解線性不適定問(wèn)題的一種方法及其應(yīng)用.pdf

1、隨著科技的發(fā)展，反問(wèn)題理論的應(yīng)用已經(jīng)延伸到科學(xué)領(lǐng)域的各個(gè)方面，也成為了發(fā)展最快的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域之一。同時(shí)，推動(dòng)了解決這類(lèi)問(wèn)題的正則化理論的發(fā)展。
　　在解決不適定問(wèn)題的一系列方法中，全變分(Total Voriation,TV)正則化方法由于能夠較好地保持原問(wèn)題的邊緣信息而受到海內(nèi)外學(xué)者的普遍關(guān)注。該方法經(jīng)證明在目標(biāo)邊界不光滑的條件下，可以十分有效地將圖像正則化。在圖像去噪領(lǐng)域中，TV正則化也成為主要的方法之一。本文基于全變分(TV

2、)模型，針對(duì)TV范數(shù)在零點(diǎn)的不可微性，引入?yún)⒘喀拢Y(jié)合同倫技術(shù)構(gòu)造了同倫曲線β（t）.得到了一種新的求解線性不適定問(wèn)題的迭代格式，并對(duì)新的迭代格式進(jìn)行了嚴(yán)格的收斂性證明。當(dāng)數(shù)據(jù)為不存在擾動(dòng)誤差的真實(shí)數(shù)據(jù)時(shí)，本文結(jié)合Hilbert空間理論、不等式理論及Cauchy列原理等相關(guān)知識(shí)證明了迭代格式是收斂的。鑒于實(shí)際應(yīng)用中，得到的測(cè)量數(shù)據(jù)都是具有一定擾動(dòng)誤差的，從而本文在數(shù)據(jù)帶有擾動(dòng)誤差的情況下，利用不等式理論及Morozov偏差原則等相關(guān)知識(shí)

3、證明了迭代格式是收斂的。
　　在醫(yī)學(xué)成像領(lǐng)域中，生物自發(fā)光層析成像(Bioluminescent Tomography,BLT)是一種新興的分子成像技術(shù)，由于無(wú)創(chuàng)性、便捷性、成本低等優(yōu)點(diǎn)而備受關(guān)注。BLT成像主要是通過(guò)熒光素標(biāo)記目標(biāo)基因的方式，診斷或預(yù)測(cè)組織體的病理情況。實(shí)質(zhì)是通過(guò)組織體表面的可測(cè)信息及已知的光學(xué)知識(shí)確定組織體內(nèi)部發(fā)光細(xì)胞的位置。這一過(guò)程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)物理反問(wèn)題，并且求解組織體內(nèi)部未知光源的問(wèn)題是不適定的。常用的

4、處理光在組織體內(nèi)傳播問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為輻射傳輸方程(Radiative Transfer Equation,RTE)。然而大多數(shù)生物醫(yī)學(xué)成像問(wèn)題的研究都是針對(duì)RTE方程的擴(kuò)散近似展開(kāi)的。本文將直接從RTE方程入手，利用提出的新的迭代格式求解RTE方程的光源項(xiàng)。數(shù)值模擬的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新的迭代方法可以較好地還原生物組織體內(nèi)的光源形狀及位置信息，且光源的邊界信息保留較好，即該方法用于處理線性不適定問(wèn)題是有效的。從而，該迭代格式也可以應(yīng)用于其它