哈密爾頓系統(tǒng)有限元的守恒性和辛性質(zhì).pdf

1、哈密爾頓系統(tǒng)是最重要的動(dòng)力系統(tǒng)．馮康院士曾指出，一切真實(shí)的無(wú)耗散的物理過(guò)程都可表示為這樣或那樣的Hamilton形式，它們都是常微分或偏微分方程組．Hamilton系統(tǒng)有兩個(gè)最重要的特性：守恒性和辛結(jié)構(gòu)．在數(shù)值計(jì)算中能否保持這些特陛具有重要意義． 1983年馮康研究此問(wèn)題，他驚訝地發(fā)現(xiàn)，此前這里竟是一片空白，許多經(jīng)典的算法都不適應(yīng)，計(jì)算幾萬(wàn)步后有時(shí)已面目全非．他1984年首創(chuàng)性提出辛差分算法，并作了深入系統(tǒng)的研究，開(kāi)辟了一大片研究新領(lǐng)域

2、．以后國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者作了多方面推廣和廣泛應(yīng)用．馮康的這項(xiàng)首創(chuàng)工作得到了國(guó)際一致公認(rèn).但是任何離散算法，一般不可能同時(shí)保辛又保能量(Ge-Masden定理)．辛差分算法很好地保辛，但只在格式精度意義下保能量．而許多學(xué)者認(rèn)為，有時(shí)保能量更重要．因此我們轉(zhuǎn)向有限元法，卻發(fā)現(xiàn)至今有關(guān)研究極少．而我們的研究表明，有限元總是保能量的，對(duì)線性系統(tǒng)也是辛的，對(duì)非線性系統(tǒng)是高精度保辛的，而且長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算穩(wěn)定且精度高，效果非常好。這些結(jié)論已刻劃了有限元的基本

3、特征。因此有限元法是與辛差分算法完全不同的另一種算法，從另一方面彌補(bǔ)了辛差分算法的不足．本研究是對(duì)辛算法的一次重要推進(jìn)． 本文主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下： (1)．首次系統(tǒng)深入研究任意m次有限元解非線性Hamilton系統(tǒng)，證明了在任何節(jié)點(diǎn)上能量總是守恒的，因此在相平面上軌道總是穩(wěn)定的。并首次提出用超收斂分析方法研究有限元的辛性質(zhì)； (2)．對(duì)線性Hamilton系統(tǒng)的任意m次有限元，得到了一個(gè)深刻的高階超收斂O(h<'2

4、m+1>)新估計(jì)，首次證明m次有限元的節(jié)點(diǎn)值是2m階對(duì)角Páde逼近，因而是辛格式．此結(jié)果與馮康等研究的辛差分格式結(jié)論一致； (3)．對(duì)非線性Hamilton系統(tǒng)的任意m次有限元法，構(gòu)造了新的輔助問(wèn)題，并得到誤差估計(jì)和負(fù)范數(shù)估計(jì)，首次證明m次有限元對(duì)每一次步進(jìn)是高精度O(h<'2m+1>)意義下近似保辛的． (4)．在物理平面上考察了軌道在長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算中的性態(tài)，發(fā)現(xiàn)雖然軌道形狀改變很小但軌道在平移，并首次證明軌道平移和周期