組合多項式的對數(shù)凹性質(zhì).pdf

1、本研究是關(guān)于組合多項式的對數(shù)凹性質(zhì)及其相關(guān)問題的探討,包括一類多項式的系數(shù)是否為極限分布的判定方法,多項式的系數(shù)的平衡性質(zhì),多項式的系數(shù)的對數(shù)凹和對數(shù)凸性質(zhì),一系列多項式的系數(shù)的交錯對數(shù)凹性質(zhì)和一系列多項式的q對數(shù)凹和口對數(shù)凸性質(zhì)。本研究分為五個部分：
　　 第一章,給出了多項式組合性質(zhì)的一些背景,并介紹了本論文中用到的定義和記號。同時還介紹了一些關(guān)于多項式組合性質(zhì)的重要的經(jīng)典定理。
　　 第二章,首先對于與貝努力數(shù)有關(guān)

2、的的一個無窮級數(shù)和做了估計。然后利用這個估計,通過計算q-卡塔蘭數(shù)的對數(shù)鉅量生成函數(shù)推出q-卡塔蘭數(shù)的系數(shù)具有漸近的正態(tài)分布。進而,利用這個方法得到了一個判斷一類多項式的系數(shù)是否為漸近正態(tài)分布的結(jié)果。利用這個結(jié)果,可以得到一般化的q-卡塔蘭數(shù)的系數(shù)和另一種q-卡塔蘭數(shù)的系數(shù)都具有漸近正態(tài)分布。此外,我們還研究了q-卡塔蘭數(shù)的系數(shù)的對數(shù)凹的性質(zhì),并猜想當n充分大時,q-卡塔蘭數(shù)的系數(shù)除去前面和后面一些項是對數(shù)凹的。進而,基于Bóna對于排

3、列的圈數(shù)的平衡性質(zhì)的研究,推出了q-卡塔蘭數(shù)的系數(shù)也具有相同的平衡性質(zhì)。最后,我們運用詹森依賴標準證明了[n]的隨機排列中,包含k長的交替子排列的個數(shù)具有漸近正態(tài)分布。
　　 第三章,通過對n維立方體的平衡2-染色做了一個細化,利用雙射找到了具有2k個黑點和具有2k+2個黑點的n維立方體的平衡2-染色的個數(shù)的關(guān)系。并利用這個公式證明了Palmer,Read和Robinson[90]關(guān)于n維歐幾里得空間的立方體的平衡2-染色個數(shù)的

4、單峰性的一個猜想。進而,我們提出了當k固定時,n維立方體具有2k個黑點的平衡2-染色的個數(shù)具有對數(shù)凹的性質(zhì)。利用概率方法,我們得到這個猜想在n充分大的時候成立。
　　 第四章,首先定義了交錯對數(shù)凹性質(zhì),它是對數(shù)凹性質(zhì)的一個一般化。然后,利用Boros-Moll多項式的四個遞推公式推出了關(guān)于Boros-Moll多項式的系數(shù)的一些不等式.利用這些不等式,證明了Boros-Moll多項式具有交錯對數(shù)凹的性質(zhì)。進而,對于滿足三角遞推關(guān)系

5、的數(shù)列我們給出了它具有交錯對數(shù)凹性質(zhì)的一個充分條件。利用這個充分條件,我們可以得到很多組合序列具有交錯對數(shù)凹的性質(zhì)。
　　 第五章,借助對稱函數(shù)的工具研究多項式的對數(shù)性質(zhì)。利用舒爾正定和舒爾函數(shù)的主要特征,證明了劉麗和王毅[77]關(guān)于Narayana,多項式的q-對數(shù)凸性質(zhì)的兩個猜想。本章開始先介紹Br(a)ndén的工作,他把q-Narayana數(shù)表示成一類特殊的舒爾函數(shù).通過建立幾個對稱函數(shù)恒等式,我們獲得了Narayana