帶跳隨機局部波動率模型的校準：一種Tikhonov正則化方法.pdf

1、在數(shù)學上，波動率模型的校準問題是一個確定模型參數(shù)的反問題，通過校準使得由模型計算出的衍生產(chǎn)品價格與該產(chǎn)品的市場價格一致。由于Black-Scholes模型中的常數(shù)波動率假設(shè)不能夠反應市場中所觀察到的波動率微笑和波動率的期限結(jié)構(gòu)，在過去的幾十年中，研究者一直嘗試用更豐富的波動率模型來校準市場，其中包括隨機局部波動率模型和帶跳的模型。在隨機局部波動率模型下，標的資產(chǎn)的波動率表示為一個局部波動率函數(shù)和一個隨機過程之積，也就是將局部波動率模型和

2、隨機波動率模型相結(jié)合，旨在包含兩者優(yōu)勢的同時消除各自的不足。對于隨機局部波動率模型，學者們提出了相關(guān)的校準方法。通常分為兩步，首先校準純隨機過程部分，之前的方法主要將該部分參數(shù)化，通過求解非線性最小二乘問題使得模型中的常數(shù)參數(shù)最優(yōu)；然后是校準該模型中的局部波動率函數(shù)，利用Derman和Kani的結(jié)果，該局部波動率函數(shù)可以表示成一個與條件期望相關(guān)的表達式，然后通過Monte Carlo或者偏微分方程來求解，但是該具體形式依賴于首先校準局部

3、波動率模型。對于帶跳模型中跳參數(shù)的確定，一般是通過非線性最小二乘方法來校準，或者運用統(tǒng)計方法從標的資產(chǎn)的歷史數(shù)據(jù)來估計。由于Tikhonov正則化的最優(yōu)控制方法在校準局部波動率模型上取得比較好的效果，促使我們考慮將其運用到一般形式的波動率模型校準問題上來。
　　本文通過Tikhonov正則化方法來校準一般形式的帶跳隨機局部波動率模型。一般形式是指我們不預先假定波動率模型中局部波動率函數(shù)以及隨機部分的漂移項和擴散項所滿足的特定函數(shù)形

4、式。在之前，D ai等研究了一般形式的隨機波動率模型的校準，一般形式的帶跳隨機局部波動率模型還沒有被研究過，我們用最優(yōu)控制的方法校準這三個函數(shù)項，同時由于回避了Derman和Kani中關(guān)于局部波動率函數(shù)顯示表達式這一結(jié)果，使得我們在校準該模型下局部波動率函數(shù)時回避了預先校準局部波動率模型。首先，我們給出一般帶跳隨機局部波動率模型下，期權(quán)價格作為敲定價格和到期日的函數(shù)所滿足的偏微分方程，稱之為修正的Dupire方程，基于此，我們可以將波動

5、率模型的校準問題表示成標準的偏微分方程反問題；然后通過Tikhonov正則化的最優(yōu)控制方法，我們構(gòu)建每一項的優(yōu)化問題，每一個時間步的最優(yōu)解所滿足的必要條件可以用一個變分問題來表示，通過簡化必要條件，可以得到關(guān)于時間連續(xù)的極限情形；對于極限情形下的必要條件，我們提出了梯度下降的求解算法，由于我們的校準方法是同時校準出模型中需要確定的三項，我們用一個整體的迭代算法來求解。為了論證方法的有效性，我們做了大量的模擬數(shù)據(jù)實驗和市場數(shù)據(jù)實驗。用模擬