振動力學與結構動力學第二章211

1、其通解為,由初始條件,可得,,令,其中,,,,,,,,,,,,,,,,無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以 為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止,初始條件的說明：,初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一種方式，有初始位移即轉(zhuǎn)入了彈性勢能，有初始速度即轉(zhuǎn)入了動能,二、單自由度系統(tǒng)的動力特性周期：園頻率：工程頻率：,與系統(tǒng)是否正在振動著以及如何進行振動的方式都毫無關系,A、v不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征，與系統(tǒng)過去所受到過

2、的激勵和考察開始時刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關,例:圖示剛架其橫梁的剛度為無限大，柱子的抗彎剛度 ，梁的質(zhì)量m=5000kg，不計柱子的軸向變形和阻尼，試計算此剛架的自振頻率。,思考題：剛架如何振動？,關鍵是求側移勁度。,求圖示系統(tǒng)的固有頻率（a）彈簧串聯(lián)情況；（b）彈簧并聯(lián)情況。,(a)串聯(lián)情況,思考題：串聯(lián)后系統(tǒng)頻率與單個彈簧系統(tǒng)相比有何變化？,(b) 并聯(lián)情況,,思考題：并聯(lián)后系統(tǒng)頻率與單個彈簧系統(tǒng)相比有何變化？

3、,例：簡支梁AB，重量不計。在梁的中點位置放一重為W的物體M時，其靜撓度為yst?，F(xiàn)將物體M從高度h處自由釋放，落到梁的中點處，求該系統(tǒng)振動的規(guī)律。,當物體落到梁上后，梁、物體系統(tǒng)作簡諧振動，只要定出簡諧振動的三個參數(shù)：圓頻率、振幅和初相角即可。,2.算例,例一.求圖示體系的自振頻率和周期.,解:,例二.求圖示體系的自振頻率和周期.,解:,,例三.質(zhì)點重W,求體系的頻率和周期.,解:,例三： 提升機系統(tǒng),,重物重 量,,鋼絲繩的彈簧剛度

4、,,重物以 的速度均勻下降,求：繩的上端突然被卡住時， （1）重物的振動頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力,解：,振動頻率,重物勻速下降時處于靜平衡位置，若將坐標原點取在繩被卡住瞬時重物所在位置,則 t=0 時，有：,,振動解：,靜平衡位置,,k,x,,,,W,,v,,,,振動解：,繩中的最大張力等于靜張力與因振動引起的動張力之和 ：,動張力幾乎是靜張力的一半,由于,為了減少振動

5、引起的動張力，應當降低升降系統(tǒng)的剛度,,,例：圓盤轉(zhuǎn)動,圓盤轉(zhuǎn)動慣量 I,在圓盤的靜平衡位置上任意選一根半徑作為角位移的起點位置,扭振固有頻率,為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，定義為使得圓盤產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩,由牛頓第二定律：,由上例可看出，除了選擇了坐標不同之外，角振動與直線振動的數(shù)學描述完全相同。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將 m、k 稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關結論完全適用于角振動。以后不加特別聲明時，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的,從前面兩種

6、形式的振動看到，單自由度無阻尼系統(tǒng)總包含著慣性元件和彈性元件兩種基本元件，慣性元件是感受加速度的元件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動慣量，而彈性元件是產(chǎn)生使系統(tǒng)恢復原來狀態(tài)的恢復力的元件，它表現(xiàn)為具有剛度或扭轉(zhuǎn)剛度的彈性體。同一個系統(tǒng)中，若慣性增加，則使固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大,,例：復擺,剛體質(zhì)量 m,對懸點的轉(zhuǎn)動慣量,重心 C,求：復擺在平衡位置附近做微振動時的微分方程和固有頻率,,,,,,,,,,,a,0,C,解：,

7、由牛頓定律 ：,因為微振動：,則有 ：,固有頻率 ：,實驗確定復雜形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量的一個方法,若已測出物體的固有頻率 ，則可求出 ，再由移軸定理，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量：,例：彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動,斜面傾角 300,質(zhì)量 m=1kg,彈簧剛度 k=49N/cm,開始時彈簧無伸長，且速度為零,求： 系統(tǒng)的運動方程,重力加速度取 9.8m/s2,解：,以靜平衡位置為坐標原點建立坐標系,振動固有頻率：,振動初始條

8、件：,初始速度：,運動方程：,能量法（補充）,對于不計阻尼即認為沒有能量損失的單自由度系統(tǒng)，也可以利用能量守恒原理建立自由振動的微分方程，或直接求出系統(tǒng)的固有頻率,無阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，其機械能守恒，即動能 T 和勢能 V 之和保持不變 ，即：,或：,彈簧質(zhì)量系統(tǒng),動能：,勢能：,（重力勢能）,（彈性勢能）,不可能恒為 0,零勢能點,,,如果將坐標原點不是取在系統(tǒng)的靜平衡位置，而是取在彈簧為自由長時的位置,動能：,勢能：,設新坐標,零勢

9、能點,彈簧原長,如果重力的影響僅是改變了慣性元件的靜平衡位置，那么將坐標原點取在靜平衡位置上，方程中就不會出現(xiàn)重力項,考慮兩個特殊位置上系統(tǒng)的能量,靜平衡位置上，系統(tǒng)勢能為零，動能達到最大,最大位移位置，系統(tǒng)動能為零，勢能達到最大,對于轉(zhuǎn)動：,x 是廣義的,例：如圖所示是一個倒置的擺,擺球質(zhì)量 m,剛桿質(zhì)量忽略,每個彈簧的剛度,求:(1) 倒擺作微幅振動時的固有頻率,(2) 擺球 時，測得頻率

10、 為 ， 時，測得頻率為 ，問擺球質(zhì)量為多少千克時恰使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？,解法1：,廣義坐標,動能,,勢能,,零勢能位置1,,零勢能位置1,,解法2：,零勢能位置2,動能,勢能,零勢能位置2,,瑞利法,－ 利用能量法求解固有頻率時，對于系統(tǒng)的動能的計算只考慮了慣性元件的動能，而忽略不計彈性元件的質(zhì)量所具有的動能，因此算出的固有頻率是實際值的上限

11、,－ 這種簡化方法在許多場合中都能滿足要求，但有些工程問題中，彈性元件本身的質(zhì)量因占系統(tǒng)總質(zhì)量相當大的比例而不能忽略，否則算出的固有頻率明顯偏高,例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng),設彈簧的動能:,系統(tǒng)最大動能：,系統(tǒng)最大勢能：,若忽略 ，則 增大,彈簧等效質(zhì)量,因此忽略彈簧動能所算出的固有頻率是實際值的上限,等效質(zhì)量和等效剛度,方法1：,選定廣義位移坐標后，將系統(tǒng)得動能、勢能寫成如下形式：,,當 、 分別取最大值時：,

12、則可得出：,Ke：簡化系統(tǒng)的等效剛度,Me：簡化系統(tǒng)的等效質(zhì)量,等效的含義是指簡化前后的系統(tǒng)的動能和勢能分別相等,動能,勢能,第二節(jié) 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動,一、有阻尼自由振動的解,特征方程的根：,1、臨界阻尼情況：不產(chǎn)生振動的最小阻尼,,2、超阻尼情況,,,體系仍不作振動，只發(fā)生按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動，上式也不含簡諧振動因子，由于大阻尼作用，受干擾后，偏離平衡位置體系不會產(chǎn)生振動，初始能量全部用于克服阻尼，不足以引起振動。,

13、3、負阻尼情況?<0或c<0,阻尼本來是耗散能量的，負阻尼表示在系統(tǒng)振動過程中不僅不消耗能量，而且不斷加入能量。這種情況下系統(tǒng)的運動是不穩(wěn)定的，其振幅將會愈來愈大，直至系統(tǒng)破壞。,4、低阻尼或小阻尼情況 ?<1或c<2m?,,考慮阻尼使得結構的自振頻率略有減小，亦即使系統(tǒng)的自振周期稍有增大。阻尼影響使振幅按指數(shù)規(guī)律衰減。,結構實際量測表明，對于一般鋼筋混凝土桿系結構的阻尼比?在0.05左右，拱壩在0.03-0.0

14、5，重力壩包括大頭壩在0.05-0.10,土壩、堆石壩在0.10-0.20之間。強震時， ? 還會增加一些，但其值也是不大的。即使取0.02代入求得的頻率與不考慮阻尼的頻率也很接近。因此實際工程結構動力計算時不計阻尼的影響。,不同阻尼比對自由振動幅值的影響,臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運動，但比過阻尼衰減快些,欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動,過阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生,等效粘性阻尼(補充）,－ 阻尼在所有振動

15、系統(tǒng)中是客觀存在的,－ 大多數(shù)阻尼是非粘性阻尼，其性質(zhì)各不相同,－ 非粘性阻尼的數(shù)學描述比較復雜,－ 處理方法之一： 采用能量方法將非粘性阻尼簡化為等效粘性阻尼,原則：,等效粘性阻尼在一個周期內(nèi)消耗的能量等于要簡化的非粘性阻尼在同一周期內(nèi)消耗的能量,－ 通常假設在簡諧激振力作用下非粘性阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應仍然為簡諧振動,－ 該假設只有在非粘性阻尼比較小時才是合理的,－ 粘性阻尼在一個周期內(nèi)消耗的能量 可近似地

16、利用無阻尼振動規(guī)律計算出：,目的是為了采用該式計算等效粘性阻尼系數(shù),－ 討論以下幾種非粘性阻尼情況：,干摩擦阻尼,平方阻尼,結構阻尼,（1）干摩擦阻尼,庫侖阻尼,摩擦力：,：摩擦系數(shù),：正壓力,：符號函數(shù),摩擦力一個周期內(nèi)所消耗的能量：,等效粘性阻尼系數(shù)：,,（2）平方阻尼,工程背景：低粘度流體中以較大速度運動的物體,：阻力系數(shù),等效粘性阻尼系數(shù)：,阻尼力與相對速度的平方成正比，方向相反,摩擦力：,在運動方向不變的半個周期內(nèi)計算耗散能量

17、，再乘2：,（3）結構阻尼,由于材料為非完全彈性，在變形過程中材料的內(nèi)摩擦所引起的阻尼稱為結構阻尼,：比例系數(shù),等效粘性阻尼系數(shù)：,特征：應力－應變曲線存在滯回曲線,內(nèi)摩擦所耗散的能量等于滯回環(huán)所圍的面積：,加載和卸載沿不同曲線,二、阻尼的量測,小阻尼解答經(jīng)過三角轉(zhuǎn)換可寫成,可以根據(jù)自由振動衰減曲線確定阻尼比?？紤]兩相鄰幅值，在ti時刻，yi=Ae-??ti;在ti+Td時刻，yi+1=Ae-??(ti+Td),定義自然對數(shù)遞減率?y,

18、自由振動衰減曲線,,例：有關參數(shù)同前剛架，若用千斤頂使M產(chǎn)生側移25mm，然后突然放開，剛架產(chǎn)生自由振動，振動5周后測得的側移為7.12mm。試求 ：（1）考慮阻尼時的自振頻率；（2）阻尼比和阻尼系數(shù)；（3）振動10周后的振幅。,解：由y0=25mm, y0+5TD=7.12mm,有：,3.無阻尼周期,4.重量,5.阻尼系數(shù),6.若質(zhì)量增加800kg,體系的周期和阻尼比 為多少,例：阻尼緩沖器,靜載荷 P 去除后質(zhì)量塊越過平衡位置的

19、位移為初始位移的 10％,求：緩沖器的相對阻尼系數(shù),解：,由題知,設,求導 ：,設在時刻 t1 質(zhì)量越過平衡位置到達最大位移，這時速度為：,,即經(jīng)過半個周期后出現(xiàn)第一個振幅 x1,由題知,解得：,例：,剛桿質(zhì)量不計,求：（1）寫出運動微分方程,（2）臨界阻尼系數(shù)，阻尼固有頻率,小球質(zhì)量 m,解：,阻尼固有頻率：,無阻尼固有頻率：,,,,m,廣義坐標,,力矩平衡：,受力分析,,,,,,,第三節(jié) 單自由度系統(tǒng)簡諧荷載作用下的

20、 受迫振動,一、無阻尼受迫振動,1、無阻尼受迫振動方程解,,運動方程的解,上式中，前三項都是頻率為?的自由振動。但第一、二項是初始條件決定的自由振動，第三項與初始條件無關，是由伴隨干擾力的作用而產(chǎn)生的，稱為伴生自由振動。第四項則是按照干擾力的頻率而進行的振動，稱為純受迫振動。,2、動力系數(shù) ?,,（1）線性系統(tǒng)對簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應是頻率等同于激振頻率、無阻尼時，與激振力的簡諧振動同相位。,（2）穩(wěn)態(tài)響應的振幅只取決于系統(tǒng)

21、本身的物理性質(zhì)（m, k）和激振力的頻率及力幅，而與系統(tǒng)進入運動的方式（即初始條件）無關,結論：,（3）激勵頻率小于自振頻率時，位移響應與激勵同相位；激勵頻率大于自振頻率時，位移響應與激勵異相位。,動力系數(shù)變化曲線,例:圖示無重簡支梁，在跨中W＝20kN的電機，電機偏心所產(chǎn)生的離心力F(t)，若機器每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n=500rad/min，梁的EI=1.008X10000kN.m2。在不計阻尼的情況下，試求梁的最大位移和彎矩。,解：（1）梁

22、的自振頻率,,（2）系統(tǒng)的動力系數(shù),,想想看還有沒有其他方法求自振頻率？,（3）梁跨中截面的最大位移和彎矩,,例: 圖示跨中帶有一質(zhì)體的無重簡支梁，受動力荷載作用，若外干擾力頻率取不同的值，試求質(zhì)體的最大動力位移。,解：按疊加原理,（1）慣性力前為何加負號？（2）運動方程式與直接作用在質(zhì)體時有什么差別？（3）如果梁上還有一個動荷載，運動方程式形式有何變化？,例1 求圖示體系振幅和動彎矩幅值圖，已知,動位移、動內(nèi)力幅值計算,計算步驟

23、:,1.計算荷載幅值作為靜荷載所引起的 位移、內(nèi)力；,2.計算動力系數(shù)；,3.將得到的位移、內(nèi)力乘以動力系數(shù) 即得動位移幅值、動內(nèi)力幅值。,解.,例2 求圖示梁中最大彎矩和跨中點最大位移 已知:,解.,重力引起的彎矩,重力引起的位移,振幅,動彎矩幅值,跨中最大彎矩,跨中最大位移,[動荷載不作用于質(zhì)點時的計算],令,仍是位移動力系數(shù),是內(nèi)力動力系數(shù)嗎?,運動方程,穩(wěn)態(tài)解,振幅,[列幅值方程求內(nèi)力幅值],解:,例:求圖示

24、體系振幅、動彎矩幅值圖.已知,,動彎矩幅值圖,解:,例:求圖示體系右端的質(zhì)點振幅,o,二、有阻尼受迫振動1、解的形式,式中，第一、二項由初始條件決定的自由振動，第三、四是荷載作用而伴生的自由振動，第五項為純受迫振動。前四項自由振動由于阻尼的存在，很快衰減以致消失，最終只存下穩(wěn)態(tài)受迫振動。,,2、幅頻曲線和相頻曲線,3、系統(tǒng)上各個力的平衡,由已知的荷載 , 以及求得的位移,有，,當荷載頻率遠小于系統(tǒng)自振頻率時

25、，β→0, 慣性力Fi(t)和阻尼力Fd(t)都很小，荷載主要由彈簧力平衡；,想想：此時相當于什么情況?,當荷載頻率遠大于系統(tǒng)自振頻率時，β→∞, 荷載主要由慣性力平衡；,當荷載頻率接近系統(tǒng)自振頻率時，β→1, 此時阻尼力,此時荷載主要由阻尼力平衡，這種狀態(tài)稱為共振。共振區(qū)內(nèi)（0.75-1.25)阻尼力不可以忽略。,穩(wěn)態(tài)響應中四個力的平衡,4、半功率法確定阻尼比,簡諧荷載受迫振動的幅頻曲線可以用來確定系統(tǒng)的阻尼比ξ。,取曲線上a、b兩點

26、，令縱坐標,代入幅頻曲線公式，經(jīng)處理后有,例.圖示為塊式基礎.機器與基礎的質(zhì)量為 ;地基豎向 剛度為 ;豎向振動時的阻尼比為 機器轉(zhuǎn)速為N=800r/min,其偏心質(zhì)量引起的離心力為F=30kN.求豎向 振動時的振幅。,解：,質(zhì)量為m的物體掛在彈簧系數(shù)為K的彈簧一端，另一端B沿鉛直按 作簡諧運動，考

27、慮粘滯阻尼力作用，求物體運動規(guī)律。,解：取ξ＝0時物體的平衡位置o為坐標原點，物體的運動微分方程為,右端等價于一個干擾力,參照標準形式，可得物體運動規(guī)律：,由上式可知，當物體較重，且彈簧常數(shù)k很小，而懸掛點A振動的頻率 很高，導致β很大，物體的振幅A→0,物體靜止。,在精密儀器與其支座之間裝以彈簧系數(shù)很低的柔軟彈簧，當支座振動強烈時，彈簧的一端將隨同支座一起振動。若支座的頻率比儀器－彈簧系統(tǒng)的固有頻率高得多，儀器將近乎靜止而不致?lián)p

28、壞。,思考題：試解釋一下地震儀工作原理。,第四節(jié) 減振與隔振簡述,一、減振與隔振的常用方法,1、找出產(chǎn)生振動的根源，并設法使其消除或減弱,2、遠離振源,3、避免共振,4、采用動力消振器,,主動隔振（隔離振源）,消極隔振（隔振材料）,二、隔振的基本原理,隔振示意圖,機器的受迫振動方程為,計算簡圖,隔振系數(shù)隨?變化曲線,第五節(jié) 一般荷載作用下的響應,一、杜哈姆積分和脈沖響應函數(shù),任意一般荷載,實際上只受初速度的自由振動，以v作為初速度，初位

29、移為零。有解答,上式稱為杜哈姆積分，也可寫成卷積積分：,上式稱為單位脈沖響應函數(shù)，簡稱脈沖響應函數(shù)。如果初條件不為零，還需疊加上初始條件產(chǎn)生的自由振動。,例.求突加荷載作用下的位移，開始時靜止，不計阻尼。,解：,動力系數(shù)為 2,二、響應的數(shù)值計算,第六節(jié) 非線性系統(tǒng)的動力響應,一、增量型的運動方程式,二、逐步積分法,將時間劃成許多微小的時段，在各個時段內(nèi)加速度呈線性變化,從上面兩式，可得：,精品課件！,精品課件！,三、逐步積分法計算步驟