編碼與網(wǎng)絡編碼的一些理論問題.pdf

1、隨著信息科技的高速發(fā)展，一種穩(wěn)定而又高速的傳輸信息的手段顯得日益迫切。對于不同的信道模型，人們提出了各式各樣的編碼來接近Shannon極限。在這些編碼里面，既有較為古老而又成熟的Reed-Solomon碼，Reed-Muller碼等，也有近來比較熱門的網(wǎng)絡編碼，空時編碼等。它們對于不同的應用環(huán)境有著自己的優(yōu)勢，并且互相都有不可替代性。本論文主要就是研究一些不同的編碼里面的一些理論問題。本論文的貢獻主要可以列為如下幾點。
　　1.網(wǎng)

2、絡編碼中的多源網(wǎng)絡。本文第2，3兩章就是研究多源網(wǎng)絡中的一些性質。我們知道在單源網(wǎng)絡中，線性網(wǎng)絡編碼就可以達到網(wǎng)絡的容量上限。這個性質在多源網(wǎng)絡中并不成立，除此之外，對于多源網(wǎng)絡，我們知道的很少，凡是所有已知的，幾乎都是與單源網(wǎng)絡的結論不同。換句話說，研究多源網(wǎng)絡的性質基本上以反例為主。我們現(xiàn)在知道的有，它的容量上限無法用Shannon不等式得到，非線性網(wǎng)絡編碼可以比線性網(wǎng)絡編碼給出更大的帶寬等。我們在第2章中通過構造出一類具有特殊性質

3、的網(wǎng)絡，我們證明給定任意的正整數(shù)n，存在多源網(wǎng)絡，它的容量上限不可達到如果它的有限域比n來的小。當然它是我們構造的這類網(wǎng)絡的副產(chǎn)品。我們把原來文[30]中提出的具有某種性質的網(wǎng)絡推廣到了任意n個源節(jié)點的情況，并且仍然滿足這個性質。而在第3章中，我們進一步給出了擬陣網(wǎng)絡的構造，它比原來的構造具有更好的性質，比如它能反映擬陣的一些性質，并且它與與原來的擬陣吻合的相當不錯。
　　2.網(wǎng)絡卷積碼的安全問題。在第4章中，我們推廣了原來網(wǎng)絡編

4、碼安全問題，將原來無回路的網(wǎng)絡安全編碼推廣到有回路的網(wǎng)絡中，我們要求它仍然具有原來無回路網(wǎng)絡中相對應的弱安全或強安全特性。為了滿足如上的要求，我們引入了交換代數(shù)中的不變因子定理。在它的幫助下，我們成功的證明了網(wǎng)絡編碼在有回路網(wǎng)絡中也是存在安全特性的，具體而言，如果有限域足夠大，我們不需要對原有編碼做太大改動，在源節(jié)點做信息的線性組合即可。而對于有限域較小時候，我們需要重新構造一類安全的網(wǎng)絡卷積碼。
　　3.局部可譯碼的構造。在第5

5、章中，我們研究了最近比較熱門的局部可譯碼的構造問題。它雖然不是一類碼率很高的編碼。但它在數(shù)據(jù)存儲和密碼里面有很多應用。它的一個很好的特性就是對于某個比特的譯碼無需知道整個碼字的消息。一個很重要的局部可譯碼就是Reed-Muller碼。最近新出現(xiàn)的一種利用匹配向量(matching vectors)來構造局部可譯碼的方法，它能給出一種亞指數(shù)長度的局部可譯碼，在詢問次數(shù)是常數(shù)的條件下優(yōu)于Reed-Muller碼，我們在這一章給出了一種目前最

6、優(yōu)的匹配向量。
　　4.復正交空時編碼的構造。在第6章中，我們研究了在無線通信系統(tǒng)中有著重要應用的正交空時分組碼。它能達到較大的分集增益和編碼增益。為了能夠達到更大的碼率和更小的延遲，我們有必要設計一類理論上最優(yōu)的復正交空時碼。它的理論上界已經(jīng)由很多學者給出。并且它們也給出了基于算法和遞歸的一些構造，但這些構造無顯式表示，從而也談不上優(yōu)美的數(shù)學結構。在第6章中，我們給出了達到最大碼率和最小延遲的一類復正交空時編碼，我們的構造完全基