Rulkov和Head direction神經(jīng)元及神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)分析.pdf

1、本文首先從研究單個(gè)二維混沌的Rulkov神經(jīng)元模型的參數(shù)空間入手，利用定性分析、分岔理論、中心流形定理、標(biāo)準(zhǔn)型等對(duì)單個(gè)二維混沌Rulkov神經(jīng)元模型的參數(shù)空間進(jìn)行劃分，其目的是解釋該神經(jīng)元模型在二維參數(shù)空間中的動(dòng)力學(xué)行為和放電機(jī)制，我們的研究結(jié)果表明:系統(tǒng)唯一的不動(dòng)點(diǎn)在二維參數(shù)平面內(nèi)不同區(qū)域內(nèi)存在非常豐富的非線性動(dòng)力學(xué)行為和復(fù)雜的生物放電機(jī)制，例如參數(shù)取值選在不同區(qū)域時(shí)，不僅影響系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)處的穩(wěn)定性，而且可能使系統(tǒng)在不動(dòng)點(diǎn)處發(fā)生鞍結(jié)點(diǎn)分

2、岔、超臨界/亞臨界的Neimark-Sacker(NS)分岔或是出現(xiàn)擬周期解等.通過(guò)這些分析我們很容易理解二維單個(gè)混沌的Rulkov神經(jīng)元模型所產(chǎn)生的放電行為，以及這些不同放電行為相互轉(zhuǎn)化的機(jī)理。
　　其次，我們考慮含有雙向電耦合的由兩個(gè)混沌的Rulkov神經(jīng)元構(gòu)成的簡(jiǎn)單神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和混沌行為。通過(guò)分析我們發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)和位置并沒(méi)有因?yàn)殡婑詈辖Y(jié)構(gòu)的產(chǎn)生或耦合強(qiáng)度的變化發(fā)生改變，也就是說(shuō)在雙向電耦合條件下，系統(tǒng)始終只存在

3、唯一的不動(dòng)點(diǎn)。與此同時(shí)，我們一方面給出函數(shù)中的控制參數(shù)特別是耦合強(qiáng)度對(duì)這個(gè)簡(jiǎn)單神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)不動(dòng)點(diǎn)局部穩(wěn)定性的影響;另外一方面從理論上嚴(yán)格證明了當(dāng)參數(shù)滿足相應(yīng)條件時(shí)系統(tǒng)存在Marotto意義下混沌，從而解釋了為什么該模型在數(shù)值模擬過(guò)程中當(dāng)控制參數(shù)選取特定范圍內(nèi)會(huì)出現(xiàn)混沌的放電機(jī)制。
　　本文的最后一部分工作主要是研究大尺度的頭朝向(head direction)神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)行為，與人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)模型不同的是頭朝向神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)是依賴于

4、頭朝向神經(jīng)元的生物特點(diǎn)建立的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)模型，因此它更具有生物意義和功能。頭朝向神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)是由頭朝向神經(jīng)元群體構(gòu)成的，該種神經(jīng)元在許多哺乳動(dòng)物的大腦邊緣系統(tǒng)都有發(fā)現(xiàn)，它們的特點(diǎn)是當(dāng)動(dòng)物的頭朝向特定方向時(shí)異常興奮，表現(xiàn)形式為放電頻率高于基本線，且每個(gè)頭朝向神經(jīng)元只有一個(gè)偏好方向使得其放電頻率達(dá)到最大值，通過(guò)分析頭朝向神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)行為，我們從理論上得到了關(guān)于頭朝向神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的一些性質(zhì)。通過(guò)定性分析我們給出頭朝向神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)所有平均輸出有界的

5、條件;通過(guò)傅里葉分析結(jié)合頭朝向神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)耦合權(quán)重函數(shù)的生物特點(diǎn)及平均輸入和輸出的關(guān)系，我們得到該模型傅里葉變換后對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系，從而首次提出該神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)平衡態(tài)的一般形式，與此同時(shí)，根據(jù)頭朝向神經(jīng)元模型動(dòng)力學(xué)形式，我們準(zhǔn)確的構(gòu)造了該系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)，進(jìn)而從理論上說(shuō)明了整個(gè)系統(tǒng)流形的穩(wěn)定性，即頭朝向神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)隨時(shí)間變化的趨勢(shì)。通過(guò)研究所構(gòu)建的Lyapunov函數(shù)的特性可知，無(wú)論系統(tǒng)的初值是什么樣的，無(wú)論系統(tǒng)得到的輸入信息是什么樣

6、的，只要耦合突觸權(quán)重函數(shù)滿足特定的條件，那么系統(tǒng)的所有流形都將隨著時(shí)間的推移達(dá)到一個(gè)相應(yīng)的平衡態(tài)，從而使該流形的能量函數(shù)達(dá)到最小值，也就是說(shuō)系統(tǒng)過(guò)任意初始值的解均收斂于相應(yīng)的平衡態(tài).因此，從理論上解釋了頭朝向神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)模型具有穩(wěn)定偏好方向的機(jī)理，更重要的是我們通過(guò)選取相應(yīng)的耦合突觸權(quán)重函數(shù)和S形增益函數(shù)，首次求出了該網(wǎng)絡(luò)此時(shí)所有可能存在的平衡解，而且通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理證明了這些平衡解的穩(wěn)定性，這些結(jié)果一方面進(jìn)一步驗(yàn)證了頭朝向神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的