修正的BL方程的Cauchy問(wèn)題及與KP方程的聯(lián)系.pdf

1、本文共分四章:第一章為引言,給出方程了本文要研究的方程模型的物理背景、已有結(jié)果和要用到的記號(hào);第二章研究修正的Benney-Luke方程的Cauchy問(wèn)題在一定條件下局部廣義解的存在性和惟一性;第三章研究了修正的Benney-Luke方程的Cauchy問(wèn)題整體解的存在性和惟一性;第四章研究了修正的BL方程與KP方程的誤差估計(jì).具體內(nèi)容如下:在第二章中,我們證明了如下修正的BL方程的Cauchy問(wèn)題局部解的存在性和惟一性,其中ε,a,b,

2、A和B是正常數(shù),u(x,y,t)為未知函數(shù).為此,我們將對(duì)(1)等價(jià)變形為其中(?),(?).利用壓縮映射原理證明Cauchy問(wèn)題(1),(2)局部解的存在性和惟一性.主要結(jié)果如下:定理1設(shè)s≥2,φ∈Hs(R2),ψ∈Hs-1(R2),則Cauchy問(wèn)題(1),(2)存在惟一的局部解u∈Ks([0,T0]),其中[0,T0)是解u(x,y,t)存在的最大時(shí)間區(qū)間,且當(dāng)時(shí),T0=∞.其中Ks([0,T)=C([0,T],Hs(R2))∩

3、C1([0,T],Hs-1(R2))∩C2([0,T],Hs-2(R2))第三章通過(guò)先驗(yàn)估計(jì)證明了Cauchy問(wèn)題(1),(2)整體解存在惟一性.主要結(jié)果如下:定理2設(shè)s≥3,φ∈H8(R2),ψ∈Hs-1(R2),且T0>0是Cauchy問(wèn)題(1),(2)的解u(x,y,t)存在的最大時(shí)間,則T0=∞.第四章利用誤差估計(jì)得到修正的BL方程與KP方程之間的聯(lián)系.主要結(jié)果如下:定理3假設(shè)存在p≥10和T0>0,U是KP方程的解且滿足則存在

4、ε0>0和常數(shù)C0>0使得對(duì)任意ε∈(0,ε0],BL方程有唯一解φ∈(?)滿足如下形式:其中ρ(·,·,0)=ρt(·,·,0)=0.更進(jìn)一步,成立估計(jì)其中C0不依賴于ε特別的有其中C不依賴于ε.這里Rp([0,T)=C0([0,T],Hp(R2))∩C1([0,T],Hp-3(R2))∩C2([0,T],Hp-6(R2)).Ks([0,T)=C([0,T],Hs(R2))∩C1([0,T],Hs-1(R2))∩C2([0,T],Hs