分數(shù)階PID控制器及參數(shù)不確定分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定域分析.pdf

1、分數(shù)階微積分(Fractional-Order Calculus)是傳統(tǒng)整數(shù)階微積分的廣義化形式,它和整數(shù)階微積分同時產生,且具有和整數(shù)階微積分一樣相似的概念和分析工具。分數(shù)階控制系統(tǒng)和整數(shù)階控制系統(tǒng)相類似,都具有時域、頻域及復域不同的表示方法；另外,它還具有穩(wěn)定性、魯棒性、可觀性、可控性等分析方法,所有這些方法都是研究分數(shù)階控制系統(tǒng)的基礎。隨著分數(shù)階微積分在控制系統(tǒng)中研究的不斷深入,出現(xiàn)了分數(shù)階控制器與分數(shù)階被控對象,其中分數(shù)階PIλ

2、Dμ控制器是傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器的拓展,它比整數(shù)階PID控制器多了兩個可調參數(shù),即積分階次λ和微分階次μ。因此,可取得比整數(shù)階PID控制器更好的動態(tài)性能。然而,由于分數(shù)階控制尚處于研究階段,對分數(shù)階控制器及分數(shù)階控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究方面還有許多進一步待研究的內容。本文針對分數(shù)階PIλDμ控制器的設計及由分數(shù)階PIλDμ控制器構成的參數(shù)不確定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了相應的研究,具體工作包括以下內容:
　　 1.對分數(shù)階微積分數(shù)學的

3、發(fā)展、基本理論和性質等進行了闡述,并對分數(shù)階微積分數(shù)學在控制系統(tǒng)中的應用、分數(shù)階PIμDμ控制器設計及其穩(wěn)定性分析方法等問題進行了綜述。
　　 2.對分數(shù)階控制系統(tǒng)及分數(shù)階PIλDμ控制器的階次及仿真步長的變化對性能影響進行了分析。通過對分數(shù)階控制系統(tǒng)微分方程的數(shù)值求解,分析了控制系統(tǒng)的仿真步長及微分階次的變化對控制系統(tǒng)性能產生的影響。另外,當分數(shù)階PIλDμ控制器的積分階次λ和微分階次μ在范圍(0,2)內變化時,從Bode圖和

4、時域階躍響應圖上,分別分析了分數(shù)階PIλDμ控制器積分階次和微分階次的選擇對控制系統(tǒng)性能的影響,并闡述了兩圖的聯(lián)系。通過對仿真步長、控制系統(tǒng)的階次及分數(shù)階PIλDμ控制器階次的選擇對控制系統(tǒng)性能的影響進行分析,為后續(xù)章節(jié)和工程實際應用中,如何根據(jù)控制系統(tǒng)性能的要求合理的選擇參數(shù)提供了依據(jù)。
　　 3.利用控制系統(tǒng)的魯棒性條件,針對參數(shù)不確定時滯系統(tǒng)設計了分數(shù)階PIλDμ控制器。當分數(shù)階控制系統(tǒng)在滿足相位裕度和幅值裕度的條件下,針

5、對被控對象的時間常數(shù)具有不確定變化,提出了對時間常數(shù)的不確定變化具有魯棒性的五參數(shù)分數(shù)階PIλDμ控制器的設計方法。同時,利用相位裕度和相位波特率在Bode圖上指定處的截止頻率是處于相對平坦的魯棒性條件,針對被控對象的增益常數(shù)具有不確定的變化,提出了對增益變化具有魯棒性的五參數(shù)分數(shù)PIλDμ控制器的設計方法。通過兩個算例分別對兩種分數(shù)階PIλDμ控制器的設計方法進行了驗證和仿真實驗分析,并與相應的整數(shù)階PID控制器的性能進行比較。其仿真

6、實驗結果表明,在滿足魯棒性條件下設計的分數(shù)階PIλDμ控制器,具有比傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制器較好的魯棒性及系統(tǒng)響應性能。
　　 4.針對參數(shù)不確定時滯系統(tǒng),提出了采用分數(shù)階PIλDμ控制器求其系統(tǒng)穩(wěn)定域的算法。利用Kharitonov理論,將參數(shù)不確定時滯系統(tǒng)分解成若干個參數(shù)確定的子系統(tǒng),并求各個子系統(tǒng)的閉環(huán)其準特征多項式；然后采用D分解法,求取各個準特征多項式在獲得最大穩(wěn)定域時的分數(shù)階PIλDμ及PIDμ控制器參數(shù)λ和μ。以此

7、參數(shù)λ和μ值重新構建分數(shù)階PIλDμ控制器,并計算各個子系統(tǒng)的穩(wěn)定域,各個子系統(tǒng)穩(wěn)定域的交集,即為參數(shù)不確定時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定域。通過數(shù)值和圖像結果表明:所提出的穩(wěn)定域算法對分析和設計復雜的參數(shù)不確定時滯分數(shù)階控制系統(tǒng)較為簡單且行之有效。且本算法可為參數(shù)不確定時滯系統(tǒng)獲得分數(shù)階PIλDμ控制器的穩(wěn)定域,即參數(shù)域。將為后續(xù)使用最優(yōu)化方法設計分數(shù)階PIλDμ控制器時,提供了參數(shù)搜索的尋找范圍,大大縮短了參數(shù)尋優(yōu)時間和計算量,從而提高了分數(shù)階PI

8、λDμ控制器的設計效率。
　　 5.針對參數(shù)和階次同時具有不確定的分數(shù)階線性時不變被控對象,提出了一種基于穩(wěn)定域分析的分數(shù)階PIλ控制器的設計方法。依據(jù)參數(shù)和階次的上下屆,利用Kharitonov理論將參數(shù)不確定分數(shù)階線性時不變被控對象分解成若干個子系統(tǒng),并構建相應子系統(tǒng)的閉環(huán)準特征多項式；然后,采用D分解法構建各個子準特征多項式的穩(wěn)定域,并獲得在相對較大穩(wěn)定域時分數(shù)階PIλ控制器的參數(shù)λ值；再在(κp,κI)參數(shù)平面內構建各個

9、子準特征多項式穩(wěn)定域的交集,此交集便是分數(shù)階PIλ控制器參數(shù)κp,κI的取值范圍。由此,便可以獲得所設計的分數(shù)階PIλ控制器所有參數(shù)的集合。在參數(shù)集內任取分數(shù)階PIλ控制器參數(shù)κp、κI幻的值,對分數(shù)階參數(shù)不確定線性時不變系統(tǒng)進行階躍響應分析,其結果表明,各個子系統(tǒng)的階躍響應曲線都在名義子系統(tǒng)的階躍響應曲線的上下波動,且系統(tǒng)的超調量小,穩(wěn)定性較好,且由此設計的分數(shù)階PIλDμ控制器表現(xiàn)出了對分數(shù)階參數(shù)不確定線性時不變系統(tǒng)較強的魯棒性。<

10、br>　　 6.針對區(qū)間參數(shù)不確定分數(shù)階時滯系統(tǒng),提出了求分數(shù)階PIλDμ控制器魯棒穩(wěn)定域的方法,并測試了其穩(wěn)定域具有的魯棒性。采用邊界理論,將分數(shù)階閉環(huán)控制系統(tǒng)的準特征多項式族分解為若干個子頂點準特征多項式,然后利用值集構建凸多面體的棱邊。通過D分解方法求解各個子頂點準特征多項式在最大穩(wěn)定域時的分數(shù)階PIλDμ控制器的參數(shù)λ和μ,以獲得的參數(shù)λ和μ作為分數(shù)階PIλDμ控制器的積分和微分階次,求取各個子頂點準特征多項式穩(wěn)定域的交集。在

11、穩(wěn)定域內任意取分數(shù)階PIλDμ控制的參數(shù)κp、κI、κd,用值集理論和零排除原理,檢測穩(wěn)定域的魯棒穩(wěn)定性。通過算例對其進行了驗證,結果表明,此方法對于求取穩(wěn)定域且驗證穩(wěn)定域的魯棒性時簡單而有效的。同時,該方法對分數(shù)階參數(shù)不確定時滯系統(tǒng)所設計的魯棒分數(shù)階PIλDμ控制器時,能夠為其提供魯棒穩(wěn)定性判斷的理論支持。
　　 7.針對分數(shù)階被控對象和分數(shù)階PIλDμ控制器,把模糊控制理論與其相結合,采用分數(shù)階微積分方程的數(shù)值求解的方法,提

12、出了模糊自適應分數(shù)階PIλDμ控制器的實現(xiàn)步驟與方法。由于分數(shù)階微積分定義的不同,目前沒有統(tǒng)一的離散化方法和數(shù)值解法,尤其被控對象是分數(shù)階的情況下,研究其模糊分數(shù)階PIλDμ控制器數(shù)值實現(xiàn)方法的較少。因此,依據(jù)分數(shù)階微積分方程的數(shù)值解法,并計算由分數(shù)階被控對象與模糊自適應分數(shù)階PIλDμ制器所構成的分數(shù)階閉環(huán)控制系統(tǒng)的數(shù)值表達式,并給出了詳細的數(shù)值計算推導過程。在此基礎上提出了模糊自適應分數(shù)階PIλDμ控制器的實現(xiàn)方法。最后,通過對所設

13、計的模糊自適應分數(shù)階PIλDμ控制器進行單位階躍仿真分析。并對整數(shù)階PID控制器、分數(shù)階PIλDμ控制器及模糊自適應分數(shù)階PIλDμ控制器進行階躍響應性能比較。文中提出的模糊自適應分數(shù)階PIλDμ控制器的方法,以后可為分數(shù)階被控對象設計模糊神經網絡分數(shù)階PIλDμ控制器等相關的模糊控制器提供一種可以借鑒和參考的方法。
　　 最后對論文的主要工作進行了概括性的總結,闡述了所獲得的一般性結論。列出了論文工作的主要創(chuàng)新之處,對后續(xù)的研