(jì)算在這個(gè)時(shí)間范圍將是一個(gè)平面點(diǎn)比較多。</p><p>　　內(nèi)積、正交性和正交歸一性</p

35、><p>　　兩個(gè)V，w是指正交，如果他們的內(nèi)積為零向量：</p><p><b>　　公式3.6</b></p><p>　　同樣，兩個(gè)函數(shù)的f $和$g$也可以說(shuō)成是互相正交的，如果他們的內(nèi)積為零：</p><p><b>　　公式3.7</b></p><p>　　一組向量

36、集合{v_1，v_2，...., v_n}據(jù)說(shuō)是正交的，如果他們是兩兩正交對(duì)方，都長(zhǎng)“1”，則可以表示為：</p><p><b>　　公式3.8</b></p><p>　　同樣，功能{phi_k（t）}，設(shè)置k= 1,2,3 ,...，如果說(shuō)是正交的</p><p><b>　　公式3.9</b></p>

37、<p><b>　　和</b></p><p><b>　　公式3.10</b></p><p><b>　　或者等價(jià)公式</b></p><p><b>　　公式3.11</b></p><p>　　其中，delta_ {}是吉隆坡克羅內(nèi)克δ

38、函數(shù)，定義如下：</p><p><b>　　公式3.12</b></p><p>　　如上所述，可能有一個(gè)以上的基函數(shù)（或向量）集。其中尤其重要的是，正交基函數(shù)（或載體）為他們?cè)趯ふ业姆治鎏峁┝撕芎玫男阅芟禂?shù)。該正交基允許在一個(gè)非常簡(jiǎn)單和直接的方式使用這些正交性系數(shù)進(jìn)行計(jì)算。</p><p>　　對(duì)于正交基，系數(shù)，mu_k，可以計(jì)算</

39、p><p><b>　　公式3.13</b></p><p>　　與函數(shù)f（t）可以由公式3.2_a然后通過(guò)替換mu_k重建系數(shù)。這就產(chǎn)生</p><p><b>　　公式3.14</b></p><p>　　正交基可能無(wú)法使用各種應(yīng)用類型，而其中一個(gè)廣義的版本，雙正交基都可以使用?！半p正交”一詞，是指

40、兩個(gè)函數(shù)是互相正交的，但各自沒(méi)有形成一個(gè)不同的正交設(shè)置。</p><p>　　然而，在一些應(yīng)用中，雙正交基也可能無(wú)法應(yīng)用，如在框架使用中?？蚣軜?gòu)成了小波理論的重要組成部分，有興趣的讀者可參考Kaiser的書前面提到的。</p><p>　　繼在第2章的STFT相同的順序，介紹下連續(xù)小波變換的一些例子，在例子中給出的數(shù)字是產(chǎn)生于計(jì)算連續(xù)小波變換寫的一個(gè)方程。</p><p

41、>　　在我們結(jié)束這一節(jié)，我想介紹常用的兩個(gè)母小波的小波分析。墨西哥帽小波定義為高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：</p><p><b>　　公式3.15</b></p><p><b>　　這是</b></p><p><b>　　公式3.16</b></p><p>　　Morle

42、t小波定義為：</p><p><b>　　公式3.16a</b></p><p>　　其中α是調(diào)制參數(shù)，和σ比例參數(shù)影響窗口的寬度。</p><p><b>　　實(shí)例</b></p><p>　　下面給出的所有例子都對(duì)應(yīng)于現(xiàn)實(shí)生活中的非平穩(wěn)信號(hào)，這些信號(hào)來(lái)自一個(gè)數(shù)據(jù)庫(kù)，該數(shù)據(jù)庫(kù)包括事件相關(guān)正常人群

43、的電位，及阿爾茨海默氏癥患者。由于這些都是不喜歡的簡(jiǎn)單的正弦波測(cè)試信號(hào)，它不是那么容易解釋。它們顯示在這里只是為了給出一個(gè)想法，即現(xiàn)實(shí)生活中CWTs是怎樣的。</p><p>　　下面的圖3.11所示的信號(hào)屬于一個(gè)正常人，以下是它的CWT：</p><p><b>　　圖3.11</b></p><p>　　對(duì)于軸上的數(shù)字對(duì)我們是沒(méi)有意義的。這

44、些數(shù)字只是表明， CWT是在350變換和60級(jí)平面尺度位置計(jì)算的。最重要的一點(diǎn)要注意的是，這里的計(jì)算并不是真正的連續(xù)重，因?yàn)樗窃诿黠@位置有限數(shù)的計(jì)算。這只是一個(gè)連續(xù)小波的變換，這是這個(gè)頁(yè)面稍后解釋有關(guān)離散版本。但是請(qǐng)注意，這并不是本教程第四部分的主題--離散小波變換（DWT）。</p><p><b>　　圖3.12</b></p><p>　　圖3.13和上圖相同

45、的轉(zhuǎn)換，從不同的角度為更好的顯示效果</p><p><b>　　圖3.13</b></p><p>　　圖3.14為事件確診患有阿爾茨海默氏癥的病人的相關(guān)電位</p><p><b>　　圖3.14</b></p><p>　　圖3.15顯示了其連續(xù)小波變換</p><p>

46、;<b>　　圖3.15</b></p><p>　　這是另一種觀點(diǎn)從不同的角度</p><p><b>　　圖3.16</b></p><p><b>　　小波合成</b></p><p>　　連續(xù)小波變換是一種可逆的變換，只要滿足方程3.18。幸運(yùn)的是，這是一個(gè)非限制性規(guī)定

47、。如果方程3.18得到滿足，連續(xù)小波變換是可逆的，即使基函數(shù)一般都是不正交的。重建可能是使用下面的重建公式：</p><p>　　公式3.17 小波逆變換公式</p><p>　　其中C_psi是一個(gè)常量，取決于所使用的小波。該重建的成功取決于這個(gè)叫做受理的常數(shù)，受理滿足以下條件：</p><p>　　公式3.18 受理?xiàng)l件方程</p><p&g

48、t;　　這里 psi^hat(xi) 是 FT 的psi(t)，方程3.18意味著psi^hat(0) = 0，這是</p><p><b>　　公式3.19</b></p><p>　　如上所述，公式3.19并不是一個(gè)非常嚴(yán)格的要求，因?yàn)樵S多小波函數(shù)可以找到它的積分是零。要滿足方程3.19，小波必須振蕩。</p><p>　　連續(xù)小波離散化轉(zhuǎn)

49、型：級(jí)數(shù)</p><p>　　在當(dāng)今世界，電腦是用來(lái)做最計(jì)算（或者，好......幾乎所有的計(jì)算）。很明顯，無(wú)論是FT，還是短時(shí)傅里葉變換，還是CWT的實(shí)際計(jì)算?使用分析方程，積分，等是不行的，因此有必要離散變換。正如FT和STFT，做這僅僅是采樣時(shí)頻（規(guī)模）面最直觀的方式。同樣直觀，統(tǒng)一采樣的采樣率，直覺(jué)上聽(tīng)起來(lái)這似乎是最自然的選擇。然而，在野生情況下，規(guī)模變化可用于降低采樣率。</p><

50、p>　　在較高的規(guī)模（低頻率），根據(jù)Nyquist的規(guī)則，采樣率可以降低。換句話說(shuō)，如果時(shí)間尺度需要與一個(gè)在規(guī)模s_1的N_1采樣率采樣，可在同一平面的N_2采樣的采樣率，在規(guī)模s_2，在那里，s_1<s_2（對(duì)應(yīng)的頻率的F1> F2）和N_2<N_1。 N_1和N_2之間的實(shí)際關(guān)系是:</p><p><b>　　公式3.20</b></p><

51、p><b>　　或者</b></p><p><b>　　公式3.21</b></p><p>　　換句話說(shuō)，在較低頻率的采樣率可下降，將節(jié)省大量的計(jì)算時(shí)間。</p><p>　　應(yīng)當(dāng)指出在這個(gè)時(shí)候，但是，可以做的離散沒(méi)有任何限制，任何方式盡可能信號(hào)的分析問(wèn)題。如果合成不是必需的，即使是奈奎斯特準(zhǔn)則，并不需要得到滿足

52、。在離散和采樣率的限制成為重要的，當(dāng)且僅當(dāng)信號(hào)重建是需要的。 Nyquist的采樣率是最低的采樣率，使原來(lái)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)，從它的離散采樣中重建。其依據(jù)是前面提到的載體，是因?yàn)檫@個(gè)原因特別重要。</p><p>　　如前所述，小波psi(tau,s)的滿足方程3.18，允許由公式3.17的信號(hào)重構(gòu)。然而，這是真的為連續(xù)變換?，F(xiàn)在的問(wèn)題是：我們還可以重建我們的信號(hào)，如果離散時(shí)間和規(guī)模參數(shù)？在一定條件下，答案是肯定的（

53、如在廣告中他們總是說(shuō)：某些限制!!!).</p><p>　　尺度參數(shù)S是離散對(duì)數(shù)網(wǎng)格的第一。時(shí)間參數(shù)，然后就離散的尺度參數(shù)，也就是說(shuō)，不同的采樣率用于各尺度。換句話說(shuō)，抽樣完成二進(jìn)制采樣網(wǎng)格如圖3.17所示：</p><p><b>　　圖3.17</b></p><p>　　考慮到作為整個(gè)時(shí)間尺度平面坐標(biāo)軸的覆蓋范圍，在連續(xù)小波變換分配到這

54、個(gè)平面上的點(diǎn)連續(xù)值。因此，有無(wú)限的連續(xù)小波變換系數(shù)的數(shù)目。首先考慮軸離散化的規(guī)模。在這點(diǎn)無(wú)限多，只有采取有限數(shù)量，使用對(duì)數(shù)規(guī)則。該對(duì)數(shù)的底取決于用戶。最常見(jiàn)的值是因?yàn)樗谋憷?。如果2是選擇，只有規(guī)模2，4，8，16，32，64，...等計(jì)算。如果該值是3，規(guī)模3，9，27，81，243，...等本來(lái)計(jì)算。時(shí)間軸，然后根據(jù)離散規(guī)模軸離散化。由于受兩個(gè)因素離散尺度的變化，</p><p>　　采樣率降低的時(shí)間為2軸

55、在每一個(gè)比例因子。</p><p>　　請(qǐng)注意，在最低刻度（s= 2），只有32點(diǎn)時(shí)間軸取樣（為特定的情況下在圖3.17給出）。在下一個(gè)規(guī)模值，S=4，時(shí)間軸取樣率下降了2因素，因?yàn)橐?guī)模增加了2倍，因此，只有采取16個(gè)樣本。在下一步時(shí)，S =8和8抽取樣本的時(shí)間，等等。</p><p>　　雖然它被稱為時(shí)間尺度平面，它是更準(zhǔn)確地稱之為轉(zhuǎn)換規(guī)模模型，因?yàn)椤皶r(shí)間”在變換域?qū)嶋H上對(duì)應(yīng)及時(shí)小波轉(zhuǎn)移

56、。在小波系列，實(shí)際的時(shí)間仍然是連續(xù)的。</p><p>　　類似之間連續(xù)傅立葉變換，傅立葉級(jí)數(shù)和離散傅里葉變換的關(guān)系，有一個(gè)連續(xù)小波變換，半離散小波變換（也稱為小波系列）和離散小波變換。</p><p>　　數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)表達(dá)上述離散化過(guò)程，規(guī)模為S= s_0^ J和離散化轉(zhuǎn)換是tau= k.s_0^ j.tau_0其中s_0>1和tau_0>0。請(qǐng)注意，如何進(jìn)行離散變換是依賴于規(guī)模

57、與s_0。</p><p><b>　　連續(xù)小波函數(shù)</b></p><p><b>　　公式3.22</b></p><p><b>　　公式3.23</b></p><p>　　通過(guò)插入S = s_0^ J和tau= k.s_0^ j.tau_0。</p>&

58、lt;p>　　如果{psi_(j,k)}構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，小波變換成為系列</p><p><b>　　公式3.24</b></p><p><b>　　公式3.25</b></p><p>　　一個(gè)級(jí)數(shù)要求{psi_(j,k)}不是正交，雙正交，或框架。如果{psi_(j,k)}不是正交，方程3.24變?yōu)?lt;

59、/p><p><b>　　公式3.26</b></p><p>　　這里hat{ psi_{j,k}^*(t)}，要么是雙雙正交的基礎(chǔ)或雙畫面（請(qǐng)注意，*表示共軛）。</p><p>　　如果{psi_(j,k) }為正交或雙正交，變換將非多余的，因?yàn)槿绻麄冊(cè)谀抢镄纬梢粋€(gè)框架，該轉(zhuǎn)換將是多余的。另一方面，這是很容易找到比它的幀是找到正交或雙正交基

60、地。</p><p>　　以下類推可以清除這個(gè)概念。考慮于特定對(duì)象的前瞻性的全過(guò)程。人類的眼睛首先確定粗的看法，對(duì)眼睛的距離為對(duì)象而定。這相當(dāng)于調(diào)整尺度參數(shù)s_0^（- J）的。當(dāng)您在一個(gè)非常密切的對(duì)象很詳細(xì)，j為負(fù)，大（小規(guī)模，高頻率，分析信號(hào)中的細(xì)節(jié)）。移動(dòng)頭（或眼睛）非常緩慢，非常小的增量（角度，距離，對(duì)正在觀看的對(duì)象而定），對(duì)應(yīng)于tau= k.s_0^ j.tau_0小的值。請(qǐng)注意，當(dāng)J為負(fù)，大，它對(duì)應(yīng)于

61、微小變化時(shí)，tau（高采樣率）和大的變化s_0^ -J（小規(guī)模，高頻率，其中采樣率較高）。尺度參數(shù)可以被看作是放大了。</p><p>　　可以多低采樣率，仍然是允許的信號(hào)重建？這是最主要的問(wèn)題需要回答的優(yōu)化過(guò)程。最方便的值（在編程方面）被發(fā)現(xiàn)是“2”對(duì)應(yīng)s_0和“1”對(duì)應(yīng)tau。顯然，當(dāng)取樣率被強(qiáng)制為盡可能低，可用正交小波的數(shù)量也在減少。 連續(xù)小波變換，已經(jīng)于本章的例子實(shí)際上是給定信號(hào)的小波系列。被選中

62、的參數(shù)根據(jù)信號(hào)。由于重建是不必要的，有時(shí)采樣率遠(yuǎn)低于臨界值，其中s_0介于2至10，tau_0從2變化到8個(gè)不同的例子。</p><p>　　本教程到此結(jié)束第三部分。我希望你現(xiàn)在有一個(gè)什么樣的小波變換的基本理解是一回事。不過(guò)有一件事情留下要討論的。即使離散小波變換可以在計(jì)算機(jī)上計(jì)算，此計(jì)算可能從幾秒鐘到幾個(gè)小時(shí)，任何地方你的信號(hào)大小和分辨率要而定。一個(gè)令人驚訝的快速算法是實(shí)際可用來(lái)計(jì)算的小波變換信號(hào)。離散小波變換

63、（DWT）的介紹了本教程的最后一章第四部分。</p><p>　　讓我們相遇在壓軸節(jié)目，好嗎？</p><p>　　MULTIRESOLUTION ANALYSIS & THE CONTINUOUS WAVELET TRANSFORM </p><p>　　MULTIRESOLUTION ANALYSIS</p><p>　　Al

64、though the time and frequency resolution problems are results of a physical phenomenon (the Heisenberg uncertainty principle) and exist regardless of the transform used, it is possible to analyze any signal by using an a

65、lternative approach called the multiresolution analysis (MRA) . MRA, as implied by its name, analyzes the signal at different frequencies with different resolutions. Every spectral component is not resolved equally as wa

66、s the case in the STFT. </p><p>　　MRA is designed to give good time resolution and poor frequency resolution at high frequencies and good frequency resolution and poor time resolution at low frequencies. Thi

67、s approach makes sense especially when the signal at hand has high frequency components for short durations and low frequency components for long durations. Fortunately, the signals that are encountered in practical appl

68、ications are often of this type. For example, the following shows a signal of this type. It has a relativel</p><p>　　THE CONTINUOUS WAVELET TRANSFORM</p><p>　　The continuous wavelet transform wa

69、s developed as an alternative approach to the short time Fourier transform to overcome the resolution problem. The wavelet analysis is done in a similar way to the STFT analysis, in the sense that the signal is multiplie

70、d with a function, {\it the wavelet}, similar to the window function in the STFT, and the transform is computed separately for different segments of the time-domain signal. However, there are two main differences between

71、 the STFT and the CWT: </p><p>　　1. The Fourier transforms of the windowed signals are not taken, and therefore single peak will be seen corresponding to a sinusoid, i.e., negative frequencies are not comput

72、ed. </p><p>　　2. The width of the window is changed as the transform is computed for every single spectral component, which is probably the most significant characteristic of the wavelet transform. </p>

73、;<p>　　The continuous wavelet transform is defined as follows</p><p>　　Equation 3.1</p><p>　　As seen in the above equation , the transformed signal is a function of two variables, tau and

74、 s , the translation and scale parameters, respectively. psi(t) is the transforming function, and it is called the mother wavelet . The term mother wavelet gets its name due to two important properties of the wavelet ana

75、lysis as explained below: </p><p>　　The term wavelet means a small wave . The smallness refers to the condition that this (window) function is of finite length ( compactly supported). The wave refers to the

76、condition that this function is oscillatory . The term mother implies that the functions with different region of support that are used in the transformation process are derived from one main function, or the mother wave

77、let. In other words, the mother wavelet is a prototype for generating the other window functions. </p><p>　　The term translation is used in the same sense as it was used in the STFT; it is related to the loc

78、ation of the window, as the window is shifted through the signal. This term, obviously, corresponds to time information in the transform domain. However, we do not have a frequency parameter, as we had before for the STF

79、T. Instead, we have scale parameter which is defined as $1/frequency$. The term frequency is reserved for the STFT. Scale is described in more detail in the next section.</p><p><b>　　The Scale</b>

80、;</p><p>　　The parameter scale in the wavelet analysis is similar to the scale used in maps. As in the case of maps, high scales correspond to a non-detailed global view (of the signal), and low scales corre

81、spond to a detailed view. Similarly, in terms of frequency, low frequencies (high scales) correspond to a global information of a signal (that usually spans the entire signal), whereas high frequencies (low scales) corre

82、spond to a detailed information of a hidden pattern in the signal (that usually last</p><p>　　Figure 3.2</p><p>　　Fortunately in practical applications, low scales (high frequencies) do not last

83、 for the entire duration of the signal, unlike those shown in the figure, but they usually appear from time to time as short bursts, or spikes. High scales (low frequencies) usually last for the entire duration of the si

84、gnal.</p><p>　　Scaling, as a mathematical operation, either dilates or compresses a signal. Larger scales correspond to dilated (or stretched out) signals and small scales correspond to compressed signals. A

85、ll of the signals given in the figure are derived from the same cosine signal, i.e., they are dilated or compressed versions of the same function. In the above figure, s=0.05 is the smallest scale, and s=1 is the largest

86、 scale.</p><p>　　In terms of mathematical functions, if f(t) is a given function f(st) corresponds to a contracted (compressed) version of f(t) if s > 1 and to an expanded (dilated) version of f(t) if s &

87、lt; 1 .</p><p>　　However, in the definition of the wavelet transform, the scaling term is used in the denominator, and therefore, the opposite of the above statements holds, i.e., scales s > 1 dilates the

88、 signals whereas scales s < 1 , compresses the signal. This interpretation of scale will be used throughout this text.</p><p>　　COMPUTATION OF THE CWT</p><p>　　Interpretation of the above equ

89、ation will be explained in this section. Let x(t) is the signal to be analyzed. The mother wavelet is chosen to serve as a prototype for all windows in the process. All the windows that are used are the dilated (or compr

90、essed) and shifted versions of the mother wavelet. There are a number of functions that are used for this purpose. The Morlet wavelet and the Mexican hat function are two candidates, and they are used for the wavelet ana

91、lysis of the examples which a</p><p>　　Once the mother wavelet is chosen the computation starts with s=1 and the continuous wavelet transform is computed for all values of s , smaller and larger than ``1'

92、;'. However, depending on the signal, a complete transform is usually not necessary. For all practical purposes, the signals are bandlimited, and therefore, computation of the transform for a limited interval of scal

93、es is usually adequate. In this study, some finite interval of values for s were used, as will be described later in thi</p><p>　　For convenience, the procedure will be started from scale s=1 and will contin

94、ue for the increasing values of s , i.e., the analysis will start from high frequencies and proceed towards low frequencies. This first value of s will correspond to the most compressed wavelet. As the value of s is incr

95、eased, the wavelet will dilate.</p><p>　　The wavelet is placed at the beginning of the signal at the point which corresponds to time=0. The wavelet function at scale ``1'' is multiplied by the signal

96、 and then integrated over all times. The result of the integration is then multiplied by the constant number 1/sqrt{s} . This multiplication is for energy normalization purposes so that the transformed signal will have t

97、he same energy at every scale. The final result is the value of the transformation, i.e., the value of the continuous wave</p><p>　　The wavelet at scale s=1 is then shifted towards the right by tau amount to

98、 the location t=tau , and the above equation is computed to get the transform value at t=tau , s=1 in the time-frequency plane.</p><p>　　This procedure is repeated until the wavelet reaches the end of the si

99、gnal. One row of points on the time-scale plane for the scale s=1 is now completed.</p><p>　　Then, s is increased by a small value. Note that, this is a continuous transform, and therefore, both tau and s mu

100、st be incremented continuously . However, if this transform needs to be computed by a computer, then both parameters are increased by a sufficiently small step size. This corresponds to sampling the time-scale plane.<

101、/p><p>　　The above procedure is repeated for every value of s. Every computation for a given value of s fills the corresponding single row of the time-scale plane. When the process is completed for all desired

102、values of s, the CWT of the signal has been calculated.</p><p>　　The figures below illustrate the entire process step by step.</p><p>　　Figure 3.3</p><p>　　In Figure 3.3, the signal

103、 and the wavelet function are shown for four different values of tau . The signal is a truncated version of the signal shown in Figure 3.1. The scale value is 1 , corresponding to the lowest scale, or highest frequency.

104、Note how compact it is (the blue window). It should be as narrow as the highest frequency component that exists in the signal. Four distinct locations of the wavelet function are shown in the figure at to=2 , to=40, to=9

105、0, and to=140 . At every location, </p><p>　　If the signal has a spectral component that corresponds to the current value of s (which is 1 in this case), the product of the wavelet with the signal at the loc

106、ation where this spectral component exists gives a relatively large value. If the spectral component that corresponds to the current value of s is not present in the signal, the product value will be relatively small, or